2024届一轮复习人教A版 数列专题 作业（一）

人教版2024届高二下学期一轮复习数列专题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在等差数列中，，，则（

）A．19 B．18 C．17 D．202．已知正项数列满足为的前项的积，则使得的的最小值为（

）A． B． C． D．3．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署．某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是（

）A．10万人 B．12万人 C．14万人 D．16万人4．已知数列中，，，则数列的前10项和（

）A． B． C． D．25．如表中数表为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行，第j列的数为aij，则数字41在表中出现的次数为（）234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……A．4 B．8 C．9 D．126．设等差数列的前项和为，若，则的值为A．27 B．36 C．45 D．547．在等比数列中，若，且，，成等差数列，则其前项和为A． B． C． D．8．记为等差数列的前项和，若，，则数列的通项公式（

）A． B． C． D．二、多选题9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（

）A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是182C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为10．已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（

）A．B．当戓6时，取得最小值为30C．数列的前10项和为50D．当时，与数列共有671项互为相反数．11．已知数列满足，，其中表示不超过实数的最大整数，则下列说法正确的是（

）A．存在，使得 B．是等比数列C．的个位数是5 D．的个位数是112．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．三、填空题13．已知数列满足，若数列的前项和为，，则中所有元素的和为______.14．已知为等差数列的前n项和，，，设，且数列的前n项和为，则使恒成立的实数的取值范围是______．15．设数列的前n项和为，，，则___________.16．在数列中，，且，则__________.四、解答题17．已知数列的前项和为，数列满足，（1）求数列、的通项公式；（2）求.18．已知等差数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）求.19．已知数列与满足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（Ⅲ）设证明：．20．已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和Tn．21．已知数列，，数列满足，n．（1）若，，求数列的前2n项和；（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．22．已知有穷数列A：（且）.定义数列A的“伴生数列”B：，其中（），规定，.（1）写出下列数列的“伴生数列”：①1，2，3，4，5；②1，，1，，1.（2）已知数列B的“伴生数列”C：，，…，，…，，且满足（，2，…，n）.（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C所有项的和.参考答案：1．C【分析】利用已知条件列方程组求出，从而可求出.【详解】设等差数列的公差为，则由题意可得，解得，所以，故选：C.2．B【解析】根据递推关系式，利用“累加法”以及等比数列的前项和公式求出数列的通项公式，再求出，利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由所以，，，利用“累加法”可得，所以，，若，则即，当时，不等式成立，故使得的的最小值为.故选：B【点睛】本题主要考查了递推关系式求通项公式、等比数列的前项和公式、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.3．D【分析】设第三年脱贫人口为万，则第二年脱贫人口为万，第一年脱贫人口为万，根据题意列出方程求解即可得解.【详解】设第三年脱贫人口为万，根据题意，第二年脱贫人口为万，第一年脱贫人口为万，三年完成脱贫任务则，解得，所以第一年脱贫人口应为16万.故选：D4．C【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.【详解】解：∵，∴，∴．∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，∴．∴，∴数列的前10项和．故选:C．5．B【分析】由表格得到每一列的通项公式，分析通项公式即可得到答案．【详解】由图可知，第1列的通项公式为，第2列的通项公式为，第3列的通项公式为，第列的通项公式为，，令，则，即为40的正约数，则的取值为1，2，4，5，8，10，20，40共8个，故选B．【点睛】本题考查行列模型的等差数列的应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，属于中档题．6．D【详解】试题分析：由得,故,故应选D.考点：等差数列的通项公式与前项和公式．7．B【解析】设等比数列的公比为，根据题设条件求得，，再利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，设等比数列的公比为，因为，所以，解得，又由成等差数列，所以，即，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．B【分析】由等差数列前n项和公式求出公差，即可得出通项公式.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，.故选：B.9．AC【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可．【详解】观察此数列，偶数项通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，，由此可得，A正确；，B错误；C正确；是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，不可能有，D错．故选：AC．