新教材2023-2024学年高中数学第4章指数函数对数函数与幂函数4.5增长速度的比较课件新人教B版必修第二册

第四章4.5增长速度的比较基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.会求函数在给定区间上的平均变化率.2.能利用函数的平均变化率判断函数的增长速度.3.能够比较对数函数、一元一次函数、指数函数三种函数模型增长速度的差异,理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.基础落实·必备知识全过关知识点1

平均变化率1.平均变化率(1)

实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比.

(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率为

.

(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加

个单位,函数值平均将增加

个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的

.

平均变化率

1快慢

2.平均变化率的求解步骤(1)确定区间[x1,x2](x2>x1);(2)求出Δx=x2-x1;(3)求出Δf=f(x2)-f(x1);(4)求出平均变化率过关自诊1.函数f(x)=x2+1,当自变量x由1变到1.1时,函数f(x)的平均变化率为(

)A.2.1 B.1.1

C.2

D.12.函数f(x)=kx+b在区间[x1,x2]上的平均变化率为

.

Ak知识点2

增长速度的比较1.几类不同增长的函数模型(1)一次函数模型一次函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“爆炸式增长”.(3)对数函数模型对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.(4)幂函数模型当x>0,α>0时,幂函数y=xα是增函数,且当x>0时,α越大其函数值的增长速度就越快.2.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地,在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xα(α>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的无限增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,在区间(0,+∞)上,总会存在一个x0,当x>x0时,就有logax<xα<ax(a>1,α>0).名师点睛指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较性质函数y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的单调性单调递增,且a越大,增长越快单调递增,且a越小,增长越快单调递增,且α越大增长越快增长速度越来越快越来越慢随α值的不同而不同图象的变化随x的增大越来越陡随x的增大逐渐变缓随着α值的不同而不同过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若f(x)=2x+1,自变量每增加1个单位,函数值将增加1个单位.(

)(2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型.(

)(3)指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大.(

)×√×2.某公司为了适应市场需求,对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后的利润y与产量x的关系,则可选用(

)

A.一次函数模型

B.二次函数模型C.指数函数模型

D.对数函数模型D重难探究·能力素养全提升探究点一函数平均变化率的求解【例1】

[2023辽宁沈阳高一]函数f(x)=lnx在区间[1,e]上的平均变化率为

.

变式训练1函数f(x)=-2x2+5在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为

.

-8-2Δx解析

Δf=f(2+Δx)-f(2)=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所以

=-8-2Δx,即平均变化率为-8-2Δx.探究点二平均变化率的大小比较【例2】

(1)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况,下列说法正确的是

.

①在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度;②在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度;③在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度;④在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度.③

(2)已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,h(x)=log3x,比较这三个函数在区间[a,a+1](a>1)上的平均变化率的大小.规律方法

比较函数平均变化率的方法

变式训练2已知函数f(x)=4x,g(x)=5x,分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率,并比较它们的大小.探究点三比较函数的增长情况【例3】

(1)[人教A版教材习题]函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)可能是(

)A.y=1-x-1,x∈(0,+∞)C.y=lnxD.y=x-1,x∈(0,+∞)C解析

由图象过点(1,0)知B不正确,由f(3)>1知A不正确,由图象为曲线知D不正确,所以应选C.(2)三个变量y1,y2,y3随变量x变化的数据如下表:x0510152025y15130505113020053130y2594.4781785.2337336.37×1051.2×107y35305580105130则最可能是关于x呈指数型函数变化的一个变量为

.

y2解析

从表格中可以看出,三个变量y1,y2,y3的值随着x的增加都是越来越大,但是增长速度不同,相比之下,变量y2的增长速度最快,画出它们的图象,可知变量y2关于x呈指数型函数变化.规律方法

判断三种函数模型的方法(1)根据函数的增长速度进行判断三种递增函数中,随着自变量的增大,指数函数的增长速度先慢后快;对数函数的增长速度先快后慢;随着x的无限增大,幂函数的增长速度会介于指数函数与对数函数的增长速度之间.(2)根据图象进行判断根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的是指数函数的图象,图象趋于平缓的是对数函数图象,介于两者之间的是幂函数的图象.变式训练3函数f(x)=2x和g(x)=x3的大致图象如图所示,设两个函数图象的交点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)指出曲线C1,C2分别表示哪一个函数;(2)结合函数的图象,比较f(8),g(8),f(2020),g(2020)的大小.解

(1)曲线C1对应函数g(x)=x3,曲线C2对应函数f(x)=2x.(2)因为f(1)=21=2,g(1)=13=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以1<x1<2.因为f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(10)=210=1

024,g(10)=103=1

000,所以9<x2<10.由图象可知,当x1<x<x2时,f(x)<g(x);当x>x2时,f(x)>g(x).从而f(2

020)>g(2

020)>g(8)>f(8).成果验收·课堂达标检测1231.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于(

)A.-1 B.1

C.-2 D.2A1232.若函数f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上