第五节 几何学的发展

第五节几何学的发展1几何学简介2欧几里得几何学3解析几何4射影几何学5非欧几何学6黎曼非欧几何7拓扑学8几何学的统一1几何学简介几何学是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。中文“几何”一词，为明代徐光启所创，希腊语原意为“测地术”。几何学的发展：欧几里得几何学（约公元前300年）；解析几何学（17世纪）；射影几何学（18世纪）；非欧几何学（19世纪）；微分几何学（19世纪）；黎曼几何学（19世纪）；拓扑学（19世纪）；代数几何学（20世纪）；分形几何（20世纪）2欧几里得几何学2.1《几何原本》欧几里得(Euclid,公元前330-275年)古希腊著名的天文学家和数学家。“原本”的希腊文意指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。欧几里得在这本书中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。第一、二、三及四卷包含了平面几何的一些基本内容。第五卷讲比例论，第六卷讲几何代数问题，第七、八、九卷是关于数论的内容，第十卷讨论不可公度量，最后三卷是立体几何问题。公设1假定从任意一点到任意一点可作一直线．2一条有限直线可不断延长．3以任意中心和直径可以画图．4凡直角都彼此相等．

5若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长．它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交.欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论十碑．它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证白明的基本原理——公设或公理．这就是后来所谓的公理化思想。特点：概念清晰；定义明确；公理直观可靠而且普遍成立；公设清楚可信且易于想象；公理数目少；引出量的方式易于接受；证明顺序自然；2.2圆锥曲线欧几里得《二次曲线》；阿基米德（Archimedes，公元前287-212年）；厄拉多塞（Eratosthenes公元前274-194年）《论圆锥曲线》；阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）《圆锥曲线论》，全书共八卷，含487个命题，与《原本》一起被誉为古希腊几何的登峰造极之作。3解析几何1629费马《平面与立体的轨迹引论》1637笛卡尔《几何学》将代数与几何相结合，引入了变数，数学进入变量数学时期。4射影几何学射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学。4.1产生背景绘画、建筑透视法阿尔贝蒂（L.B.Alberti,1404-1472，意大利）《论绘画》1435投影线、截影等。4.2发展德沙格(G．Desargues，1591—1661，法国)1639年《试论圆锥与平面相交结果》70多个射影几何术语，无穷远点，无穷远线。德沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”交比不变性定理；对合；调和点组线可以看作具有无限长半径的圆的一部分；焦点相合的椭圆退化为圆；焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线等等。帕斯卡(B．Pascal，1623—1662，法国)

16岁(1639)，约八页的小册子《略论圆锥曲线》帕斯卡定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”彭赛列（J.V.Poncelet,1788-1867）1822《论图形的射影性质》几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。莫比乌斯（A.F.Mobius,1790-1868）解析法，齐次坐标施陶特（K.G.C.vonStaudt）建成第一个严格的射影几何演绎体系。5非欧几何学（罗氏几何）5.1背景欧几里得第五公设（平行公设）：若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长．它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行证明或失败，或循环论证萨特里（意大利）、吕格尔（德国）、兰伯特（瑞士）5.2诞生与发展高斯1813反欧几里得几何非欧几里得几何非欧几何与康德的哲学相抵触没敢公开自己的成果。波约（J.Bolyai,1802-1860,匈牙利）1832《绝对空间的科学》罗巴切夫斯基（Lobacevskil,NikolaiLvanovie

1792～1856俄国人）《论几何学基础》1829《喀山大学》他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。两个重要的结论：

第一，第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。

欧式几何

同一直线的垂线和斜线相交。

垂直于同一直线的两条直线或向平行。

存在相似的多边形。