【点睛】本题考查数列的通项公式，要求从数列的前几项归纳出数列的通项公式．这里我们只能从常见的数列出发，寻找各项与项数之间的关系，归纳结论．有时需要分奇数项与偶数项分别讨论归纳出结论，或者寻找两者的关系，从而得出结论．10．AC【分析】根据等差数列基本量求出通项公式及，即可判断A、B；判断通项大于零时的取值，将的前10项和列出，利用和之间的关系及的公式代入即可判断C；分析中的负项的性质及大小，进而判断中项的性质及大小，计算项数即可.【详解】解：因为等差数列，且，公差，所以，，所以，，所以选项A正确；因为，根据二次函数的对称性及开口向下可知：取得最大值为，故选项B错误；记的前10项和为，因为，当时，解得，当时，解得，所以，因为，所以，所以，故选项C正确；记，因为，，所以，所以当时，，由，，可知为偶数，若与互为相反数，则，且为偶数，由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，即，即，且为偶数，所以，且为偶数，故这样的有670个，故选项D错误.故选：AC11．BD【分析】根据取整函数的性质可得数列为递增数列，根据整数的性质可得，从而可求数列的通项，从而可判断AB的正误，利用二项式定理可判断C的正误，从而可判断D的正误.【详解】，.由题可得为正整数，故，所以数列为递增数列，故当时，．又当时，即，故即.又，结合、均为正整数可得，其中，而，故，其中.故，又，故，故，故数列是以为首项，3为公比的等比数列，因此，，因此A错误，B正确．又，因为为10的倍数，故的个位数为，因此C错误．设，则，故的个位数为，因此D正确.故选：BD．【点睛】思路点睛：以取整函数为背景的数列的递推关系，需结合递推关系的形式和整数的性质挖掘新的隐含的递推关系，从而把问题转化为常见的递推关系，与个位数或余数有关的问题，多从二项式定理去考虑.12．AD【分析】根据题意求出n，然后即可求出，再利用错位相减法求出新数列的和.【详解】设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，则从新数列的第1个1到第个1一共有项，从新数列的第1个1到第个1一共有项，所以，解得，而，所以，故A正确，B错误；，令，则，，，所以，故D正确，C错误，故选：AD.13．2520【分析】讨论为奇数和为偶数时，由等差数列的求和公式求和即可.【详解】由，得，所以，所以为奇数时，故都是集合中的元素.又，所以为偶数时，由得，所以2，4，6，8是集合中的元素，则集合中所有元素的和为.故答案为：2520.14．【分析】先求得数列的通项公式，由此求得，利用错位相减求和法求得，由分离常数，从而求得的取值范围.【详解】设的公差为d，由，得，解得，故数列的通项公式为，所以．则①，②，由①－②得，所以．因为等价于恒成立，而，所以．故答案为：15．【分析】化简，判断出为等比数列，从而计算出.【详解】由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：16．171【分析】由已知可构造数列是常数列，即可求得表达式，代入即可解除.【详解】因为，所以，所以，又，所以是常数列.所以，所以，所以.故答案为：171.17．（1）；（2）【解析】（1），，代入计算得到，得到答案.（2）讨论和两种情况，计算得到答案.【详解】（1），当时，，当时，也满足，所以，又数列满足，所以.（2）当，时，；当，时，.所以，，即.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．(1)；(2).【分析】（1）将已知条件用数列的基本量进行表示，解方程求得公差，即可求得通项公式；（2）利用等差数列的前项和公式即可求得.【详解】（1）因为数列是等差数列，故设其公差为，则，解得，故，则.（2）由（1）中所求，根据等差数列的前项和公式：，可得.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，以及前项和公式，属基础题.19．（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析【详解】（Ⅰ）由，可得，又将代入可得20．（1）（2）Tn【详解】试题分析：（1）当时，取最大值，即，故，从而，又，所以（1）因为，所以考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和．点评：典型题，本题首先由的关系，确定数列的通项公式是关键．不求和过程中应用了“错位相减法”．在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到．21．（1）（2）①见解析②数列不能为等比数列，见解析【解析】（1）根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；（2）①设数列的公差为，数列的公差为，当n为奇数时，得出；当n为偶数时，得出，从而可证数列，的公差相等；②利用反证法，先假设可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列不能为等比数列．【详解】（1）因为，，所以，且，由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是首项和公比均为4的等比数列，所以；（2）①证明：设数列的公差为，数列的公差为，当n为奇数时，，若，则当时，，即，与题意不符，所以，当n为偶数时，，，若，则当时，，即，与题意不符，所以，综上，，原命题得证；②假设可以为等比数列，设公比为q，因为，所以，所以，，因为当时，，所以当n为偶数，且时，，即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾，所以数列不能为等比数列．【点睛】本题主要考查数列的求和及数列的综合，数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法，数列综合题要回归基本量，充分挖掘题目已知信息，细思细算，本题综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.22．（1）①1，1，1，1，1②1，0，0，0，1（2）（i）证明见解析（ⅱ）所有项的和或（n是3的倍数）【解析】（1）根据“伴生数列”的定义求解即可；（2）（i）设存在，使得，讨论和，结合“伴生数列”的定义证明即可；（ⅱ）利用反证法得出不可能存在，，再对数列的前三项，，的值进行讨论，当时，得出所有项的和；当，，时，得出与已知矛盾；当，，时，结合“伴生数列”的定义得出所有项的和，同理可以得出当，，及，，时，所有项的和.【详解】解：（1）①1，1，1，1，1；②1，0，0，0，1.（2）（i）由题意，存在，使得.若，即时，.于是，.所以，所以.即.依次类推可得（，3，…，）.所以（，2，…，n）.若，由得.于是.所以.依次类推可得.所以（，2，…，n）.综上可知，