（大学课件）随机变量的数字特征：随机变量的数学期望

第三章随机变量的数字特征

通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。3.1随机变量的数学期望；3.2随机变量的方差

；3.3协方差和相关系数

;本章内容：3.4矩与协方差矩阵

.数字特征§4.1随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望引例有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出问题：已知随机变量的概率分布,如何计算其平均值？

解“射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。

分析：若甲射击N次,设击中8环,9环和10环的次数分别为次，则甲在N次射击中，平均每次击中的环数为由于概率是频率的稳定中心，以表示甲的平均击中环数,则故认为甲射手的水平较高由于可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。

定义

设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk

}=pk，k=1,2,3…若级数，则称级数和为随机变量X的数学期望（或均值），记作E（X）随机变量X

的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求否则，称随机变量的数学期望不存在．解易知

X－13P0.40.6

例1

设随机变量X的分布列为求

若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则E(X)=1.4是指甲队平均每次可得分．

例2

按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻8:10/9:108:30/9:308:50/9:50

概率0.20.40.4某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望．

解

设乘客的候车时间为X,若该乘客8:20到车站,而8点到9点的一趟车已于8:10开走,第二趟车9:10开,则他候车的时间为50min，

该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间X的分布列为10305070900.40.40.040.080.08对应的概率为事件“第一趟车8:10开走，且第二趟9:10开”发生的概率,即解候车时间X的分布列为10305070900.40.40.040.080.08从而该乘客候车时间的数学期望为

例2

按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻8:10/9:108:30/9:308:50/9:50

概率0.20.40.4某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望．

求随机变量X和Y的数学期望．于是有

解由(X,Y)的联合分布律可得关于X、Y的边缘分布分别为

例3

设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表为12311/41/81/421/81/81/8

125/83/8

1233/81/43/8

定理1

设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为则

证明关于X的边缘分布为于是有

同理可得

定义

设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分

说明：如果积分收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。收敛，则称积分值为X的数学期望（或均值）。记作E(X)，即2.连续型随机变量的数学期望试证X的数学期望不存在．证因为

例4

设随机变量X服从柯西分布,其密度函数为即不收敛，所以X的数学期望不存在．

求X的数学期望.

例5

设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为解由已知可得

例6

设二维连续型随机变量的概率密度函数为解

关于X、Y的边缘概率密度函数分别为求E（X），E（Y）．于是有

定理2

设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y),则有

于是有

证关于X、Y的边缘概率密度函数分别为3.

随机变量函数的数学期望如果级数

收敛，则有

定理3

设X是随机变量，Y=g(X)是X的连续函数，则有(1)若为离散型变量，其概率函数为

(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),如果积分收敛则有(3)

如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为

P{X=xiY=yj}=piji,j=1,2,3,…,如果

则Z=g(X,Y)的数学期望为(4)设二维随机向量（X，Y）为连续型随机变量，它的联合概率密度为f(x,y),若收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望为：解因为分布律为

所以

其中

求例7

设随机变量，解

例8

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

求

解

例9

设二维随机变量的密度函数为

求

例9

设二维随机变量的密度函数为求

解

例10

设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从[1200，3000]上的均匀分布．若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?解设每年准备该种商品yt

得到平均利润为则利润为解利润为得到平均利润为当y=2400时，取到最大值，故每年准备此种商品2400t，可使平均利润达到最大．

例10

设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从[1200，3000]上的均匀分布．若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?证可将C看成离散型随机变量，分布律为P{X=C}=1，故由定义即得E(C)=C.2.设C为常数，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X)．证设X的密度函数为，则有

3.设为任意两个随机变量，都有

1.

设C为常数，则有E(C)=C．4.数学期望的性质

3.设X,Y

为任意两个随机变量，都有

证设二维随机变量(X,Y)的密度函数为边缘密度函数分别为和

则推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有4.数学期望的性质4.设X,Y为相互独立的随机变量，则有

证

因为X与Y相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函数满足推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，有

所以解设随机变量

例11

一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车．如到达一个车站没有旅客下车班车就不停．设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求

E(X)i=1,2,…,10由题意，任一旅客在第i个车站不下车的概率为表示第i站没有旅客下车，故20位旅客都不在第i站下车的概率为，在第i站有人下车的概率为，于是得的分布律如下：Xi01P0.9201-0.920

例11

一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车．如到达一个车站没有旅客下车班车就不停．设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求E(X)解随机变量Xi01P0.9201-0.920=1－0.920

这表明班车平均停车约9次．

解

例12

设二维随机变量的密度函数为

试验证