2022年北京小汤山中学高三数学文月考试题含解析

2022年北京小汤山中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量=，，=，，若函数在区间（-1，1）上是增函数，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.在等差数列中,,则的值是

A.15

B.30

C.31

D.64参考答案：A略3.命题p：“若x2－3x+2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B4.复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（

）（A）第一象限

（B）第二象限（C）第三象限

（D）第四象限参考答案：C5.“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“x＞0，y＞0”?“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．【解答】解：“x＞0，y＞0”?“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x＞0，y＞0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．6.已知向量，，若，则=__________.A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.设，函数的图像可能是(

)参考答案：B8.已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0参考答案：B【考点】圆的切线方程．【分析】求出P的坐标，设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直线l的方程．【解答】解：由题意，切线的倾斜角为30°，∴P（1，）．设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直线l的方程为x+y﹣4=0，故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．9.已知一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A．34 B．22 C．12 D．30参考答案：B由该几何体的三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示：其中，正方体是棱长为，，，∴∴故选B.

10.已知是虚数单位，复数满足，则

A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，双曲线与抛物线有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为

.参考答案：12.若的内角、、满足6sinA=4sinB=3sinC,则

参考答案：13.设，，，则、、从小到大的顺序是

.参考答案：因为，，，即，所以。14.已知圆心角为120°的扇形AOB半径为，C为中点D，E分别在半径OA，OB上．若CD2＋CE2＋DE2＝，则OD＋OE的取值范围是

．参考答案：15.模长为1的复数x，y，z满足x+y+z≠0，则的值是

．参考答案：1【考点】A8：复数求模．【分析】分别设x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ．利用复数的三角形式的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：分别设x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ．则xy+yz+zx=cos（α+β）+isin（α+β）+cos（γ+β）+isin（γ+β）+cos（α+γ）+isin（α+γ）∴|xy+yz+zx|=，其被开方数=3+2cos（α﹣β）+2cos（β﹣γ）+2cos（α﹣γ）．同理可得|x+y+z|=，其被开方数=3+2cos（α﹣β）+2cos（β﹣γ）+2cos（α﹣γ）．∴=1．故答案为：1．16.已知，若，则

．

参考答案：略17.一个梯形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，且梯形的面积为，则原梯形的面积为______________.

参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1?侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC?面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．19.(本小题满分12分)已知三次函数的导函数，，，为实数。m]（1）若曲线在点（，）处切线的斜率为12，求的值；（2）若在区间上的最小值、最大值分别为和1，且，求函数的解析式。参考答案：解析：（Ⅰ）由导数的几何意义=12

……………1分∴

……………2分∴

∴

………3分（Ⅱ）∵，∴

……5分由

得，∵［-1，1］，∴当［-1，0)时，，递增；当（0，1］时，，递减。……………8分∴在区间［-1，1］上的最大值为∵，∴=1……10分∵，∴

∴是函数的最小值，∴

∴∴=

………………12分略20.已知点，动点P到直线的距离与动点P到点F的距离之比为.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作任一直线交曲线C于A,B两点，过点F作AB的垂线交直线于点N；求证：ON平分线段AB.参考答案：（1）.（2）证明见解析【分析】（1）设，几何关系代数化，得到，化简即得解；（2）设AB的直线方程为，与椭圆联立得到M点坐标，表示直线ON方程，验证M在ON上即可.【详解】（1）设,则化简得（2）设AB的直线方程为则NF的直线方程为联立得∴直线ON的方程为联立得设,,则设AB的中点为,则∴∴将点M坐标代入直线ON的方程∴点M在直线ON上

∴点M平分线段AB【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21.设函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0）．（1）求函数f（x）的最小值g（a），并证明g（a）≤0；（2）求证：?n∈N*，都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1＜成立．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最小值g（a）=a﹣lna﹣1，再求出g（a）的单调区间，从而得到g（a）≤0；（2）根据题意得到ex＞x+1，从而可得（x+1）n+1＜（ex）n+1=e（n+1）x，给x赋值，从而得到答案．【解答】解：（1）由a＞0，及f′（x）=ex﹣a可得：函数f（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，∴函数f（x）的最小值g（a）=f（lna）=a﹣alna﹣1，则g′（a）=﹣lna，故a∈（0，1）时，g′（a）＞0，a∈（1，+∞）时，g′（a）＜0，从而g（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，且g（1）=0，故g（a）≤0；（2）证明：由（Ⅱ）可知，当a=1时，总有f（x）=ex﹣x﹣1≥0，当且仅当x=0时“=”成立，即x＞0时，总有ex＞x+1，于是可得（x+1）n+1＜（ex）n+1=e（n+1）x，令x+1=，即x=﹣，可得（）n+1＜e﹣n，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e1﹣n，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e2﹣n，…，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e﹣1，对以上各等式求和可得：（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜e﹣n+e1﹣n+e2﹣n+…+e﹣1=＜＜，∴对任意的正整数n，都有（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜，∴1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1＜成立．22.本大题满分12分）

某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表：

已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元。用表示经销一辆汽车的利润。

（1）求上表中a、b的值；

（2）若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P（A）；

（