2024届一轮复习人教A版 等式与不等式专题 作业（四）

人教版2024届高二下学期一轮复习等式与不等式专题（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集，集合和，则集合的元素个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4．2．已知集合，则（

）A． B． C． D．3．设集合，，则（

）A． B． C． D．4．若实数，满足约束条件，则的最小值为A．5 B．4 C． D．5．已知函数（且）的图象恒过点，若直线（）经过点，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．56．某工厂要生产容积为的圆柱形密封罐.已知相同面积的底的成本为侧面成本的倍，为使成本最小，则圆柱的高与底面半径之比应为（

）A． B． C． D．7．已知向量，其中，则当最小时，A． B． C． D．8．已知集合，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列函数最小值为2的是（

）A． B．C． D．10．给出下列命题，正确的有（

）A．若，则B．若，且则的最小值为18C．若，且，则D．若，且为自然对数的底数，则11．已知，，且，则（

）A． B．C． D．12．已知直四棱柱的侧面积为，，，，则（

）A．、、、四点共圆B．平面C．直四棱柱的体积为定值D．直四棱柱的外接球的表面积的最小值为三、填空题13．已知，，若，2，依次成等差数列，则的最小值为______．14．实数满足不等式组，那么目标函数的最小值是______.15．已知点P在直线上，点Q在直线上，M为PQ的中点，且，则的取值范围是___________.16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为________.四、解答题17．已知函数的最大值为2.（1）求实数m的值；（2）若a，b，c均为正数，且.求证：.18．某单位计划建一长方体状的仓库，底面如图，高度为定值，仓库的后墙和底部不花钱，正面的造价为40元/米，两侧的造价为45元/米，顶部的造价为20元/平方米，设仓库正面的长为x米，两侧的长各为y米．（1）用x，y表示这个仓库的总造价z（元）；（2）若仓库底面面积s=100平方米时，仓库的总造价z最少是多少元？此时正面的长x应设计为多少米？19．已知函数（）．(1)证明：；(2)若为的最小值，且（，），求的最小值．20．产品的总成本与原料成本､运费及存储保管所需费用（简称仓储费）有密切关系.某企业上半年分数次共购进吨生产原料，且每次均购进原料吨（）.据前期测算分析，运费为每次2万元，总仓储费为万元.设该企业上半年的运费与总仓储费之和为.(1)求关于的表达式；(2)每次购进多少吨原料，可以使该企业上半年的运费与总仓储费之和最小？最小为多少万元？21．已知函数，，且的解集为.（1）求的值；（2）若都为正数，且，证明：.22．已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆分别交于，两点，求的面积的最大值.参考答案：1．B【分析】根据一元二次不等式求解方法求出，利用补集的定义求出，再利用交集的运算即可求解.【详解】因为所以，又因为，所以，.故选：B.2．A【分析】求出函数的值域得集合M，解不等式得集合N，再利用交集的定义求解作答.【详解】函数的值域是，即，解不等式得，即，所以.故选：A3．B【分析】解出一元二次不等式得集合，求交集即可.【详解】，则.故选：B.4．D【详解】画出表示的可行域如图，由，可得，平行直线，由图可知，当直线经过点时，直线在轴上截距最小，此时也最小，最小值为，故选D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．C【详解】由函数的解析式可得，即，则：，当且仅当时等号成立.综上，的最小值为4.本题选择D选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6．D【分析】设圆柱底面半径为，高为，利用圆柱体积公式可得；设单位面积的成本为，总成本为，结合圆柱底面积和侧面积公式可表示出，利用三项基本不等式的取等条件可求得结果.【详解】设圆柱底面半径为，高为，则，；设单位面积的成本为，总成本为，圆柱上下底的总面积为，侧面积为，（当且仅当时取等号），当总成本最小时，，.故选：D.7．B【详解】，当且仅当，即时，取等号，取得最小值为，此时，，则.故选B．8．A【分析】根据不等式的解法求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由集合，可得集合，又由，所以．故选：A.9．ABC【分析】A选项直接由二次函数的性质判断；B、C选项指数函数结合基本不等式进行判断；D选项通过对数函数的性质进行判断.【详解】对于A，，最小值为2；对于B，，当且仅当，时取得最小值2；对于C，，当且仅当，即时取得最小值2；对于D，，当时取得最小值1，综上可知：ABC正确.故选：ABC.10．BCD【分析】取特殊值可判断A；对B，利用基本不等式可求；对C，根据单调递增可得，即可判断；对D，构造函数，利用导数求得单调性可判断.【详解】对A，若，取，，则，不满足，故A错误；对B，由题设可知，则，故，当且仅当，时，上式不等式可取等号，此时取得最小值18，故B正确；对于C，因为，变形为，令，易知为单调增函数，故，为上的单调减函数，故C正确.对于D，令，则，令，则，当时，，当时，，在递增，在递减，，，即，即，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题考查根据已知判断不等式，解题的关键是根据已知条件选择强调的方法，如基本不等式、构造函数考虑单调性判断.11．