福建省宁德市高三毕业班第三次质量检查数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精福建省宁德市2017届高三毕业班第三次质量检查数理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（）A。B。C。D.【答案】A【解析】集合，所以，故选A。2。若复数满足为复数单位),则的共轭复数为（）A.B.C.D。【答案】D【解析】，所以,的共轭复数为,故选D。3.已知，则的值为（)A。B.C。D。【答案】B【解析】,故选B。4.已知是圆周上的一个定点，若在圆周上任取一点,连接,则弦的长不小于圆半径的概率是（）A。B。C。D。【答案】D【解析】由题意知，所求概率为，故选D.5.执行如图所示的程序框图，如果输出的值为，则输入的值可以是（）A。B.C。D。【答案】D【解析】由程序框图知，第1次循环后，，第2次循环后,,第3次循环后,，。..由题意知,此时不满足，退出循环,输出,所以，故选D.6.已知实数满足的约束条件,表示的平面区域为，若存在点,使成立，则实数的最大值为（）A.B。C.D.【答案】A【解析】如图，作出可行域，要使存在点，使成立，只需，而表示阴影部分中的点与原点距离的平方，所以，即，的最大值为，故选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想。需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.7。已知,则“"是“”的（）A。充分不必要条件B.必要不充分条件C。充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】C【解析】考查函数，所以，所以在上递增，若则，若，则，故选C。8。已知是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（）A。B。C.D.【答案】B【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆锥和一个三棱柱组合而成，其体积为，故选B.点睛:1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此,可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．9.函数的图象大致是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得,排除A.当时，，排除C；。..,分析知，使，所以当时，,所以在上单调递减,排除D.故选B.10。已知为双曲线右支上一点，分别为双曲线左顶点和的右焦点，,若，则双曲线的离心率为（)A.B。C。D。【答案】C【解析】设，双曲线的左焦点为，由题意可知，为等边三角形，所以，所以由双曲线的定义,得.在中，由余弦定理得.化简得。得,解得或（舍),即双曲线的离心率为4,故选C。11.已知在三角形中，,边的长分别为方程的两个实数根,若斜边上有异于端点的两点,且，则的取值范围为()A。B.C。D.【答案】C【解析】有题可知。建立如图所示的坐标系，有点。设，则。所以。因为点到边的距离，所以的面积为定值.所以，故,故选C。12.若对，不等式恒成立,则实数取值范围是（）A.B。C。D.【答案】D【解析】因为对，不等式恒成立,所以，对恒成立,又因为，所以当时，；当时，对恒成立.令则可得，，且在上.在上,。。。故的最小值，所以，即。故选D.点睛：恒成立问题往往是采用变量分离，得到参变量与另一代数式的大小关系，进而转成求最值即可，对于数列的最值问题常用的方法有三个：一是借助函数的单调性找最值,比如二次型的，反比例型的,对勾形式的等等;二是作差和0比利用数列的单调性求最值；三是，直接设最大值项，列不等式组大于等于前一项，大于等于后一项求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13。的二项式中不含的项的系数为__________．【答案】【解析】的展开式中不含的项为,系数为.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1)求展开式中的特定项。可依据条件写出第r＋1项,再由特定项的特点求出r值即可。（2)已知展开式的某项，求特定项的系数。可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数。14.已知平面向量,若，则__________．【答案】【解析】由,可得与方向相反,故,，即有.15.已知直线与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点，若，则__________．【答案】【解析】如图，圆的圆心为（0,0），半径,因为弦，所以直线经过圆心，所以。直线的方程为.所以直线的倾斜角.在中，..16。已知等边三角形三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是__________．【答案】【解析】设正三角形的中心为，连接,分析知经过点的球的截面，当截面与垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值,从而可得截面面积的最小值。连结，因为是正三角形的中心，三点都在球面上，所以平面，结合平面,可得，因为球的半径.球心到平面的距离为1,得，所以在中，,又因为为的中点，是等边三角形,所以，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小,此时截面圆的半径，可得截面面积为。三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17。已知数列的前项和为是等差数列，且。（1）求数列和的通项公式;。。.(2）若，求数列的前项和。【答案】(1）；；（2）.【解析】试题分析：（1)利用递推关系、等差数列与等比数列的通项公式即可得出．

