2021年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷（理科）

2021年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

一、选择题(共12小题).

1.(产-4i)(4+i)=()

A.8-15zB.15/C.8+15/D.-15/

2.已知集合4={犬仇<0},B={x\(x-4)(x+3)>0},则AA3=()

A.{x|x<0}B.{x|x<-3}C.{.r|0<x<4}D.{x\-3<x<0}

3.设tan(a-P)—2,tana=4,贝！］tan0=()

A.心B.—C.工D.—

7979

4.清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业

生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业.2019年该

校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分实现

就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升.根

据如图，下列说法不正确的是()

■本朴生

2

6

.

6■,土生

次

福建其他地区

毕业生签三方就业单位所在省(区.市)公布

A.博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业

B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%

5.将《傲慢与偏见》《巴黎圣母院》等六本不同的国外名著按如图所示的方式竖放在一起,

则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有()

A.120种B.240种C.200种D.180种

1nx

6.曲线y=~^~在点（i,0）处的切线方程为（）

xJ+l

11Qq

A.y=­V—B.y—x-1C.y=­v—D.y—2x-2

,2222

1.若，"=aX10"（lWa<10）,则称加的数量级为已知金星的质量为何千克，且M满

足/gM=23+/g48.69,则M的数量级为（）

A.23B.24C.25D.26

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某

条棱上的一个端点P在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则P在侧视

图中对应的点为（）

A.点。B.点CC.点BD.点A

'y〉0

9.设x,y满足约束条件<x+y<3，则的最小值为（）

3x+y》3

A.—B.C.1D.9

1010

10.函数/（x）=2sin（a）x+（p）（a）>0,0<（p<n）的部分图象如图所示，要得到y=/（x）

的图象，只需将y=2cosu）龙的图象（）

A.向右平移工二个单位长度

6

B.向右平移士K个单位长度

12

JT

C.向左平移々个单位长度

6

JT

D.向左平移々个单位长度

12

11.在四面体A8CP中，PB_L平面ABC,且4B_LAC,AB=AC.若四面体ABCP外接球的

半径为半PB•则以与平面ABC所成角的正切值为（）

A.■—B.--C.2D.3

23

22

12.已知双曲线C：¥-X『l（a>0，b>0）的虚轴的一个顶点为。，直线x=2a与C交

于A,8两点，若△A3。的垂心在C的一条渐近线上，则C的离心率为（）

A.依B.2C.aD.近

二、填空题（共4小题）.

13.已知向量工3的夹角为120。，|』=2,而=1,若（之+五）±（之+入，），贝11人=.

9

14.在△A8C中，A3=l,sinB=5sinC,cosA=—，则3C=_____.

5

15.若抛物线12=2〃），（p>0）上的点A（/7t,1）到焦点的距离为4,则|〃?|=.

16.关于函数/（x）=4"+4-2有如下四个命题：

①/>（外的定义域为［0,+8）；（2）f（x）的最小值为-1；

(3)f(x)存在单调递减区间；④maE(0,+°°),f(sina)=0.

其中所有真命题的序号是

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作

答.(一)必考题：共60分.

17.已知S,为数列｛%｝的前"项和，数列｛S“｝是等差数列，且$5=9,59=17.

(1)求｛小｝的通项公式；

(2)求数列｛an/n-S'的前〃项和力“

18.2020年底某网购公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，

从2020年下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷

达图如图所示.规定评分不低于80分为满意，否则为不满意.

(1)求这20个会员对售后服务满意的频率.

(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评

价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员.

(i)求只有1个会员对售后服务不满意的概率；

(ii)记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X,求X的数学期望与标准差(标

准差的结果精确到0.1).

19.以原点O为中心的椭圆C的焦点在x轴上，G为C的上顶点，且C的长轴长和短轴长

为方程N-8x+12=0的两个实数根.

(1)求C的方程与离心率；

(2)若点N在C上，点M在直线)，=2上，|GN=2|GM，且GNJ_GM,求点N的坐标.

20.如图，在四棱锥P-ABC。的展开图中，点P分别对应点P,尸2,P3,尸4,已知A,D

均在线段P1R上，且PP3，P2C,QP3np2c=£),四边形A8CP2为等腰梯形，AB//CP1,

AB=^BC=^CP2.

/,

(1)若M为线段8c的中点，证明：2CJ_平面PDM.