BD【分析】由不等式的性质与基本不等式对选项逐一判断【详解】对于A，，，所以，故A错误，对于B，，即，，，故B正确，对于C，，，故C错误，对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：BD12．AB【分析】利用平面几何的有关知识可以判断A的正误；利用线面垂直的判定定理可以判断B的正误；设直四棱柱的高为，，利用柱体的侧面积与体积公式可判断C选项；设四边形的外接圆半径为，得到，由几何体的结构特征得到直四棱柱外接球的球心的位置，结合勾股定理及基本不等式，即可得到外接球的表面积的最小值，可以判断D的正误.【详解】对于A，因为，，，则，为等边三角形，则，同理，故、、、四点共圆，故A正确；对于B，在直四棱柱中，平面，平面，则，因为，，，则，所以，，故，又，所以平面，故B正确；对于C，设直四棱柱的高为，，由余弦定理可得，则，所以该直四棱柱的侧面积为，化简得，所以四边形的面积为，故直四棱柱的体积为，不是定值，故C错误；对于D，设四边形的外接圆半径为，则，如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心，且有，可将直四棱柱置于圆柱内，使得四边形、的外接圆分别为圆柱的两个底面圆，如下图所示：设外接球的半径为，则，当且仅当时，等号成立，故外接球表面积的最小值为，故D错误.故选：AB.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.13．【解析】根据等差中项的性质可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：因为，，且，2，依次成等差数列，所以，所以当且仅当，即，时取等号，故的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，属于中档题.14．-6【详解】试题分析：处理的思路为：根据已知的约束条件x-y+5≥0，x+y≥0,x≤3画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．当直线z=2x+4y过（3，-3）时，Z取得最小值-6．故答案为-6．考点：本题考查的知识点是线性规划，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．点评：解决该试题的关键是确定平移目标函数时那个点是最优解的点．15．【分析】先确定M所在直线方程，再根据条件作可行域，最后根据表示可行域上的点到原点连线的斜率，结合图象确定取值范围.【详解】因为M为PQ的中点，所以M在直线上，即，作可行域如图，即图中射线AB，其中，则的取值范围是.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：首先准确无误地作出可行域；其次确定目标函数的几何意义，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.16．4【分析】由双曲线定义可得，分析可得为的中位线，结合、的周长关系可得，AB为双曲线的通径即，联立上式可得，则可由均值不等式求二次商式最大值.【详解】∵轴且过，则AB为双曲线的通径，由，代入双曲线可得，故.为的中点，，则为的中位线，故，又的周长为，则的周长为①，∵②，故由①②可得，即，可得.故，当且仅当即时取等号.故答案为：417．（1）；（2）见解析【分析】（1）根据题意，利用绝对值三角不等式，求得函数最大值为，计算即可求解；（2）由（1）中m值，将平方，利用基本不等式求得最值，即可证明结论.【详解】（1）由，得函数的最大值为.∴，得或，∵，∴.（2）由（1）知：，∴，当且仅当时，“=”成立，进而.【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式的应用，属于中等题型.18．（1）；（2）仓库底面面积时,仓库的总造价最少是元,此时正面的长应设计为.【分析】（1）仓库的总造价正面造价两侧造价顶部造价，代入即可；（2）把仓库底面面积代入函数，利用基本不等式求其最小值以及的值即可．【详解】（1）如图所示，由题意，仓库的总造价为：（元；（2）仓库底面面积时，，当且仅当时，等号成立，又，．所以，当仓库底面面积时，仓库的总造价最少是3200元，此时正面的长应设计为．19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先利用绝对值不等式的性质化简的解析式，然后结合均值不等式的结论即可证得结论，注意等号成立的条件.（2）利用题意结合均值不等式的结论求解最值即可，注意“1”的灵活运用，同时应注意等号成立的条件.【详解】（1），当且仅当且时取“”号；（2）由题意知，，即，即，则，当且仅当，时取“”号，即的最小值为.20．(1)，；(2)每次购进吨原料，可使该企业上半年的运费与总仓储费之和最小，且最小为万元.【分析】（1）先列出购进原材料的次数，再利用运费与总仓储费之和为即可求出关于的表达式；（2）利用基本不等式即可求解.(1)解：由题知，该企业上半年的运费与总仓储费之和为购进原材料的次数为：所以，即，(2)解：由（1）知，，所以万元当且仅当，即时，取等号所以每次购进吨原料，可使该企业上半年的运费与总仓储费之和最小，且最小为万元.21．（1）；（2）见解析.【分析】（1）根据题意，分析可得的解集为，化简可得m的值；（2）由（1）的结论，则，，结合基本不等式的性质分析可得结论．【详解】（1），，且的解集为，可得的解集为，所以.（2）因为都为正数，所以，所以，当且仅当时，等号成立，即.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的性质，关键是求出m的值．22．（