高等数学-数列的极限

数列的概念收敛数列的性质小结思考题作业数列极限的概念概念的引入数列的极限函数与极限1一、概念的引入

极限概念是从常量到变量,从有限到无限,

即从初等数学过渡到高等数学的关键.

极限的思想源远流长.庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是:一尺长的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完.数列的极限

中写道:2刘徽(三世纪)的“割圆术”中说:意思是:设给定半径为1尺的圆,从圆内接正6边形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出正12边形、……等等正多边形的边长,正24边形.边数越多,圆内接正多边形越与圆接近,最后与圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有误差了.数列的极限

“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”3正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积数列的极限4如定义按照自然数的顺序排列的一列数简记为通项(generalterm),或者一般项.数列的极限二、数列(sequenceofnumber)

的概念5可看作一动点在数轴上依次取数列的(两种)几何表示法:数列可看作自变量为正整数n的函数:整标函数或下标函数(1)数列对应着数轴上一个点列.数列的极限6(2)在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注

不可将这串点连成曲线.onxn····1234则数列的几何意义是数列的极限平面上一串分离的点.7三、数列极限的概念即问题当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,当n无限增大时,无限接近于1.数列的极限如何确定?8如何用数学语言刻划它.可以要多么小就多么小,则要看?“无限接近”意味着什么?只要n充分大,小到什么要求.数列的极限当n无限增大时,无限接近于1.9数列的极限10定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,

使得对于时的一切不等式成立.

收敛于a(convergetoa).或称数列记为或那末就称常数a是数列的极限(limit),如果数列没有极限,就说数列发散(diverge).数列的极限11注{xn}有没有极限,一般地说,但是一旦给出之后,它就是确定了;主要看“后面”的无穷多项.定义

采用逻辑符号将的定义可缩写为:数列的极限(1)(2)(3)(4)“前面”的有限项不起作用,;的无限接近与刻划了不等式axaxnne<-;,将越大越小Ne12数列极限的几何意义数列极限的定义通常是用来进行推理注需要预先知道极限值是多少.和证明极限,而不是用来求极限,因为这里数列的极限即,),(内都落在所有的点ee+-aaxn13例所以,证

虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题时,对于给定的总暂时认为它是固定的,按照这个找出使不等式成立的N.

解不等式数列的极限14例证明数列以0为极限.证要使由于有

为了简化解不等式的运算,常常把作适当地放大.数列的极限用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.15例证所以,说明常数列的极限等于同一常数.数列的极限16例证为了使只需使数列的极限171.有界性如,有界;无界.定义若存在正数M,数n,恒有称为无界.则称数列有界;

数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上.否则,使得一切自然数列的极限四、收敛数列的性质18定理1证由定义,有界性是数列收敛的必要条件,推论注收敛的数列必定有界.数列的极限无界数列必定发散.不是充分条件.192.唯一性定理2证由定义,故收敛数列极限唯一.每个收敛的数列只有一个极限.数列的极限才能成立.使得20例证区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.数列的极限

反证法假设数列收敛，

则有唯一极限a存在.但却发散.21数列的极限3.保号性定理3如果且证由定义,对有

从而推论如果数列从某项起有且那么用反证法22在数列中依次任意抽出无穷多项:所构成的新数列这里是原数列中的第项,在子数列中是第k项,4.收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系子数列.叫做数列数列的极限?23*********************证是数列的任一子数列.若则成立.现取正整数

K,使于是当时,有从而有由此证明*********************定理4设数列数列的极限正整数

K收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.24

由此定理可知,但若已知一个子数列发散,或有两个子数列敛于a.收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.数列的极限一般不能断定原数列的收敛性;还可以证明:数列的奇子数列和偶子数列均收敛于同一常数a时,则数列也收仅从某一个子数列的收敛(证明留给做作业)25例试证数列不收敛.证因为的奇子数列不收敛.收敛于而偶子数列所以数列数列的极限

收敛于26数列数列极限收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系.五、小结数列的极限研究其变化规律;极限思想,精确定义,几