福建省宁德市霞浦一中高三上学期期中数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年福建省宁德市霞浦一中高三(上）期中数学试卷（文科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A=｛x｜y=lg（x﹣1）},集合B=｛y|y=﹣x2+2｝，则A∩B等于（）A．（1，2） B．（1,2］ C．[1，2） D．［1，2]2．复数Z=x+yi（xy∈R）满足|Z﹣4i|=｜Z+2|，则2x+4y的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．43．等比数列｛an｝的各项均为正数，且，则=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log354．如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形,则的值为（）A． B． C． D．5．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（)A．x= B．x= C．x= D．x﹣=6．已知定义域为R的函数f(x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(）A．∀x∈R，f(﹣x）≠f（x) B．∀x∈R，f(﹣x）≠﹣f(x)C．∃x0∈R,f(﹣x0）≠f(x0） D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f(x0）7．下列四个结论：①设为向量,若,则恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0,则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真"的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（)A．1个 B．2个 C．3个 D．0个8．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t,f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）A． B． C． D．9．对于函数y=g(x）,部分x与y的对应关系如下表：x123456y247518数列｛xn｝满足：x1=2，且对于任意n∈N*，点(xn,xn+1）都在函数y=g（x）的图象上，则x1+x2+…+x2015=（）A．4054 B．5046 C．5075 D．604710．x,y满足线性约束条件，若z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则a（)A．﹣2或1 B．﹣2或﹣ C．﹣或﹣1 D．﹣或111．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(）A． B． C． D．12．在△ABC中，a,b，c分别为内角A，B，C的对边,三边a，b，c成等差数列，且，则(cosA﹣cosC)2的值为（）A． B． C． D．0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数f（x)=ax﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点,则这个定点坐标是．14．某商人将彩电先按原价提高40％，然后“八折优惠"，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是元．15．如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．16．已知函数f(x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x,y满足:f(2）=2，f（xy）=xf（y）+yf(x)，an=（n∈N＊），bn=（n∈N＊）,考查下列结论：①f（1)=1；②f（x)为奇函数；③数列｛an｝为等差数列；④数列{bn｝为等比数列．以上命题正确的是．三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知某几何体的三视图如图所示．（Ⅰ）画出该几何体的直观图并求体积V；（Ⅱ)求该几何体的表面积S．18．（12分）已知函数f（x)=x3﹣3x+1(Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求曲线在点(0,f（0）)处的切线方程．19．(12分）设函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣1．（1）求f(x)的最大值及此时的x值（2)求f（x）的单调减区间（3）若x∈[﹣，］时，求f(x）的值域．20．（12分)已知等差数列｛an}中,a3=9，a8=29．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式；（Ⅱ)记数列｛｝的前n项和为Tn，求T100的值．21．（12分）如图，以AC=2为直径的⊙B，点E为的中点,点D在直径AC延长线上，CD=1，FC⊥平面BED，FC=2．（Ⅰ）证明：EB⊥FD；（Ⅱ）求点B到平面FED的距离．22．（12分）已知函数f（x)=﹣+（a﹣1）x+lnx．（Ⅰ)若a＞﹣1,求函数f（x)的单调区间；(Ⅱ)若a＞1，求证:(2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．

