控制工程基础全册电子教案

控制工程基础全册电子教案课题名称(含教材章节):第一章绪论教学目的和要求：1.了解控制系统的发展历史；2.熟悉控制系统概念及组成、分类，掌握对控制系统的性能要求。1.自动控制系统的基本概念、分类及性能要求；2.控制理论的发展；3.控制理论在机械制造工业中的应用；4.课程主要学习内容及学时安排。1.1自动控制系统的基本概念一、自动控制自动控制，是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置(称为控制器或控制装置),使机器、设备或生产过程(统称被控对象)的某个工作状态或参数(统称被控量)自动地按照预定的规律运行。自动控制系统，是指能够对被控制对象的工作状态进行自动控制的系统。如：数控机床、室内温度控制、机车、船舶及飞机自动驾驶、导弹制导等。举例：恒温箱的人工控制与自动控制。人工控制的恒温箱如图1-1所示。温度计温度计加热电阻丝调压器图1-1人工控制的恒温箱1.观测恒温箱内的温度(被控制量);2.与要求的温度(给定值)进行比较，得到温度偏差的大小和方向；3.根据偏差大小和方向调节调压器，控制加热电阻丝的电流以调节温度回复到要求值。人工控制过程的实质：检测偏差再纠正偏差。人工控制恒温箱系统的功能框图如图1-2所示。期望期望实际大脑手调压器恒温箱温度温度图1-2人工控制恒温箱系统功能框图给定信号比较电压比较电压放大器u+u+功率放大器执行放大器电动机热电偶调压器热电偶加热电阻丝图1-3恒温箱自动控制系统恒温箱自动控制系统如图1-3所示。恒温箱自动控制系统工作原理：1.恒温箱实际温度由热电偶转换为对应的电压u2;2.恒温箱期望温度由电压ui给定，并与实际温度u2比较得到温度偏差信号u=ui-u₂;3.温度偏差信号经电压、功率放大后，用以驱动执行电动机，并通过传动机构拖动调压器动触头。当温度偏高时，动触头向减小电流的方向运动，反之加大电流，直到温度达到给定值为止，此时，偏差u=0,电机停止转动。恒温箱自动控制系统的功能框图如图1-4所示。电压功率放大给定电压功率放大给定信号减速减速器调压器温度t(被控量温度t(被控量Vnun(控制对象)热电偶图1-4恒温箱自从恒温箱控制系统功能框图1.给定量位于系统的输入端2.被控制量位于系统的输出3.输出量(全部或一部分)入量进行比较，产生偏差(给定4.用偏差信号产生控制调节由于存在输出量反馈，上述减少系统的输出量与参考输入量——反馈控制系统。反馈控制系控制方式称之为反馈控制——"注意：反馈控制系统中，反称为负反馈。负反馈控制是实现二、控制系统的分类实际的控制系统根据有无反统和半闭环控制系统(反馈信号1.开环控制系统系统仅受输入量和扰动量控输出量在整个控制过程中对系统如图1-5所示。动控制系统功能框图可见,称为系统输入量。也称为参考输入量(信端，称为系统输出量。通过测量装置返回系统的输入端，使之与输信号与返回的输出信号之差)信号。作用去消除偏差，使得输出量维持期望的输系统能在存在无法预计扰动的情况下，自动(或者任意变化的希望的状态)之间的偏差统具备测量、比较和执行三个基本功能。其检测偏差再纠正偏差"。馈信号是与给定信号相减，使偏差越来越小，自动控制最基本的方法。馈作用可分为：开环控制系统、闭环控制系通过系统内部的中间信号获得)。制；输出端和输入端之间不存在反馈回路；的控制不产生任何影响。开环控制系统框图图1-5开环控制系统框图优点：简单、稳定、可靠。若组成系统的元件特性和参数值比较稳定，且外界干扰较小，开环控制能够保持一定的精度。缺点：精度通常较低、无自动纠偏能力。举例如图1-6开环数控系统所示。开环数控系统开环数控系统CNC插图1-6开环数控系统2.闭环控制系统输出端和输入端之间存在反馈回路，输出量对控制过程有直接影响。闭环的作用：应用反馈，减少偏差。闭环控制系统框图如图1-7所示。输出量输入量输出量控制器对象或过程反馈量图1-7闭环控制系统框图优点：精度高，对外部扰动和系统参数变化不敏感。缺点：存在稳定、振荡、超调等问题，系统性能分析和设计麻烦。举例如图1-8全闭环数控系统所示。少少全闭环数控系统实际位置反馈插补指令图1-8全闭环数控系统3.3.闭环控制系统的基本组成反馈校正主反馈信号x6主反馈反馈元件放大变换信号e给定元件元件控制局部反馈串联校正图1-9闭环控制系统的组成控制工程主要研究闭环控制系统，其组成如图1-9所示，主要包括以下七类元件：(1)给定元件：产生给定信号或输入信号。(2)反馈元件：测量被控量，产生主反馈信号。(3)被控对象：控制系统所要操纵的对象。(4)比较元件：用来比较输入信号和反馈信号的偏差。(5)放大元件：对偏差信号进行信号放大和功率放大。