(2)求二面角A-PB-C的余弦值.

21.已知函数/(x)MJC3-6/+℃的图像经过点A(2,2).

(1)设f€R,讨论,f(x)在(f,+8)上的单调性；

(2)若/(x)在D”，〃?+1］上的最大值为了(，〃),求〃?的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一个题目计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为X°JC°s(&为参数)，点P的坐标

ly=3sind.

为(m,0).

(1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(1

x=m+万t

(2)若直线/：\「(f为参数)与曲线C交于A,B两点，若|PA|"PB|22,求

in2-6m的取值范围.

［选修4-5：不等式选讲］

23.设x,y,z均为正实数，且x+2y+z=4.

(1)证明:x2+2y2+z2^4.

(2)求，：的最大值.

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1.-4i)(4+i)=()

A.8-15/B.15zC.8+15zD.-15z

解：(产-4i)(4+z)=(I-4z)(4+i)=-i(4+i)2=-i(15+80=8-15z,

故选：A.

2.己知集合A={4xV0},B={x\(x-4)(x+3)>0),则AA8=()

A.B.{x\x<-3}C.[x\0<x<4]D.{x|-3<x<0}

解：B={x|xV-3或x>4},A={x|x<0),

/.AClB={x|x<-3}.

故选：B.

3.设tan(a-p)=2,tana=4,贝ijlan(?=()

A.心

B.—c-

79

解：因为tan(a-P)=2,tana=4,

所以tanB"[aB)]碟常喘WV

故选：D.

4.清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作,引导学生把个人职业

生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业.2019年该

校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分实现

就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升.根

据如图，下列说法不正确的是（）

■本科生

•软土生

Q睥十生

州建成他地区

毕业生签三方就业单位所在省（区.市）公布

A.博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业

B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%

解:对于A,由图中的数据可知，在北京就业的博士生就业率为521％>50%,故选项A

正确;

对于8,毕业生在北京的就业率为21.9%X2971+39.6%X2527+52.1%X146W7S

2971+2527+1467

<50%,故选项B正确;

对于C,到四川省就业的硕士毕业生人数为3.2%X2527=81人，到四川省就业的博士毕

业生人数为3.7%X1467=54<81,故选项C正确;

对于。，浙江省就业的毕业生人数占毕业总人数的比例为

'ox哈幽慧r”“%,故选项。错误•

故选：D.

5.将《傲慢与偏见》《巴黎圣母院》等六本不同的国外名著按如图所示的方式竖放在一起,

则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有（)

A.120种B.240种C.200种D.180种

解：排《傲慢与偏见》，有2种排列方法，其它任意排，

故《傲慢与偏见》故在最前面或最后面的不同放法共有：2A削240种，

故选：

1nx

6.曲线一"在点(1,0)处的切线方程为()

xJ+l

1122

A.y=~2'x^2B.y=x-lC.y^2"x~^2D.y=2x-2

^l-3x2lnx111

解：因为“，:X6f所以y'|1故所求切线方程为yngx4.

y2XT222

(x3+l)

故选：A.

7.若，”=aX10"(lWa<10),则称〃［的数量级为〃.已知金星的质量为M千克，且M满

足/g/=23+/g48.69,则M的数量级为()

A.23B.24C.25D.26

解：因为/gM=23+/g48.69=24+/g4.869=/g(4.869X1024),

所以M=4.869X1024,则M的数量级为24.

故选：B.

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某

条棱上的一个端点尸在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为M则P在侧视

解：根据三视图可知，该几何体的直观图如图所示，由图可知,

P在侧视图中对应的点为点B,

故选：C.

p

'y>0

9.设x,y满足约束条件，则小+y的最小值为()

3x+y》3

A.—B.C.1D.9

1010

解：作出不等式组表示的可行域如图所示，

/+y2的几何意义为点J,y)到原点(0,0)距离的平方,

由图可知，原点到直线3x+y=3的距离的平方最小，

所以N+俨的最小值为

故选：A.

10.函数/(x)=2sin(3x+(p)(3>0,0<<p<n)的部分图象如图所示，要得到y=/(x)

的图象，只需将y=2coso)x的图象()

A.向右平移一个单位长度

6

B.向右平移令K个单位长度

JT

C.向左平移;二个单位长度

6

JT

D.向左平移右个单位长度

12

解：由/(x)的图象可知，所以T=m即29=兀，所以3=2.

