在万有引力作用下的质点运动

本科毕业论文题目:在万有引力作用下的质点运动问题完成人姓名：主修专业： 物理学教育所在院（系）： 物理系入学年度： 2006年完成日期：指导教师： 在万有引力作用下的质点运动问题物理系摘要：质点在万有引力作用下的运动是经典力学的一个重要问题，在万有引力作用下行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。人造卫星运动也是卫星受地球万有引力作用绕地球作椭圆运动。这样万有引力作用下的质点运动问题就显得尤为重要。本文主要是根据万有引力的知识解决地球卫星的速度，变轨等问题。通过导出的极坐标系下物体在万有引力作用下运行的轨道方程，对人造地球卫星的轨道转换进行了定性的分析与探讨。本文从整体上分为两大部分，第一部分首先给出有心力即万有引力的定义基本特征，研究万有引力作用下的质点运动，得出行星椭圆轨道的运动方程及速度。第二部分从基本知识和方程入手重点研究宇宙速度和宇宙航行。使得概念和物理量的物理意义更加直观。关键词：有心力；万有引力；行星的速度；椭圆轨道；宇宙速度UndertheactionofgravityparticlemotionproblemsGuohaoDepartmentofPhysics,BohaiUniversityAbstract:Undertheactionofgravityparticleinsportsisanimportantproblemofclassicalmechanicsongravitation,undertheplanetsrevolvearoundthesun,sunforellipticmovementisafocusoftheellipse.SatelliteisbyearthsatelliteorbitedtheearthgravityACTSasellipticalmovement.Soundertheactionofgravityparticlemotionproblemsappearparticularlyimportant.Thispaperismainlybasedontheknowledgeofgravityearthsatellitestosolveproblemssuchasthespeed,theorbitchanges.Throughthepolarcoordinateobjectsinundergravity'sorbitsatellites,theequationoftherailtransitionqualitativeanalysisanddiscussion.Basedonthewhole,thefirstpartaredividedintotwomostfirsthaveheartnamelydefinitionofgravitycharacteristics,researchundertheactionofgravityparticlemovement,ellipticalorbitofplanetarymotionequationandspeed.Thesecondpartoftheuniversefromthebasicfocusspeedandcosmicvoyage.Makephysicalconceptandthephysicalmeaningmoreintuitive.Keywords:Centralforce;Gravitation;Thespeedoftheplanet;Ellipticalorbit;CosmicvelocityTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言 1\o"CurrentDocument"一、 行星运动及kepler定律 1\o"CurrentDocument"二、 有心力和有心运动 2（一） 基本特性 2质点的动量矩守恒 2有心运动是平面运动 3有心运动质点的机械能守恒 3（二） 运动方程 3（三） 轨道微分方程 5\o"CurrentDocument"三、 万有引力作用下的质点运动 6（一） 轨道方程 6（二） 行星的椭圆轨道运动 7轨道方程 7行星椭圆轨道方程的长短半轴 9行星速度 11行星法向和切向加速度 11行星作椭圆轨道运动的曲率半径 12\o"CurrentDocument"四、 宇宙速度和宇宙航行 12（一） 人造地球卫星在轨运行的轨道方程 12（二） 宇宙速度 15（三） 卫星轨道转换的实现 16结论 18参考文献 19万有引力作用下的质点运动引言经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的［1。行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动。人造地球卫星变轨问题，由于其所涉及的相关知识较多，综合性较强，在物理教材中只是一带而过，使许多学生对卫星在轨运行速率发生变化时卫星的轨道随之发生变化的规律感到困惑不解，总认为卫星在轨运行速率V理，轨道半径越大，卫星速率越小，而使卫星的速度增加，卫星\r却远离地球,作为物理教师有必要对此问题分析与探讨，本文将对行星的椭圆轨道方程和卫星变轨问题做进一步的分析和解决，有助于拓宽学生视野，引导学生突破难点，解决问题。一、行星运动及kepler定律日、月、星辰东升西落的天文现象，人类对其认识经历了漫长的道路。十六世纪前的“地心说”被教会用来作为“上帝造物”的依据，束缚着人类的思想。波兰天文学家哥白尼经过四十年的天文观测和研究，提出了“日心说”。德国天文学家kepler在总结前人对天体运行位置测量的资料后，在1609-1619年先后提出了“行星运行三定律"（kpler定律）。Newton在总结前人的科学实验，特别是伽利略“自由落体”定律的基础上，提出了动力学三定律(Newton定律)，并于1686年提出了“万有引力定律”⑵。二、有心力和有心运动基本特性取力心为惯性系坐标的原点，则质点受到的有心力可按定义写为—►-rF=F(r)-=F(r)—rr其中，—=r弓是质点的位置矢量。由此可以立即知道有心力对于力心的力矩为零。因为有心力的方向总是通过力心，有心力对力心(坐标原点)的力矩为M=rxF=rF(r)exe=0其次，有心力是保守力。这是因为有心力只具有径矢方向的分量，因而质点由P1点运动到P2点时有心力作的功是PrW-j1F(r)edr-fF(r)drr「2 r2这个积分只与起点和终点离开力心的距离尸1和r2有关，显然与质点运动的路径无关。这就证明了有心力是保守力［3。根据有心力的特点，立即可以推得质点有心运动的一些基本特性。质点的动量矩守恒质点受到的有心力对于力心的力矩为零，由动量矩定理立即可知，质点在运动过程中对力心（坐标原点）的动量矩守恒，即L=rxmv=L0=恒矢量有心运动是平面运动由于角动量与质点的位矢r及速度矢量v都垂直，质点的角动量却是一恒量矢量，因而质点的位矢和速度都只能在与角动量L=（=L0）垂直的平面内。质点的有心运动只能是平面，有心运动的轨道曲线是平面曲线。质点的运动平面，是由质点的初始位矢和初始速度矢量所决定的。有心运动质点的机械能守恒作用于质点的有心力是保守力，质点具有势能：V（r）=-rF（r）dr+V（r）0r0质点的总机械能守恒：E=T+V=1mv2+V二常量2（二）运动方程前面讨论了有心力和质点有心运动的一些特点，对求解有心运动问题提供了有利的帮助。质点有心运动问题的求解采用平面极坐标系是最为适宜的。取运动平面为极坐标平面，角动量则与极坐标平面垂百，质点的运动微分方程可写为m(r—r02)=F=F(r)rm(Gr+2r0)F=0上面的第二个方程很容易积分，注意到：书+2书=1位主