（2）利用“裂项求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．试题解析：（1)因为,所以，两式相减,得。又当时,。所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以。因为当数列为等差数列.（2)据(1)求解知，。18.随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高,某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查人，并将调查情况进行整理后制成下表：年龄(岁）频数赞成人数(1）世界联合国卫生组织规定：岁为青年，为中年，根据以上统计数据填写以下列联表：青年人中年人合计不赞成赞成合计（2）判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为赞成“车柄限行”与年龄有关？附：，其中独立检验临界值表：（3)若从年龄的被调查中各随机选取人进行调查,设选中的两人中持不赞成“车辆限行"态度的人员为,求随机变量的分布列和数学期望...。【答案】(1）见解析；(2)见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据数据填写列联表；（2)计算，对照数表即可得出结论；（3）的可能取值为，分别计算概率即可。试题解析：（1)青年人中年人合计不赞成赞成合计（2）由（1）表中数据得。，因此,在犯错误的概率不超过的前提下，认为赞成“车辆限行”与年龄有关。（3）的可能取值为，，，所以随机变量的分布列:所以数学期望.19.如图，在四棱台中，底面为平行四边形,为上的点。且.(1）求证：；（2)若为的中点,为棱上的点,且与平面所成角的正弦值为,试求的长.【答案】（1）见解析；（2).【解析】试题分析:（1）要证，只需证出平面即可,分析条件可得，；（2）为的中点,，所以四边形为菱形。又平面，所以分别以为轴，轴,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量求解即可。试题解析：(1）在平行四边形中，，在中，，可得.又。又平面，，又平面。又平面平面。又平面.(2）为的中点，，所以四边形为菱形.又平面，所以分别以为轴，轴，轴,建立如图所示的空间直角坐标系，则点.。设平面的一个法向量为，则有，令，则，设，,，，或（舍去）.。点睛:利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破"：第一,破“建系关"，构建恰当的空间直角坐标系;第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知抛物线上的点到点距离的最小值为。（1)求抛物线的方程；(2）若,圆，过作圆的两条切线分别交轴两点，求面积的最小值.【答案】(1）；（2）当且仅当时,取最小值8.【解析】试题分析：(1）利用两点间距离公式求最值即可；（2)由题意可知,,所以直线的方程为,由直线与圆相切,得圆心到直线距离等于半径，,整理得，同理得，得为方程的两根,利用根与系数关系求解即可。试题解析：。。。（1).，所以当即时,，不符合题意，舍去；所以即时，，或（舍去）,.（2）由题意可知,，所以直线的方程为，即，，整理得：，同理：，为方程的两根,，，当且仅当时，取最小值.21.已知函数.(1）当时，求证：对时，；(2）当时,讨论函数零点的个数。【答案】(1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导,再求导得恒成立,又因为恒成立；（2）由(1)可知,当x≤0时，f″(x）≤0，可得对∀x∈R，f′（x)≥0,即ex≥x+1，分类讨论当x≥-1时，当x＜-1时，函数y=f（x）的零点个数即可得解；当x＜—1时,再分0≤m≤1和m＜0两种情况进行讨论,由函数零点定理进行判断即可得到答案。试题解析：，所以（1）当时,，则，令,则，当时，，即，所以函数在上为增函数,即当时，，所以当时，恒成立，所以函数在上为增函数,又因为,所以当时，对恒成立。（2）由（1)知，当时，，所以，所以函数的减区间为,增函数为.所以，所以对,，即。①当时，，又，,即,所以当时，函数为增函数,又,所以当时，，当时，，所以函数在区间上有且仅有一个零点，且为。②当时,（ⅰ)当时，，所以,所以函数在上递增,所以，且,故时，函数在区间上无零点。（ⅱ）当时，，令，则，所以函数在上单调递增，,当时,,又曲线在区间上不间断,所以，使，故当时,,当时，，所以函数的减区间为，增区间为，又,所以对，又当时，，又，曲线在区间上不间断。所以，且唯一实数，使得,综上,当时,函数有且仅有一个零点；当时，函数有个两零点。点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4—4:坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为，且直线经过椭圆的右焦点。（1）求椭圆的内接矩形面积的最大值；(2）若直线与椭圆交于两点,求的值。【答案】（1）；(2）。【解析】试题分析：(1）设椭圆的内接矩形中，的坐标为，即可求最值；（2)用直线的参数方程和椭圆联立，得根据参数的几何意义可得求解即可.试题解析：...（1）椭圆化为