2021年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷（朝阳二模）

2021年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷（朝阳二模）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知全集〃=/?,设2={x|y=ln（x—1）},B={y\y=V%2+2x+10）,则An

S）=（）

A.口,3）B.[1,3]C.（1,3）D.（1,3]

2.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布

NQOS,/）。＞0）,试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的

人数占总人数的也则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）

A.150B.200C.300D.400

3.过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于4（巧,力）、以与）?）两点，且

xi+x2=p则弦A8的长为（）

A.7B.4C.7D.|

4.已知久1，%2是一元二次方程a，+bx+c=0的两个不同的实根Xi，x2,则“七＞1

且＞1”是"%+%2＞2且Xi•%2＞1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D,既不充分也不必要条件

5.已知向量五，方满足|五|=|方|=2,一•（3—■=一2,则|2五一方|=（）

A.2B.2遮C.4D.8

6.今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没

・“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为

清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，

则恰好选出1药1方的方法种数为（）

A.15B.30C.6D.9

7.函数y=（e，-eT）sin|2x|的图象可能是（）

8.已知双曲线C：捺一看=1（。>02>0）的一个焦点为尸，点/1,8是C的一条渐

近线上关于原点对称的两点，以A3为直径的圆过月且交C的左支于M,N两点,

若|MN|=2,A4BF的面积为8,则C的渐近线方程为（）

A.y=±V3xB.y=±?xC.y=±2xD.y=±?

3N

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知函数/。）=|s）x||cosx],则下列说法正确的是（）

A.的图象关于直线x=三对称B.〃%）的周期为]

C.（兀,0）是fO）的一个对称中心DJQ）在区间用品上单调递增

10.如图，正方体4BCD-&B1GD1的棱长为1，E,F

是线段aD1上的两个动点，且EF=；,则下列结论

中正确的是（）

A.AC1BE

B.EF//nABCD

C.A4E尸的面积与ABEF的面积相等

D.三棱锥E-4BF的体积为定值

11.下列说法正确的是（）

A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数“后，方差也变为原来的“倍

B.若四条线段的长度分别是1,3,5,7,从中任取3条，则这3条线段能够成三

角形的概率为:

C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

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D.设两个独立事件A和B都不发生的概率混,月发生且B不发生的概率与B发生

且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为:

12.已知a>0,m(x)=ex~2-e2~x,f(x)=a/n(x)-siarx,若/(x)存在唯一零点，

下列说法正确的有()

A.m(x)在R上递增

B.m(x)图象关于点(2,0)中心对称

C.任取不相等的实数％1，孙eR均有皿小);(久2)<7n(且着)

D.

三、单空题(本大题共3小题，共15.0分)

13.在(x—2y+z)7的展开式中，所有形如xa*z2Qb€N)的项的系数之和是

14.已知|z+V^i|+|z-遮"=6，则复数z在复平面内所对应点P(x,y)的轨迹方程为

15.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱S4,SB,SC两两互相垂直且AC=g,4B=V5,

此三棱锥的外接球的表面积为14兀，则BC=.

四、多空题(本大题共1小题，共5.0分)

16.函数y=f(x),xe[l,+oo),数列｛每｝满足0n=f(n),neN*,

①函数f(x)是增函数；

②数列也工是递增数列.

写出一个满足①的函数/(X)的解析式

写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式_(2)_.

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在①(b+a—c)(b—a+c)=ac；(2)cos(A+B)=sin(4-B)；③tang^=sinC这

三个条件中任选两个，补充在下面问题中.

问题：是否存在△力BC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2也，

,?若三角形存在，求人的值；若不存在，说明理由.

=

18.设又为数列｛小｝的前〃项和，已知。2=3，an+i2an+1.

(1)证明｛厮+1｝为等比数列.

(2)判断〃，an,Sn是否成等差数列？并说明理由.

19.中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、

重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许

多项中国首次2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回

器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天

体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事

件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有

40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示关注“嫦

娥五号”的部分).