2016—2017学年福建省宁德市霞浦一中高三(上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A={x|y=lg（x﹣1）｝，集合B={y|y=﹣x2+2｝，则A∩B等于（）A．（1，2） B．（1，2］ C．[1，2） D．[1，2］【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=lg（x﹣1),得到x﹣1＞0，解得:x＞1，即A=（1，+∞），由B中y=﹣x2+2≤2，得到B=（﹣∞，2],则A∩B=（1，2］，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数Z=x+yi（xy∈R）满足|Z﹣4i｜=｜Z+2|，则2x+4y的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．4【考点】复数求模．【分析】根据复数模的定义，求出复数Z满足的条件，利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：∵|Z﹣4i｜=|Z+2|，∴|x+yi﹣4i｜=|x+yi+2|，即=，整理得x+2y=3，则2x+4y≥=，故2x+4y的最小值为，故选:D．【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用条件求出Z满足的条件，结合基本不等式是解决本题的关键．3．等比数列{an｝的各项均为正数，且a3a8+a5a6=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=()A．12 B．10 C．8 D．2+log35【考点】等比数列的通项公式；对数的运算性质．【分析】由题意可得a5a6=9，由等比数列的性质和对数的运算可得原式=log3（a5a6)5,化简可得．【解答】解:由题意可得a3a8+a5a6=2a5a6=18，解之可得a5a6=9，故log3a1+log3a2+…+log3a10=log3a1a2…a10=log3（a5a6）5=log395=log3310=10故选B【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题．4．如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（)A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算；向量加减法的应用．【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质，可得，=∠ABF=30°，然后根据向量的数量积，即可得到答案【解答】解：由正六边形的性质可得,=∠ABF=30°∴==｜|•｜|cos30°==故选C【点评】本题考查的知识点是向量的加法及向量的数量积的定义的应用，其中根据正六边形的性质得到得，=∠ABF=30°,是解题的关键．5．将函数y=sin(2x﹣)图象向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x= B．x= C．x= D．x﹣=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin(2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性,属于基础题．6．已知定义域为R的函数f（x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(）A．∀x∈R，f（﹣x)≠f(x） B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x)C．∃x0∈R，f(﹣x0）≠f（x0） D．∃x0∈R,f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】全称命题;特称命题．【分析】根据定义域为R的函数f(x）不是偶函数，可得：∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f(x）不是偶函数,∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x)为假命题；∴∃x0∈R,f（﹣x0）≠f（x0）为真命题，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性的定义,全称命题的否定，难度中档．7．下列四个结论:①设为向量，若，则恒成立;②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0"；③“命题p∨q为真"是“命题p∧q为真"的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【考点】复合命题的真假．【分析】由向量的运算性质判断出夹角是90°即可判断①正确；由命题的逆否命题，先将条件、结论调换,再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真,则p，q中至少有一个为真,不能推出p∧q为真，即可判断③．【解答】解：对于①设为向量，若cos＜，＞，从而cos＜，＞=1，即和的夹角是90°，则恒成立，则①对；对于②,命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0"而不是逆命题，则②错；对于③，命题p∨q为真，则p,q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真,反之成立，则应为必要不充分条件，则③错;故选：A．【点评】本题考查了向量问题，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题．8．设函数f（x)=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t）)处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为(）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t,f（t））处切线的斜率为在点（t,f（t)）处的导数值，可得答案．【解答】解：∵f(x）=xsinx+cosx∴f'（x）=（xsinx)'+（cosx）'=x（sinx）’+（x）’sinx+(cosx）’=xcosx+sinx﹣sinx=xcosx∴k=g（t）=tcost根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数,且当x＞0时g（t）＞0故选B．【点评】本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系．属基础题．9．对于函数y=g（x)，部分x与y的对应关系如下表：x123456y247518数列｛xn}满足：x1=2，且对于任意n∈N*，点(xn，xn+1）都在函数y=g(x）的图象上,则x1+x2+…+x2015=（）A．4054 B．5046 C．5075 D．