rdt因而有dt立即得出第一积分:这里h是积分常数。这个积分实际上就是质点角动量守恒的极坐标表示式。由式:—►L=Le=rxmv=mrx(re+rO—9)=mr20—.r29'=L=hm因此，对于有心运动，通常是在给定的初始条件下求解下列方程组:F(r)

r—r92= mr29=h除这两个方程外，还可利用机械能守恒方程:

1 .—m(r2+r202)+V(r)—E在上述三个方程中，只需适当选取两个方程，便可解得质点的运动。轨道微分方程关于有心运动，人们感兴趣的常常是质点的运动轨道。我们可以通过求解运动方程，先得到以时间t为参量的轨道参量方程r-r(t)，0-0⑺然后消去t得出轨道曲线方程r-r(0).但也可以一开始就在运动方程中消去时间参量t得到轨道微分方程，然后求轨道微分方程的解得出轨道曲线方程。r=攵0—hdr—-hd(!)

d0 r2d0 d0r式子中已经利用关系式。再引进变换：1u=——►r则有0=hu2dud0r=-dud0r=-h虹0

d02=—h2u2d2ud02代入运动方程中的第一式，即得到轨道微分方程:d2u,—mh2u2(———+u)=F(u)这个方程也称为比内公式［4，是二阶非线性微分方程。对此求解可得u=u(0)，从而得到质点的轨道方程r=1/u(0)=r(0)。它把质点所受的有心力、有心力场中的运动特征(角动量守恒)以及r和0为变量的