关注没关注合计

男

女

合计

附：

P(K2>fc0)0.1500.1000.0500.0100.005

k。2.0722.7063.8416.6357.879

吟…雷瑟珠向，其中…+b+c+d

(1)完成上面的2x2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号'关注

程度与性别有关”？

(2)若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人.记被抽取的3名女

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生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

20.如图，A8是半圆。的直径，C是半圆。上除4,8外的一个动点，OC垂直于半圆

。所在的平面，DC//EB,DC=EB=1,AB=4.

(1)证明：平面力DEI平面ACO；

(2)当C点为半圆的中点时，求二面角。一4E—B的余弦值.

21.设函数/(久)=axlnx,其中aeR,曲线y=/(乃在点(1/(1))处的切线经过点(3,2).

(I)求a的值；

(11)求函数/0)的极值；

(m)证明:/(x)

22.已知椭圆E：捺+看=l(a>b>1)的离心率e=4，其左、右顶点分别为点A,B,

且点A关于直线y=x对称的点在直线y=3x-2±.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若点M在椭圆E上，点N在圆O：/+y2=炉上，且M,N都在第一象限,MNly

轴，若直线MA,MB与y轴的交点分别为C,D,判断sin“ND是否为定值，若是

定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：；y=ln(x-l),二x-l>0,二X>1,二4=(1,+8),

x2+2x+10=(x+I)2+9>9,

y=yJx2+2x4-10>3，­'-B=[3,+oo),CyB=(—<»,3),

••An(QB)=(1,3).

故选：C.

先求出集合A,B,再由全集U=R求出B的补集，最后求出A与8补集的交集即可.

此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

由已知求出P(X<90)=P(X>120)=0.2,进一步求出P(90<X<105)=；P(90<

X<120)=0.3,则答案可求.

【解答】

解：vP(X<90)=P(X>120)=0.2,

P(90<X<120)=1-0.4=0.6,

P(90<X<105)=|P(90<X<120)=0.3,

此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000x0.3=300.

故选：C.

3.【答案】C

【解析】解：由题意知，p=2,

由抛物线的定义知，\AB\=x1+x2+p=i+2=y.

故选：C.

抛物线的焦点弦长公式为|AB|=XI+X2+P，代入数据，运算即可.

本题考查抛物线的定义与几何性质，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：已知%1，%2是一元二次方程a/+bx+c=0的两个不同的实根Xi，x2>

则当'%>1且7>1”时，

整理得：“Xi+%2>2且X/X2>1”

当巧=0.99,x2=2,满足：“乂1+x2>2且•x2>1"但是>1且不>1"不成

立，

a

故“尤1>1且％2>1”是x1+x2>23.x1-x2>r的充分不必要条件，

故选：A.

直接利用不等式的性质和充分条件和必要条件的应用求出结果.

本题考查的知识要点：不等式的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力

和转换能力及思维能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：向量落方满足|矶=|石|=2,a-(b-a)=-2,

可得：a-b=2,

\2a—b|-J4a2—4a-b+b-y/16—8+4-y/12-2\/3'

故选：B.

利用数量积化简已知条件，然后通过向量的模的平方，转化求解即可.

本题考查向量的应用，向量的模的求法，考查计算能力.

6.【答案】D

【解析】解：根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，

则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，

则恰好选出1药1方的方法种数为3x3=9；

故选：D.

根据题意，分析“1药”和“1方”的取法数目，由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题.

7.【答案】A

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【解析】解：函数的定义域为R，f(-x)=(e-x-ex)sin|-2x\=~(ex-e-x)sin|2x|=

-/(x),为奇函数，故排除选项B,C；

又=(£2-e-2)sinl>0,/(-)=0,且三是第一个大于0的零点，故排除选项D.

故选:A.

由函数的奇偶性可排除选项2C,由特殊点的函数值可排除选项D,进而得出正确答案.

本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：设双曲线

的另一个焦点为P,由双

曲线的对称性，可得四

边形4F8尸是矩形，

"S4ABF-S&ABF，

即be=8,

(x2+y2=c2

由I式，可得

则|MN|=?=2,即/?2=C,

:,b=2,c=4,

・•・a=Vc2—b2=2V3，

•••c的渐近线方程为、=士卷,

故选：B.

