2022-2023学年山东省聊城市高一下学期5月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省聊城市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C．四边形的周长为 D．四边形的面积为【答案】D【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.【详解】如图过作，由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即,即B错误；还原平面图为下图，即，即A错误；过C作CF⊥AB，由勾股定理得，故四边形ABCD的周长为：，即C错误；四边形ABCD的面积为：，即D正确.故选：D2．已知为虚部单位，复数为纯虚数，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数除法运算法则化简，结合纯虚数定义可构造方程求得；由共轭复数和虚部的定义可得结果.【详解】为纯虚数，，解得：，，，则的虚部为.故选：D.3．已知为虚数单位，，则复数在复平面上所对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先根据复数的乘方求出，再根据复数的除法运算即可得解.【详解】因为，则，所以在复平面上所对应的点为位于第二象限.故选：B.4．若复数满足，则（

）A． B．5 C． D．6【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算模即可.【详解】因为，所以，所以.故选：A5．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再利用底面积和侧面积公式求解.【详解】根据题意作圆锥的轴截面，如图，设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则有，所以.该圆锥的底面积与侧面积比值为.故选：A.6．《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍.已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为（

）（，，）A． B． C． D．【答案】C【分析】设方亭相应的正四棱台的上底面边长，则，棱台的高，根据棱台的体积求出，再根据棱台的表面积公式计算可得.【详解】设方亭相应的正四棱台的上底面边长，则，棱台的高，所以，解得，所以正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，棱台的高为，所以方亭的斜高为，由于各侧面均为相等的等腰梯形，所以，所以方亭的表面积.故选：C7．已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则的一个充分条件是（

）A．，B．，C．，且D．，，【答案】C【分析】根据直线与平面位置关系的判定与性质，结合充分条件，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若，，则直线与平行、相交或异面，所以A不符合题意；对于B中，若，，则直线与平行或异面，所以B不符合题意；对于C中，若，，根据线面平行的性质定理，可得，所以“，且”是“”的充分条件，所以C符合题意；对于D中，若，，，则直线与平行或异面，所以D不符合题意.故选：C.8．在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q满足，（，）.下列结论不正确的是（

）A．若，则四面体的体积为定值B．若平面，则的最小值为C．若的外心为M，则为定值2D．若，则点Q的轨迹长度为【答案】C【分析】对于A，由，可得三点共线，可得点在，而由直四棱柱的性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，而的面积为定值，从而可进行判断，对于B，取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得平面，进而可求得的最小值，对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，在上取点，使得，可得点的轨迹为圆弧，从而可进行判断.【详解】对于A，因为，，所以三点共线，所以点在，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确；对于B，取的中点分别为，连接，则，因为平面，平面，所以平面，因为，，所以，因为平面，平面，平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，所以当时，最小，因为，所以，，所以，所以重合，所以的最小值为，所以B正确，对于C，若的外心为，过作于，因为，所以，所以C错误，对于D，过作于点，因为则可得平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，，在上取点，使得，则，所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，故选：C.【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.二、多选题9．如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，则下列说法中正确的是（

）A．该平面图形是一个平行四边形但不是正方形B．该平面图形的面积是8C．该平面图形绕着直线旋转半周形成的几何体的体积是D．以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为【答案】BC【分析】对于AB选项，由直观图得出平面图形，即可判定；对于CD根据几何体的体积公式和对角线计算即可.【详解】如图所示将直观图还原为平面图形，由题意可得，AC=4=BD，故该平面图形为正方形.即A错误；面积，即B正确；将平面图形绕直线AC旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径均为2，故体积，即C正确；以该平面图形为底，高为3的直棱柱其实为长方体，体对角线长为，即D错误.故选：BC10．已知复数，复数满足，则（

）A．B．C．复数在复平面内所对应的点的坐标是D．复数在复平面内所对应的点为，则【答案】AD【分析】根据共轭复数的定义，复数的几何意义判断BCD，由复数的乘法判断A．【详解】由已知，其对应点坐标为，C错；，A正确；由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，，因此，B错误；对应点坐标为，因此D正确．故选：AD．11．下列有关复数的叙述正确的是（

）A．若，则 B．若，则的虚部为C．若，则不可能为纯虚数 D．若复数z满足，则【答案】ACD【分析】根据复数的运算、复数的概念判断各选项即可．【详解】对A，，所以，A正确；对B，，虚部是，B错误；对C，，若，则是实数，若，则是虚数，不是纯虚数，C正确；对于D，设，因为，由得，则，所以D正确.故选：ACD．12．已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，则（