一个微分方程之内，因而既可以用它由已知轨道r=r(9)求有心力F(r)的具体形式；也可以用它由已知有心力求运动轨道。尤其在我们已知轨道而希望求力的规律时特别有用。式中F(r)的正负取决于有心力是斥力还是引力：斥力时为止号，引力时为负号。三、万有引力作用下的质点运动(一)轨道方程万有引力具有如下形式:万 k2F=——r2F(u)=—k2u2其中，度是与力的性质有关的常量。为求质点的运动轨道，将此式代入轨道微分方程，可得方程:TOC\o"1-5"\h\zd2u k2=—U+d92 mhd2 k2 k2——(u———)=—(u———)d92 mh2 mh这是简谐运动类型的微分方程，容易得出它的解为u=—=^2+acos(9-9)mh"kTrmhmh"kT1r=+Acos(9-9) 1+型^Acos(9-9)mh 0k2 0其中，A和都是积分常数，由初始条件确定；h与质点的动量矩相关。若令mh2p=~r~k2mh2,e= Ak2则轨道方程可写为r= 八八1+ecos（0—0°）只需适当选取极坐标轴（x轴）的方向，在上式中便可以取等号时，此时质点有心运动的轨道极坐标方程可写成Pr= 1+ecos0这是典型的圆锥曲线极坐标方程，力心（坐标原点）位于圆锥曲线的焦点。式子中e称为轨道的偏心率［5,p是圆锥曲线正焦弦长度的一半。椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线，这取决于偏心率e的数值。（二）行星的椭圆轨道运动轨道方程设椭圆的长短半轴分别为a和b,椭圆的两焦点f,F之间的距离为2c,a>c,太阳位于焦点f2处,P为椭圆轨道上行星经过的任意一点,如图1所示.按余弦定理可得(2a—r)2=(2c)2+r2—4crcos0因有c2=a2+b2，故可得

1b2,(a2-b2)2——=1 cos0ar a图11设2a=也为正焦弦，8=（a2一b2）2为偏心率，则a aa=1-8cos0r（1）如图2所示。图2图2当式（1）中0角的初始角为兀时，式（1）等价于行星椭圆轨道方程。如图1所示，按余弦定理可得(2c)2=r2+(2a-r)2-2r(2a-r)cos2^因cos因cos2^=cos2$-1故得椭圆表示式为:人bcos9=. —（2）t'r(2a-r)（2）•、,，bsrnv= —<r(2a-r)

行星椭圆轨道方程的长短半轴（1）行星椭圆表达式行星在太阳引力场作用下运动，由于引力场是有心力场,所以行星运动遵守角动量和能量守恒定律.当行星在轨道上运动时，设行星质量为m,它在轨道上任意点速度为v,太阳质量为M,行星和太阳中心之间距离为r,行星太阳系统的总能量为E,按能量守恒定律有:（3）（4）式中G为万有引力常数。对于行星太阳系统，在行星轨道上存在一点P，太阳中心和？点的矢径为rp，该点的行星速度为vp。rp和vp，之间的夹角为Vp，如图3所示，太阳中心和vp，之间的垂直距离为b（在椭圆轨道情况下，b丰rp），这个b即行星椭圆轨道的短半轴，根据角动量守恒定律mvrsinmvrsinW_mvrsinW（5）由图3知b_rsinvPP故可得.vbsmw故可得.vbsmw_-Pvr（6）将式（4）代入（6）可得（7）TOC\o"1-5"\h\z• b（7）sinv_ 一I1T2GM2ErL+后■1-p p」式（7）为行星椭圆轨道表达式。

