2023-2024学年湘教版必修第二册 　 平面向量基本定理 课件（37张）

理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基选定后，会用这组基来表示其他向量.课标要求素养要求通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向量基本定理的应用，重点提升数学抽象及直观想象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究1平面向量基本定理设e1，e2是平面上的两个不共线的向量，则(1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝___________，其中x，y是实数.(2)实数x，y由v＝xe1＋ye2__________.(3)不共线的向量e1，e2组成平面的一组基{e1，e2}.分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的______.xe1＋ye2唯一决定坐标1.思考辨析，判断正误×(1)平面向量基本定理中基的选取是唯一的.(

)提示基的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基.(2)零向量可以作为基.(

)提示由于0和任意的向量共线，故不能作为基.(3)若a，b不共线，则a＋b与a－b可以作为基.()提示由于a＋b和a－b不共线，故可作基.×√2.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基的是(

) A.e1，e2 B.e1＋e2，3e1＋3e2 C.e1，5e2 D.e1，e1＋e2

解析∵3e1＋3e2＝3(e1＋e2)， ∴两向量共线不可作为基.BBA.BD＝2CD B.BD＝CDC.BD＝3CD D.CD＝2BD课堂互动题型剖析2题型一平面向量基本定理的理解【例1】

若e1，e2是平面α内所有向量的一组基，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； (2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.

(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基是指平面内不共线的两个向量，事实上，若e1，e2是基，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基.思维升华【训练1】

设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中不能作为基的是(

) A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2

解析选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线， ∴不能作为基，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基.故选B.B题型二用基表示向量用基表示向量的方法将两个不共线的向量作为基表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式求解.思维升华【例3】

如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.题型三平面向量基本定理的综合应用由平面向量基本定理，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.【迁移2】

(变条件)若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN的值.∵A，P，M和B，P，N分别共线，由平面向量基本定理∴AP∶PM＝2∶1，BP∶PN＝2∶1.若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基之间满足的关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数.思维升华1.通过学习平面向量基本定理及其意义，提升数学抽象素养.通过运用平面向量基本定理解决问题，培养直观想象素养.2.对基的理解(1)基具备两个主要特征：①基是两个不共线向量；②基的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基.课堂小结3.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基将问题中涉及的向量向基化归，使问题得以解决.分层训练素养提升3

一、选择题1.设e1，e2是同一个平面内的两个向量，则有(

) A.e1，e2平行 B.e1，e2的模相等 C.同一个平面内的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) D.若e1，e2不共线，则对于同一个平面内的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

解析由平面向量基本定理知D正确.DDADB二、填空题6.设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________________.解析设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，7.已知向量e