设双曲线的另一个焦点为尸由双曲线的对称性，可得四边形AFBF'是矩形，可得S-BF=

S^ABF，即be=8,再根据|MN|=2,可得炉=c,即可求出

本题考查了双曲线的简单性质，三角形的面积，双曲线的渐近线方程，属于中档题

9.【答案】AB

【解析】解：函数f(x)=\sinx||cosx|=|sinxcosx|=1|sm2x|,

画出函数图象，如图所示;

所以/(%)的对称轴是％kez；

所以X=3是/(X)图象的对称轴，A正确；

/(X)的最小正周期是B正确；

/(X)是偶函数，没有对称中心，C错误；

*6［彳审时,2久€碎,兀］,sin2x>0,

所以八%)=加比2幻是单调减函数，。错误.

故选：AB.

化简函数/(x),根据函数的单调性与对称性和周期性，判断选项中的命题是否正确即可.

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础

题.

10.【答案】ABD

【解析】解：由正方体的结构特征可知，DD1_L平面ABCD,而4cu平面ABCD,则。/1

AC,

又ABC。为正方形，ACJLBD,

•:DrDCBD=D,且A。、BDu平面。。出8,AC1•平

面DD1&B,

vBEu平面叫AC1BE,故A正确；

•­•B[D["BD,BDu平面ABCD,8血《平面ABCD,

ABD/mABCD,而EF在8业1上，.•・EF〃平面A8C£),故B正确；

点8到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，贝必4EF的面积与4BEF

的面积不相等，故C错误；

如图所示，连接8。，交AC于。，则A。为三棱锥A-BEF的高，

=XX=,

SABEF=『EF=；x£x10-BEF=：SABEF.A。|4TS

则k.F=%-BEF=笠为定值，故。正确.

故选：ABD.

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证明线面垂直，可得线线垂直判断A;由直线与平面平行的判定定理判断B；由点A和

点B到EF的距离不相等，可得AAEF的面积与ABE尸的面积不相等，判断C错误；连

接BD,交AC于0,则A0为三棱锥71-BEF的高，利用等体积法证明三棱锥E-4BF的

体积为定值判断D.

本题考查立体几何的综合，涉及线面的位置关系、棱锥的体积公式等，考查空间想象能

力与推理论证能力，考查运算求解能力，是中档题.

11.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题.

A.根据数据的变化与方差的定义进行判断，

民利用古典概型的概率公式进行判断，

C.结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断，

D根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可.

【解答】

解：4将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数“后，方差变为原来的a2倍，故

4错误，

3.从中任取3条共有4种，若三段能构成三角形，则只有3,5,7,一种，则构成三角

形的概率是:，故3正确，

4

C.M-1,两个变量的线性相关性越强，|r|-0,线性相关性越弱，故C错误，

D由题意知P(7)•P(B)=I，P。).P(B)=P⑷•P(5)，

设P(4)=x,P(B)=y,则=3,

1(1—x)y=x(l—y)

得｛；丁一丫+孙=；得/_2%+]=；,即Q_l)2=；,得x-l=[或x-l=

得X=；(舍)或X=j,即事件A发生的概率为;，故。正确.

故正确的是BD,

故选：BD.

12.【答案】ABD

【解析】解：m\x)=ex-2+e2T>0,则m(x)在R上递增，故A正确,

x22x2xx2

m^+m(<4-x)=e--e-+e--e-=0,则m(x)图象关于点(2,0)中心对

称，故B正确，

m"(x)=ex-2-e2-x,当x>2时，mw(x)>0,即m'(x)为增函数,即m(x)图象下凸,

此时m(Xi)+m(X2)

(臂)，故c错误,

若/(x)存在唯一零点，则a(e*-2-e2~xy)=sirnrx只有一个解，即g(x)=a(ex~2—e2~x)

与h(x)=simrx只有一，个交点，

g'(x)—a(ex~2+e2~x),h'(x)=ncosnx,由g(2)=/i(2)=0,

则g(x)、h(x)的图象均关于点(2,0)中心文寸称，在x=2的右侧附近g(x)为下凸函数，h(x)

为上凸函数，

要%>2时，图象无交点，当且仅当g'(2)2/i'(2)成立.