）A．B．平面截此正方体所得截面的周长为C．三棱锥的表面积为D．三棱锥的体积为1【答案】BD【分析】根据线线平行的判定定理即可判断A；如图梯形即为平面截此正方体所得的截面，即可判断B；利用余弦定理和三角形面积公式计算即可判断C；利用等体积法计算，即可判断D.【详解】A：如图，连接AC，，取AC的中点O，连接OF，因为F为的中点，所以，又，所以不成立，故A错误；B：如图，记DC的中点为G，连接，则，取CG的中点H，连接FH，则，所以，得四边形为梯形，即为平面截此正方体所得的截面，易知，所以梯形的周长为，故B正确；C：如图，连接CE，DB，由题意知，，，，在中，，由余弦定理，得，所以，所以；同理可得，所以三棱锥的表面积为，故C错误；D：记的中点为P，连接AP，在，取BP的中点Q，连接EQ，FQ，则，所以，所以四边形为梯形，由，得，所以，故D正确.故选：BD.三、填空题13．已知复数是关于的方程的一个根，则__________.【答案】【分析】利用求根公式求复数z，然后可得.【详解】由求根公式可得或，所以故答案为：14．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．【答案】12【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面水平放置时，水的体积为当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得，所以当底面水平放置时，液面高为12.故答案为：1215．2022年北京冬奥会理念包括有：绿色、共享、开放、廉洁．“绿色奥运”也是本届奥运最主要的理念，学校为助力冬奥会开展模型设计大赛，某同学设计的模型三视图如图所示，则该几何体的表面积为___．【答案】【分析】根据三视图还原几何体，求出几何体的表面积【详解】根据三视图可得几何体的结构如上图所示，是在三棱柱中挖掉三棱锥，其中为中点，，，所以,，根据勾股定理得：等腰三角形的高，所以；，，，所以该几何体的表面积故答案为：16．米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2.侧棱长为.则其外接球的表面积为____.【答案】【分析】根据棱台和球的性质得外接球的球心落在直线上，根据勾股定理列式求出球的半径，再根据球的表面积公式可求出结果.【详解】由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为，由棱台的性质可知，外接球的球心落在直线上，由题意该四棱台上下底面边长分别为4和2，侧棱长为，则，，，所以，设外接球的半径为，，则，因为垂直于上下底面，所以，即，又，即，联立解得，，所以该米斗的外接球的表面积为.故答案为：【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其它顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.四、解答题17．已知复数，，其中为非零实数．(1)若是实数，求的值；(2)若，复数为纯虚数，求实数的值；【答案】(1)；(2)；【分析】（1）运用复数乘法及若为实数则，计算可得结果.（2）运用共轭复数及复数除法及若为纯虚数则，计算可得结果.【详解】（1）∵为实数，∴，又∵为非零实数，∴．（2）∵，∴，∴为纯虚数，∴∴m的值为2.18．（1）计算；（2）若实数x，y满足求x，y的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用复数四则运算及乘方运算法则进行计算；（2）化简整理得到，根据复数相等列出方程，求出x，y的值.【详解】（1）；（2），即，故，整理得，所以，解得.19．如图：在正方体中，为的中点.(1)求三棱锥的体积；(2)求证：平面；(3)若为的中点，求证：平面平面.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可；（2）根据线面平行的判定进行证明；（3）根据面面平行的的判定进行证明.【详解】（1）显然平面，于是.（2）设，连接，在正方体中，四边形是正方形，是中点，是的中点，，平面平面平面；（3）为的中点，为的中点，，四边形为平行四边形，，又平面平面平面，由（2）知平面平面平面，平面平面.20．如图，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R，取(1)求这个盖子的表面积和体积（用R表示，焊接处对面积影响忽略不计）(2)若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1，计算100个这样的盖子涂色约需要涂料多少千克？（内部不涂色，结果精确到0.1千克）？【答案】(1)；；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用球的表面积公式和棱台的表面积公式，以及它们的体积公式求解作答.（2）由（1）的结论，将R=2cm代入计算出每个盖子的表面积，进而求出100个盖子的面积，即可求出需涂料的重量.【详解】（1）因为球的半径为R，则该球的表面积为，该球的体积，又四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，则四棱台的上、下底面积分别为和，而正四棱台的斜高为0.6R，则四棱台的侧面积为，正四棱台的高为上、下边长分别为2.5R和3R，腰长为0.6R的等腰梯形的高为，正四棱台的体积，所以容器盖子的表面积，体积为（）.（2）由（1）知，，当R=2cm时，（）所以100个这样的盖子约需涂料为（）.21．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点.（1）求证：平面；（2）若M，N分别是线段的中点，F是直线上的动点，则线段上是否存在点G，使得平面？若存在，请求出的比值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在点G，使得平面，且.【分析】（1）通过中位线得到线线平行，从而证明线面平行；（2）通过面面平行，从而说明线面平行.【详解】（1）证明：连接交于，再连接，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以在中，，又平面，平面，所以平面.（2）存在点G，使得平面.与的交点记为.当为的中点时，可知，所以，M，N分别是线段的中点，所以，又，且平面，平面，所以平面平面，又平面，所以当为的中点时，即时，平面.【点睛】关键点睛：在证明线面平行的关键是寻找线线平行，在解决探究性问题时，一般是先假设存在，然后再认证，本题是先得到面面平行，再说明线面平行的.22．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．（1）求证：；（2）线段AD上是否存在点