2023-2024学年湘教版必修第二册 　 向量的数乘 课件（41张）

1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.课标要求素养要求利用向量数乘运算的形成过程，体会数学抽象在概念及性质的产生、发展过程中的作用，进一步提升数学运算及数学抽象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.向量的数乘(1)定义：求向量的实数倍的运算称为向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a(a≠0)的方向______；当λ<0时，λa的方向与a的方向______.③当λ＝0或a＝0时，λa＝0.相同相反(2)向量数乘的几何意义向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向____________.(3)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为________________.向量线性运算的结果仍是一个______.放大或缩小向量的线性运算向量2.共线向量(1)定义：当非零向量a，b方向____________时，就称a，b共线，也称a，b平行，记作________，并规定零向量与所有的向量平行.(2)共线定理a∥b⇔存在实数λ，使得_______________

(a，b为非零向量).相同或相反a∥bb＝λa或a＝λb点睛(1)平行向量与共线向量：共线向量就是平行向量.有了“相等向量”的概念之后，可知任意一组平行向量都可以移到同一直线上，因此平行向量就是共线向量.共线向量中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.共线向量中的“共线”对应平面几何中的两种情况：①表示向量的有向线段在同一条直线上；②表示向量的有向线段所在直线是两条平行直线.(2)相等向量与共线向量：相等的向量方向相同且长度相等，故相等向量是共线向量，但是共线向量不一定是相等向量.3.向量a与b的夹角∠AOB＝θ(2)显然，当θ＝0时，a与b______；当θ＝π时，a与b______.同向反向点睛4.单位向量5.数乘运算律一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则：(1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝_________.(2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝_______.(3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝________.xa＋ya(xy)axa＋xb1.思考辨析，判断正误×(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(

)提示当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一.当a＝0，b≠0时，不存在实数λ.(2)若b＝λa，则a与b共线(其中λ为实数).()提示由共线向量定理可知其正确.(3)若λa＝0，则a＝0(其中λ为实数).(

)提示若λa＝0，则a＝0或λ＝0.√×2.已知非零向量a，b满足a＝4b，则(

) A.|a|＝|b| B.4|a|＝|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反解析∵a＝4b，4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同.CC又∵两向量有公共点B，∴A，B，D三点共线.B课堂互动题型剖析2`题型一向量的线性运算向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的数乘中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当的运用运算律简化运算.思维升华

(2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb＝ma－nb.角度1判定向量共线或三点共线【例2】

已知非零向量e1，e2不共线.题型二向量共线的判定及应用(1)解∵b＝6a，∴a与b共线.(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点.思维升华角度2利用向量共线求参数值【例3】

已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值.

解∵ke1＋e2与e1＋ke2共线， ∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.利用向量共线定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.思维升华1∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.题型三用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法思维升华(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.D解析如图所示，课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.下列说法中正确的是(

) A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ为实数) B.若a，b共线，则b＝λa(λ为实数) C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a D.若b＝±2a，则|b|＝2|a|

解析显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.DBBAD38.已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k的值为________.

解析∵a与b是共线向量，∴a＝λb， ∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，－2三、解答题9.如图，