山东省烟台市2021届高三上学期期中考试(数学)

2020—2021学年度第一学期期中自主练习高三数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A. B. C. D.2.若非零向量的夹角为，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若A. B. C. D.4.设，则的大小关系为A. B. C. D.5.若M为的边AB上一点，且A. B. C. D.6.函数在其定义域上的图象大致为7.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度T将满足，其中是环境温度，h称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟？（1g2≈0.3010，1g3≈0.4771）A.12 B.14 C.16 D.188.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.若，则A. B. C. D.10.已知是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是A.B.在区间上单调递增C.D.是满足条件的一个函数11.函数，（是常数，）的部分图象如图所示，则A.B.C.的对称轴为D.的递减区间为12.已知函数，则下列结论正确的有A.在区间上单调递减B.若C.在区间上的值域为D.若函数上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设为单位向量，且14.函数的定义域为15.已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，，则不等式的解集为16.如图，C、D是两所学校所在地，C、D到一条公路的垂直距离分别为.为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设，则当最小时，_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知向量.（1）若，求的值；（2）若上的投影向量长度为，求的值.18.（本小题满分分）某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级.经市场调查，改造后旅游增加值y万元投入万元之间满足：（a，b为常数）.当万元时，万元；当万元时，万元.（参考数据：）（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润万元与投入万元的函数解析式；（利润=旅游增加值－投入）（2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1）19.（本小题满分12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：在中，它的内角A，B，C的对边分别为的外接圆半径为2，且，__________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.（本小题满分12分）古希腊数学家海伦著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边分别为，则其面积，这里，已知在中，.（1）设，试将三角形的面积s表示成的函数；（2）求s的最大值，并求三角形面积最大时的值.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式上恒成立，求实数的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若对任意的实数，函数的图象与直线有且只有两个交点，求的取值范围；（2）设，若函数有两个极值点，且，证明：.2020-2021学年度第一学期期中自主练习高三数学参考答案及评分标准一、单选题CABD ABCD二、多选题9.ABD 10.ACD 11.AB 12.ACD 三、填空题13. 14. 15. 16.12四、解答题17.解：（1）因为，所以.………………1分故.…………2分（2）因为上的投影向量长度为，所以的夹角为.…………3分当夹角为时，所以，所以………………6分当夹角为所以不存在.………………9分综上：所以的值为…………………10分18.解：（1）由已知得：化简得：.………………4分……………………5分则该景点改造升级后旅游增加利润为：………6分（2）由（1）得：则…8分令当单调递增；当单调递减；……10分取得最大值，且……11分当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.…12分19.解：若选①：因为，所以 ，………3分所以因为所以.……6分因为的外接圆半径为2，所以，所以…8分所以，又因为………10分所以.……………12分若选②：因为…1分因为，所以,…3分因为，所以.…………6分因为的外接圆半径为2，所以……8分所以………………10分所以.…………………12分若选③：因为，由余弦定理得…………………3分所以.……………6分因为的外接圆半径为2，所以，所以……………8分所以，又因为………10分所以.………………12分20.解：（1）设所以……………4分（2）由（1）得，，当且仅当时等号成立，所以s得最大值为12.…………8分此时，由余弦定理得，所以.………12分法二：由（1）得，，当时，s取得最大值12.………………8分此时，由作弦定理得，所以.……………12分21.解：（1）令……………3分当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；…………………………4分当时，函数上单调递增；………5分当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减………………6分（2）原不等式化为：上恒成立.……………7分设令，则所以上单调递增，所以……………10分则函数上单调递增，且………………12分22.解：（1）由已知得：函数的图象与直线有两个交点，即方程有两个不相等的实数解.设……1分单调递减单调递增………………………3分且时，函数的图象与直线有且只有两交点。………………4分（2）Q函数有两个极值点有两个不同的实数解.由（1）知：在区间上单调递增，在区间上单调递减且