乙JL乙，乙乙

所以/(x)=2sin(2x+(p),

又2X(-4)+@=?+2k兀，k€Z,0＜。＜兀，所以，

JL乙乙0

所以，f(x)=2sin(2x+-^-)y=2cos2x=2sin(2x-+^-)=2cos⑵+1-).

326

jr

故将y=2cos2x的图象向左平移合个单位长度即可得到y=/(x)的图象，

故选：D.

11.在四面体A8CP中，P8_L平面A5C,且4B_LAC,AB=AC,若四面体ABC户外接球的

半径为Y*PB.则P4与平面ABC所成角的正切值为()

A.■—B.--C.2D.3

23

解：因为P8_L平面A8C,且ABJ_4C,所以四面体ABC尸可以补形为一个长方体，

故其外接球的半径区逗豆硬心町PB2当pB，

则AB=3PB.

因为PA与平面ABC所成角为/PA8,所以tan/PAB卓士.

AB3

故选：C.

22

12.已知双曲线C：b〉0)的虚轴的一个顶点为。，直线x=2a与C交

于A,8两点，若△48。的垂心在C的一条渐近线上，则。的离心率为()

A.依B.2C.如D-&

解：设△ABQ的垂心为H,则。H_LA8,

不妨设力(0,b),则，(x,b),代入渐近线方程y=^x，解得x=m

a

则”(a,b),因为直线冗=2。与双曲线交于点A,B,

贝！M，8两点的坐标分别为：A(2a,6b)，B(2a,r/§b)，

困也,,(百-l)b、，(V3+l)b,

因为为1^=-^-><—

化简可得〃=〃，

2

所以双曲线的离心率为e=-=J1^=72-

aVa2

故选：D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.已知向量』式的夹角为120。，|胃=2,后=1,若G+不)±(a+Ab>，则入=

1

~2~'

解：：向量；，3的夹角为120。，|；|=2,|1|=1，，；・E=2X1XCOS120。=-1,

；(a+3b)，(a+人b，，

(a+3b),(2+入4)=a2+(入+3)+3入$=4+(A+3)X(-1)+3A=0,

则A=-

故答案为：-

14.在△ABC中，48=1,sinB=5sinC,CosA=—>则BC=_7^_.

5

解：因为sin8=5sinC,

所以AC=5A8=5,

则BC=Jl2+52-2X1X5X1-=V22.

故答案为：V22-

15.若抛物线N=2py(p>0)上的点A(m,1)到焦点的距离为4,则|刑=2后.

解：因为抛物线/=2期(p>0)上的点ACm,1)到焦点的距离为4,

所以1+^=4，即：P=6,X2—I2y,

所以《?=12,|m|=2V3-

故答案为：2M.

16.关于函数/(x)=4*4-2有如下四个命题：

@f(x)的定义域为［0,+8)；@f(x)的最小值为-1；

(3)f(x)存在单调递减区间；④(0,+8),f(sina)=0.

其中所有真命题的序号是①②⑷.

解：函数f(x)=4，+4-2,可得/(x)的定义域为［0,+8),所以①为真命题.

因为/(x)为增函数，所以/(x)的最小值为f(0)=-1,所以②为真命题，③为假

命题.

因为/(0)<0,/(I)>0,所以/(x)存在零点Xoe(0,1),

令&=sina,则/'(sina)=0,所以④为真命题.

故答案为：①②④.

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作

答.(-)必考题：共60分.

17.已知S,为数列｛为｝的前"项和，数列｛S,｝是等差数列，且$5=9,59-17.

(1)求｛a,J的通项公式；

(2)求数列｛an•2—5'的前〃项和刀“

解：(1)因为数列｛S,｝是等差数列，且$5=9,$9=17,

设数列｛S,｝的公差为止

贝Ud-嘿~=2，

可得S〃=9+2(n-5)=2n-1.

当心2时，an=Sn-S,t-]=2n-1-2(〃-1)+1=2,

当〃=1时，ai=Si=l,

'2,n)2

所以a

n1.n=l

(2)当时,a,「2"-S“=2"+i-(2n-1),

所以，当〃22时，[=2-1+23-3+24-5+....+2n+1-(2n-l)

=2+23+24+....+2n+l-(1+3+5+.....+2n-1)

-2^^-na+^~1)=2^2-n2-6>

当〃=1时、Ti=l,也满足上式，

所以

18.2020年底某网购公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度,

从2020年下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷

达图如图所示.规定评分不低于80分为满意，否则为不满意.