6047【考点】函数的图象．【分析】由题意易得数列是周期为4的周期数列,可得x1+x2+…+x2015=503(x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3,代值计算可得．【解答】解：∵数列｛xn｝满足x1=2,且对任意n∈N＊，点(xn，xn+1)都在函数y=g(x）的图象上,∴xn+1=g（xn），∴由图表可得x1=2,x2=f（x1)=4，x3=f（x2）=5，x4=f（x3)=1，x5=f（x4）=2，∴数列是周期为4的周期数列,故x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3=503×（2+4+5+1）+2+4+5=6047,故选：D．【点评】本题考查函数和数列的关系，涉及周期性问题,属于中档题．10．x，y满足线性约束条件，若z=y+ax取得最大值的最优解不唯一,则a（）A．﹣2或1 B．﹣2或﹣ C．﹣或﹣1 D．﹣或1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC）．由z=y+ax得y=﹣ax+z，即直线的截距最大,z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值,不满足条件，若﹣a＞0，即a＜0,目标函数y=﹣ax+z的斜率k=﹣a＞0，要使z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=﹣ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=﹣2，若﹣a＜0，即a＞0,目标函数y=﹣ax+z的斜率k=﹣a＜0,要使z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=﹣ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时﹣a=﹣1，解得a=1，综上a=1或a=﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(）A． B． C． D．【考点】直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算．【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1,上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角,直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角,即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故选D．【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现,属于中档题．12．在△ABC中,a，b，c分别为内角A，B,C的对边，三边a，b，c成等差数列，且，则（cosA﹣cosC）2的值为(）A． B． C． D．0【考点】余弦定理．【分析】三边a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=1，设cosA﹣cosC=m，平方相加即可得出．【解答】解：∵三边a，b,c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，∴sinA+sinC=2sin=1,设cosA﹣cosC=m，则平方相加可得：2﹣2cos（A+C）=1+m2，∴m2=2cosB+1=．故选:A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分．)13．函数f（x）=ax﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是(1，5）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】函数恒过定点即与a无关,由题意令x﹣1=0，解得x=1，再代入函数解析式求出f（x）的值，从而可求出定点坐标．【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，则x=1时,函数f（1)=a0+4=5，即函数图象恒过一个定点（1,5）．故答案为：(1，5）．【点评】本题考查了指数函数图象过定点（0,1)，即令指数为零求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标．属于基础题．14．某商人将彩电先按原价提高40％,然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是1200元．【考点】一次函数的性质与图象．【分析】设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40％)x•0.8﹣x=144，解方程求得x的值，即为所求．【解答】解:设每台彩电原价是x元，由题意可得(1+40%）x•0。8﹣x=144,解得x=1200,故答案为1200．【点评】本题主要考查一次函数的性质应用,属于基础题．15．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】判断EF与正方体表面的关系,即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．16．已知函数f（x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足:f（2）=2，f（xy)=xf(y)+yf（x)，an=(n∈N*），bn=(n∈N＊)，考查下列结论：①f（1）=1;②f(x）为奇函数；③数列｛an}为等差数列；④数列｛bn}为等比数列．以上命题正确的是②③④．【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．【解答】解：（1）因为对定义域内任意x，y，f(x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），∴令x=y=1，得f（1）=0，故①错误，(2）令x=y=﹣1,得f（﹣1）=0；令y=﹣1，有f（﹣x)=﹣f（x)+xf（﹣1），代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x),故f（x)是(﹣∞，+∞）上的奇函数．