于是2a2兀，即a2成立，故。正确，

故选：ABD.

分别求函数的导数，研究函数的单调性和对称性，以及图象特点，然后进行判断即可.

本题主要考查与导数有关的命题的真假判断，求函数的导数研究函数的单调性和对称性,

考查学生的运算推理能力，是个难题.

13.【答案】-21

【解析】解：因为(x-2y+z)7=[(%-2y)+z]7,

所以展开式中含z2的项为废(久-2y)5z2,

令x=y=z=1,则所求系数之和为C>(1—2)5-I2=-21,

故答案为：—21.

因为(x-2y+z)7=[(x-2y)+z]7,然后求出展开式的含z2的项，再令x=y=i,即

可求解.

本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算转化能力，属

于基础题.

14.【答案】《+[=1

94

【解析】解：•.・复数Z在复平面内所对应点p(x,y),

又|z+V5i|+|z—V5i|=6，

第12页，共19页

2

•••J尤2+(y+而)2+Jx2+(y-V5)=6，

即点P(x,y)到点4(0,一遮)，和B(O,-V亏)的距离之和为:6,且两定点的距离为：2病＜6,

故点P的运动轨迹是以点A8为焦点的椭圆，且2a=6,2c=2通，

故b=Va2—c2=2，

・・.复数Z在复平面内所对应点P(X,y)的轨迹方程为：4+9=1，

94

故答案为：[+1=1.

直接利用复数的几何意义以及椭圆的定义即可求解结论.

本题考查点的轨迹方程的求法，并涉及到复数的运算，属于基础题.

15.【答案】JlO

【解析】解：由题意三棱锥S-ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两

互相垂直可知，三棱锥S-ABC是长方体的一个角，z

如图：设SA=x,SB=y,SC=z,

S'"----------A

x

由题意可得：x2+z2=13,x2+y2=5,y2+z2=BC2,

三棱锥的外接球的表面积为14兀，三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长度，就是

外接球的直径2R,

所以2R=y/x2+y2+z2,4nR2=14兀，

可得/+y2+z2=14,

解得x=2,y=1,z=3,

所以BC=y]y2+z2=V10-

故答案为：VTO.

画出图形，利用已知条件，列出方程组，转化求解即可.

本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法与应用，判断几何体的形状，是解题的关

键，是中档题.

16.【答案】/(x)=x2

4

/Q)=(%--)2

【解析】解：由题意，可知：

在xe[l,+8)这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：/(x)=x2.

第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：/(X)=(X-

乎

则这个函数在［1(］上单调递减，在岁+8)上单调递增，

•••/(X)=0-()2在［1,+8)上不是增函数，不满足①.

而对应的数列为：%,=(。一)2在neN*上越来越大，属递增数列.

故答案为：/(x)=%2;/(x)=(x-?)2.

本题第一个填空很简单，可用到常用的函数f(x)=x2；第二个填空要考虑到函数和对

应的数列增减性不同去思考.

本题主要考查对常用函数的增减性的熟悉以及函数和数列对应的增减性的一点区别，本

题属中档题.

17.【答案】解：①,・•(b+a-c)(b-0+c)=ac,即坟一(a-c7=QC,

・•・a2+c2—b2=ac,

由余弦定理知，cosB=a~b=~=~^

2ac2ac2

•・.B6(0,7T),・•・B=

③■:tan^|^=sinC,

c

.71—C.「HnC0S2c.CC

tan——=sinC,即一|=2sin-cos

2sin-22

VCG(0,TT),.%COS1>0,A2stn21=l,即C=《

选择①②：由上知B=£,

vcos(i4+8)=sin(i4-8),

・•・^cosA-ysinA=^sinA-ycosA,即(1+翼)cosA=(1+\f3)sinA,

**tCLTiA—1,

AE(0,TT),4=〔，sinA=孝，

由正弦定理知，意=焉,

A=逅，♦・.b=2V3.

22

选择①③：B书，C=以

va=2>/2»・•.b=2遍.