将（2）和式（7）相对照，可得GM =a（8）v2（8）2E

mv2

p故有：（9）「 1GMm（9）E= 2a式（9）为行星太阳系统总能量。（2）行星椭圆轨道的长短半轴[6]由式（9）可得长半轴a的绝对值\a\\a\=GMm（10）对于行星太阳系统，遵守角动量守恒定律，，从图3可知角动量L=mVpb即短半轴为由式（8）知，，E由式（8）知，，E=-2mvp2b=上mvP故得（11）b=-L=（11）•\：‘2iEim

行星速度行星速度v可从行星太阳系统总能量表达式导出。将式（9）代入1GMm1GMmiD 1GMm1GMmiD — —mv2—co(Sco(S=vr(2a—r)所以法向加速度所以法向加速度（12）v2=GM式（12）为行星作椭圆轨道运动的速度表达式。行星法向和切向加速度如图3所示，行星的引力加速度GM在直线PF2上，其方向指向太阳中心F，行星的法向加速度a沿角FPF的平分线上。a=GMco曲根据式（2）有GMbGMb（13）r2^r(2a—r)如图3所示，切向加速度GM由式（2）可得,'2ar—r2—b22ar—r2所以切向加速度

GM.2ar—r2—b2a= tr2k2ar—r2行星作椭圆轨道运动的曲率半径[7]如图3所示，曲率半径p在FPF的角平分线上，有1 2V2

a=—

np将式（12）和式（13）代入上式，可得曲率半径（14）（2ar一r2）2

ab（14）由上面的讨论可见，在研究有心力场问题时，采用椭圆表示式处理行星运动的物理问题方法简洁，对深化理解有心力场的物理内容也是有益的。宇宙速度和宇宙航行（一）人造地球卫星在轨运行的轨道方程质点在有心力场中运动时，径向速度等于零的那些点又称为拱点。力心与拱点连线称为拱心线。力心与拱点间的距离称为拱点力心距，简称拱距⑻。它实际上确定了运动的边界到力心的距离。以地心为极点，在卫星地球连线和速度方向所决定的平面内建立极坐标系，由于卫星是在有心力作用下的运动，故满足角动量守恒和机械能守恒两个规律，根据角动量守恒定律有：mr2s=mr2s0 0