故②正确，（3）若,则an﹣an﹣1=﹣===为常数，故数列{an}为等差数列,故③正确，④∵f（2）=2，f(xy)=xf（y）+yf(x）,∴当x=y时，f(x2)=xf(x）+xf(x)=2xf（x），则f（22）=4f（2）=8=2×22，f(23)=22f（2）+2f（22）=23+2×23═3×23，…则f(2n）=n×2n,若，则====2为常数,则数列{bn}为等比数列，故④正确,故答案为:②③④．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键．三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2016秋•霞浦县校级期中)已知某几何体的三视图如图所示．（Ⅰ）画出该几何体的直观图并求体积V；（Ⅱ）求该几何体的表面积S．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；空间几何体的直观图．【分析】（Ⅰ）由三视图画出该几何体的直观图,利用条件公式求体积V；（Ⅱ）利用面积公式求该几何体的表面积S．【解答】解：（Ⅰ）（Ⅱ）【点评】本题考查体积、面积的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．18．(12分)（2016春•西藏期末）已知函数f（x）=x3﹣3x+1（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ）求曲线在点（0，f(0）)处的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），求出方程f′(x)=0的根，根据二次函数的图象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间和极值;(Ⅱ）由导数的几何意义求出f′（0）:切线的斜率，由解析式求出f（0)的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程,再化为一般式方程．【解答】解:（Ⅰ）由题意得，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0得x=±1，当x∈（﹣1,1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）时，f′(x）＞0,∴函数f（x)在(﹣1，1）上递减,在(﹣∞，﹣1）,（1，+∞）上递增，当x=﹣1时取到极大值是f（﹣1)=3,当x=1取到极小值f(1）=﹣1．…（4分)（Ⅱ）由f′（x）=3x2﹣3得，f′（0）=﹣3，∵f（0）=1,∴曲线在点(0，f（0）)处的切线方程是y﹣1=﹣3x即3x+y﹣1=0．…（8分）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，以及导数几何意义的应用，属于基础题．19．(12分）（2016秋•开鲁县校级期中)设函数f（x)=2cos2x+sin2x﹣1．（1）求f（x)的最大值及此时的x值(2)求f（x）的单调减区间（3）若x∈[﹣，］时，求f（x）的值域．【考点】三角函数的最值;正弦函数的单调性．【分析】f(x)=2cos2x+sin2x﹣1=cos2x+=(1）当2x+,即时，f(x）取得最大值;（2)由，得，即可求出f(x)的单调减区间；(3）由,得，即可求出f（x)的值域．【解答】解:f(x）=2cos2x+sin2x﹣1=cos2x+=，（1）当2x+，即时,f(x）max=2;（2）由，得，∴f（x）的单调减区间为［］，k∈Z；（3），由，得，∴,∴﹣1≤f（x)≤2．则f（x）的值域为[﹣1，2]．【点评】本题考查了倍角公式、三角函数的单调性最值,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2014•贵阳二模）已知等差数列{an｝中，a3=9,a8=29．(Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式及前n项和Sn的表达式;（Ⅱ）记数列{｝的前n项和为Tn,求T100的值．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{an｝的通项公式及前n项和Sn的表达式．(Ⅱ）由（Ⅰ）得==，由此利用裂项求和法能求出T100的值．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列｛an｝中，a3=9，a8=29,∴，解得a1=1,d=4,∴an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3．Sn=n+=2n2﹣n．（Ⅱ)由（Ⅰ）得==,∴Tn=(1﹣++…+）=（1﹣），∴T100==．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列的前100项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．21．（12分）（2016秋•霞浦县校级期中)如图,以AC=2为直径的⊙B，点E为的中点，点D在直径AC延长线上，CD=1，FC⊥平面BED，FC=2．（Ⅰ）证明：EB⊥FD；（Ⅱ）求点B到平面FED的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）证明：EB⊥平面FBD，即可证明EB⊥FD；(Ⅱ）在平面FCH内过C作CK⊥FH,则CK⊥平面FED．即可求点B到平面FED的距离．【解答】（Ⅰ)证明:∵FC⊥平面BED，BE⊂平面BED,∴EB⊥FC．又点E为的中点，B为直径AC的中点，∴EB⊥BC．又∵FC∩BC=C，∴EB⊥平面FBD．∵FD⊂平面FBD，∴EB⊥FD．(Ⅱ)解：如图，在平面BEC内过C作CH⊥ED，连接FH．则由FC⊥平面BED知，ED⊥平面FCH．∵Rt△DHC∽Rt△DBE，∴=．在Rt△DBE中，DE==,∴CH==．在平面FCH内过C作CK⊥FH，则CK⊥平面FED．∵FC=2．∴FH2=FC2+CH2=,∴FH=．∴CK==．∵C是BD的中点，∴B到平面FED的距离为2CK=．【点评】本题考查线面平行的判定与性质,考查点到平面距离的计算，属于中档题．22．（12分）(2016•宁德模拟)已知函数f(x）=﹣+（a﹣1）x+lnx．（Ⅰ）若a＞﹣1，求