第14页，共19页

选择②③：由上知C=£,

vcos(i4+B)=sin(i4—B)=COS(TT—C)=—cosC=0,

・•・4-B=0,即4=B=今，

:・b=a=2V2-

【解析】①根据平方差公式将其进行化简，并结合余弦定理，可得8=全

③结合同角三角函数的平方关系、二倍角公式，可得。=看

选择①②：结合B=g与两角和差公式化简条件②，推出tarM=l,再由正弦定理，得

解；

选择①③：根据特殊直角三角形的边长比例关系，得解；

选择②③：结合c=5三角形的内角和定理与诱导公式，推出a=B=W，从而得解.

本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理、二倍角公式与两角和差公式是解题

的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)证明：a2=3,an+1=2an+l,可得的=1,

即有册+i+1=2(an+1),

则｛an+1｝为首项为2,公比为2的等比数列；

(2)由(1)可得册+1=2”,即有厮=2n-l,

S="I)­n=2n+1—2—n,

n1-2

由n+S”-2即=n+2n+1-2-n-2(2n-1)=0,

可得小an,S。成等差数列.

【解析】本题考查等比数列的判定，等差数列的中项性质，考查化简运算能力，属于中

档题.

(1)由题意，结合等比数列的定义，即可得证；

(2)由等比数列的通项公式和求和公式，结合等差数列的中项性质，可得结论.

19.【答案】解：(1)2x2列联表如下：

关注没关注合计

男303060

女122840

合计4258100

所以长2="(ad-bc)Z=l°Qx(30*28-12x30)'=照忆3941>3841

-(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)-42x58x40x60-203~'

所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号'关注程度与性别有关”；

(2)因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为P=篙=卷

又因为X〜B(3,卷)，所以随机变量X的分布列为:

X0123

34344118927

P

1000100010001000

故E(X)=np=^.

【解析】(1)由等高条形图中的数据填写列联表，再由公式计算好的值，然后判断即可；

(2)计算出女生中关注此新闻的概率，再由二项分布的性质求出分布列以及数学期望即

可.

本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，二项分布

的性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

20.【答案】(1)证明：•••48是圆。的直径，二4。18(7,

*

vDC，平面ABC,BCu平面ABC,

•••DC1.BC,又。CnAC=C,

二BC,平面ACC,/r

•••DC//EB,DC=EB,'、

••・四边形QCBE是平行四边形，.•.CE//BC,

•••DE_L平面ACD,xy

又DEu平面ADE,

••・平面4CD1平面ADE.

(2)当C点为半圆的中点时，AC=BC=2<2,

以C为原点，以C4,CB,CQ为坐标轴建立空间坐标系如图所示：

则。(0,0,1),E(0,2A/2,1).4(2&,0),5(0,272,0),

第16页，共19页

.-.AB=(-2V2,2V2,0),=(0,0,1),=(0,2V2,0),=(272,0，-1)，

设平面DAE的法向量为沆=(Xi.yi.Zi),平面ABE的法向量为元=(x2,y2>Z2)>

皿"沆.丽=0[n-AB=0pnf2V2x1-z1=0(-2^2x2+2\[2y2=0

川(沆・尻=0,(诺•前=0,或%=0'lz2=0'

令X]=1得记=(10,2-y2),令句=1得元=(L1,0).

,—>—、mn1V2

・•.cos<矶兀>=而而=赤=".

•.•二面角。一4E-8是钝二面角，

•••二面角D-AE-B的余弦值为一号.

6

【解析】(1)由BC1AC,BC1CDnBC_L平面ACQ,证明四边形QCBE是平行四边形

得DE//BC,故而DE//平面AC£>,于是平面4DEJ■平面AC£>；

(2)建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小.

本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.

21.【答案】解：(/)/,(x)=alnx+a,

则f(l)=0,f(l)=a,

故取消y=f(x)在(Lf(l))处的切线方程y=a(x-I),

把点(3,2)代入切线方程可得，a=1,

(〃)由⑺可得尸(x)=伍％+1,x>0,

易得，当0<x<｝时，f(x)<0,函数单调递减，当x>2时，f(x)>0,函数单调递

增，

故当x=?时，函数取得极小值/©)=一%没有极大值，

证明：(/〃)〃>)>宏