其中，，。为发射时卫星到地心的距离，30为发射时绕地球旋转的角速度⑼。用C表示营0，则r2®=C （1）取无穷远处引力势能为零，则在任意距离r处的引力势能为£广彳哗，卫星的机械能为：（2）（3）1 1-dr Mm（2）（3）E=2m(v2+V92)+E=2m[(3)2+(r®)2]-G（1）、(2)两式子联立，并利用®=dr，便可解得：dr（1）、 GM)2cos(9)2cos(9-9)1+I+——( mGM式中9为积分常数，将极轴转过以个角度，（3）式中9为积分常数，将极轴转过以个角度，（3）式子可写成（4） GM（4）-I2E,C「"1+〔1+——( )2cos9mGM（4）式就是物体在万有引力作用下的运行轨道方程，将（4）式与极坐标系的圆锥曲线方程r= P 比较分析轨道方程［1。］:1+ecos9a-当e=0时，运动轨道为一圆，即(R+H)2v『sin2a-2(R+H)gR2v「sin2a+g2R4=0解此方程有：gR2gR2(R+H)(1土icota)〃即发射速度为实数故cota=0即a=90。，此时v=对g，即就是。 0 （R+H）说，当卫星的发射速度方向与地心到该卫星的连线（极径）方向垂直时，并且满足发射速度是高度的单值函数［11］即v0=Rlg，此时卫星便绕地球作圆周运动，运动半径为（R+H）。梢当0〈川时，运动轨道为一椭圆，即:^当e=1时，运动轨道为抛物线，即:v°=%*土当巩，运动轨道为双曲线，即V0〉R\(R+H)根据b，c，d似乎发觉卫星作椭圆，抛物线，双曲线运动与发射角无关，果真是这样的吗？实际上，这只是一种理想化模型，是假设地球与卫星为质点的情况下菜成立的，在实际问题中，我们需要考虑他们的大小，轨道是不能穿过地球的，即还有一个条件：r.>R（这里卫星仍被视为质点）由于在轨道方程中，我们以地球的中心作为曲线的右焦点处理的，根据解析几何知识，在曲线上顶点到焦点的距离最短，故当4=0时有最小的距离r.=ep/(1+e)>R,将ep=h2/k2,e=\A\h2/k2代入此不等式，并解之有:v、R：(H2+HR)2gR (5)o(R+H)\'(R+H)sin2a-R2故发射速度v与发射角a必须满足(4)式才能使卫星轨道不穿过地球.0事实上由(4)式亦可知，欲使不等式右边为实数，要求|sina，R/(R+H),如果a太小，此不等式便不会成立，那么轨道便会过地球,这是不符合实际的[12]如果质点在势场中运动是周期性的，则轨道是闭合的。就是说，在径向极限匕诅和r之间往返有限次之后，周而复始，完全重复原先的运动。反之，如果在有限次振荡之后，轨道不能自行闭合则称轨道式开放的。下面我们再讨论一下近地面发射问题,近地面发射有H=0,由(4)式可知|sina|，R/(R+H),故只能取等号，于是有a=90°,当H=0a,=90。时，(4)式右边根号下成立了0/0型极限问题,根据数学知识可求出lim(R*二M；RR2=2，由(4)式得：vo>JgR宇宙速度近地面发射问题只可能是发射速度与极径垂直，发射的最小速度是点R(又称第一宇宙速度)，此时卫星以最小速度绕地球表面作圆周运动，当发射速度达七疙戒时(又称第二宇宙速度)卫星以地球心为焦点作抛物线运动，当然再也不可能返回地球，因为抛物线为非闭合曲线,当发射速度介于荻和、•斯之间时,卫星作椭圆运动，并随速度的增大椭圆越扁，地球为椭圆的一个焦点，发射点为近地点.当卫星速度大于t斯而小于第三宇宙速度时（物体逃离太阳系的速度，又称逃逸速度）它将在地球引力范围内作双曲线运动，当卫星脱离地球引力后,将绕太阳运动成为太阳的一个行星,如果控制发射速度和轨道,它也可成为其它行星的卫星。（三）卫星轨道转换的实现由第一宇宙速度可以看出，在轨的人造卫星其速度完全由轨道半径大小决定：与其的平方根成反比一一轨道半径越小的，其速度越大（贴地球表面飞行，其速度最大，即为第一宇宙速度7.9千米/秒）；轨道半径越大的，其速度越小。在变轨过程中，人造卫星由低轨道调整到高轨道，其轨道半径增加，那么运行速度将比原来的小。将人造地球卫星送入预定轨道已相当困难,而将它从一个轨道精确转移到另一轨道,更是难上加难。现仅定性说明一下如何将卫星从圆轨道r转换到圆轨道r2。理解变轨问题的关键是对公式V=.巫的正确理解.否则，自然\r就会产生本文开头所提到的问题.真正理解上式，关键在于必须清楚上式成立的前提条件:卫星沿半径为r的圆轨道匀速率运行时，即离地心为r,且径向速度vr=0,此时卫星所需向心力恰好由万有引力提供,即满足gM；=mV2^也即：%=停如图4中几个轨道.A:半径为r的圆;B:半径为r2的圆;a:表示一类椭圆（图4中只画出一个），近地点离地心为r3，远地点离地心为r2；b：表示另一类椭圆，近地点离地心为r，远地点离地心r>r.欲使卫星在1 3 2A轨道上运行，必须满足：（1）将它送至ri处；（2）速率必须是y您；' ‘1（3）速度与地面平行.这就是说，仅满足速率公式，而速度方向不满足vr=0，则仍不能沿圆轨道A运动.同理，若在r2处给卫星一个速率