(1)求这20个会员对售后服务满意的频率.

(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评

价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员.

(i)求只有1个会员对售后服务不满意的概率；

(ii)记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X,求X的数学期望与标准差(标

准差的结果精确到0.1).

解：(1)由雷达图可知，这20个会员对售后服务满意的频率为第=0.7；

(2)(i)设只有1个会员对售后服务不满意的事件A,则

P(A)=cJx0.3XQ.72=0,441；

(ii)因为X〜B(3,0.7),

所以EX=3X0.7=2.1,DX=3X0.7X0.3=0.63,7DX^O.8.

19.以原点。为中心的椭圆C的焦点在x轴上，G为C的上顶点，且C的长轴长和短轴长

为方程N-8x+12=0的两个实数根.

(1)求C的方程与离心率；

(2)若点N在C上，点M在直线y=2上，|G/V|=2|GM，且GNLGM,求点N的坐标.

22

y

解：(1)由题意可设C的方程为“马-1o=1,(a>b>0,

因为R-8x+12=0的两根为xi=2,及=6,

所以2a=6,2b=2

则。=3,b=l9

2

则。的方程为工_+V=L

9

离心率e=W=2Z2；

a3

（2）易知G（0,1）.

设M(矶，2),N(XN,yz),则上GM=—

XMXM

由GN_LGM,得kcN=—-XM.

KGN

由|GN|=2\GM\,得J1+XM%N-0|=2dxM2+l，

因此I知=2.

由-N+y/=l,得|）刈=近~，

93

故点N的坐标为（2,返）或（2,-返）或（-2,Y5）或（-2,-金）.

3333

20.如图，在四棱锥P-ABC。的展开图中，点P分别对应点P,尸2,Pi,尸4,已知A,D

均在线段P1P3上，且PR_LP2C,PIP3np2c=O,四边形ABC%为等腰梯形，AB//CP2,

AB=^BC=^CP2.

（1）若M为线段BC的中点，证明：BC,平面PDM.

（2）求二面角A-PB-C的余弦值.

【解答】（1）证明：因为PIP3_L「2C,BP3np2c=。，所以04、DC、0P两两垂直,

所以PO_L平面ABC。，

又因为BCu平面ABC。，所以PD1,BC,即8c，尸。，

过8作BN,8c于N,四边形48cp2为等腰梯形，AB//CP1,

AB=—BC=,所以PO=£W=AB,BC=BD=DC=2AB,

2

所以力M_LBC,HPBC±DM,

又因为P£>C£>M=。，所以BC_L平面PDW.

(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设A8=l,

各点坐标如下:

P(0,0,1),8(A/3'1，0)，A(A/3-0,0),C(0,2,0),

PB=(如，I，-1)，PA=(V3»°，-1)，PC=(0，2,-1),

设平面P8A与平面PBC的法向量分别为7=(X，y<z),(w,v,w),

Pbrm=J3x+y~z=0“—1-

(一一，令尤=1,1r=(1,。，愿)，

PA-m=V3x-z=0

PB,n=V3u+v-w=0,-

_，令"=1,n=(1，v3-2行)，

PC•n=2v-w=0

设二面角A-PB-C的大小为3由图可知8为钝角，

所以cos0=-・nJ=7_7

Im|,|n|玄一3

21.已知函数/(x)=》3-6N+or的图像经过点A(2,2).

(1)设f€R,讨论/(x)在"+8)上的单调性；

(2)若f(无)在［,〃，zn+1］上的最大值为f(，")，求，〃的取值范围.

解：(1)因为/(2)=24-16=2,所以。=9,

f(x)=x3-6x2+9x,f(x)=3(x2-4x+3)=3(x-3)(x-1),

当x<1或x>3时，g'(x)>0,当1Vx<3时，g'(x)<0,

故①当r<l时，/（x）在（f,1）和（3,+8）上递增，在（1,3）上递减;

②当1WV3时，f（x）在（t,3）上递减，在（3,+8）上递增；

③当自3时，f（x）在（f,+8）上递增；