(6)执行元件：直接对被控对象进行操作的元件。(7)反馈校正元件：用以稳定控制系统，提高性能。控制系统的其他分类方法：按照系统输入量是否为恒值可分为：1.恒值控制系统系统输入量为恒定值。控制任务是保证在任何扰动作用下系统的输出量2.随动系统(伺服系统)输入量的变化规律不能预先确知，其控制要求是输出量迅速、平稳地跟随输入量的变化，并能排除各种干扰因素的影响，准确地复现输入信号的变按照系统传递信号是否为连续信号可分为：1.连续控制系统系统中各部分传递的信号为随时间连续变化的信号。连续控制系统通常采用微分方程描述。2.离散(数字)控制系统系统中某一处或多处的信号为脉冲序列或数字量传递的系统。离散控制系统通常采用差分方程描述。此外按系统是否为线性可分为线性系统和非线性系统；系统参量变化是否为常数分为定常系统和时变系统；按控制方法分为机械、电气、机电、液压、气动、热力等控制系统；按控制被控量的性质可分为温度、压力、位置等控制系统等等。三、对控制系统的基本要求1.稳定性系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡状态的能力。稳定的系统当输出量偏离平衡状态时，其输出能随时间的增长收敛并回到初始平衡状态。稳定性是控制系统正常工作的先决条件。这里讨论的控制系统稳定性由系统结构所决定，与外界因素无关。控制精度，主要以稳态误差来衡量。稳态误差：系统的调整(过渡)过程结束而趋于稳定状态时，系统输出量的实际值与给定量之间的差值。3.快速性输出量和输入量产生偏差时，系统消除这种偏差的快慢程度。快速性表征系统的动态性能。不同性质的控制系统，对稳定性、精确性和快速性要求各有侧重。系统的稳定性、精确性、快速性相互制约，应根据实际需求合理选择。1.2控制工程的发展公元前1400-1100年，中国、埃及和巴比伦相继出现自动计时漏壶，人类产生了最早期的控制思想。公元100年，亚历山大的希罗发明开闭庙门和分发圣水的自动计时装置。公元1788年，英国人J.Watt用离心式调速器控制蒸汽机的速度，由此产生了第一次工业革命。1868年：J.C.Maxwell发表《调速器》,提出反馈控制的概念及稳定性1884年：E.J.Routh提出劳斯稳定性判据。1892年：A.M.Lyapunov提出李雅普诺夫稳定性理论。1895年：A.Hurwitz提出赫尔维茨稳定性判据。1932年：H.Nyquist提出乃奎斯特稳定性判据。1945年：H.W.Bode提出反馈放大器的一般设计方法1948年：N.Wiener发表《控制论》,标志经典控制理论基本形成；经典控制理论以传递函数为基础，主要研究单输入一单输出(SISO)系统的分析和控制问题。1950年：W.R.Evans提出根轨迹法，进一步充实了经典控制论。1954年：钱学森用英文出版《工程控制论》,首先把控制论推广到工程技术领域50年代末60年代初：现代控制理论形成；现代控制理论以状态空间法为基础，主要分析和研究多输入-多输出(MIMO)、时变、非线性等系统的最优控制、最优滤波、系统辨识、自适应控制、智能控制等问题；控制理论研究的重点开始由频域移到从本质上说是时域的状态空间方法。1956年：庞特里亚金(IⅡIOHTPHTMH,π.C.)提出极大值原理。1957年：R.I.Bellman提出动态规划理论。1960年：R.E.Kalman提出卡尔曼滤波理论1960～1980年：确定性系统的最优控制、随机系统的最优控制、复杂系统的自适应和自学习控制1980迄今：鲁棒控制、Hao控制、非线性控制、智能控制等。接着短短的几十年里，在各国科学家和科学技术人出现了生物控制论，经济控制论和社会控制论等，控制理论已经渗透到各个领域，并伴随着其它科学技术的发展，极大地改变了整个世界。控制理论自身也在创造人类文明中不断向前发展。控制理论的中心思想是通过信息的传递、加工处理制，控制理论是信息学科的重要组成方面。根据自动控制理论的内容和发展的不同阶段，控制理论"和“现代控制理论"两大部分。"经典控制理论"的内容是以传递函数为基础，以频率法和根轨迹法作为分析和综合系统基本方法，主要研究单输入，单输出这类控制系统的分析和设计问题。.3控制理论在机械制造工业中的应用机电工业是我国最重要的支柱产业之一，而传统的机电产品正在向机一体化(Mechatronics)方向发展。机电一体化产品或系统的显著特点是控制自动化。机电控制型产品技术含量高，附加值大，在国内外市场上具有很强的竞争优势，形成机电一体化产品发展的主流。当前国内外机电结合型产品，诸如典型的工业机器人，数控机床，自动导引车等都广泛地应用了控制理论。举例：机器人关节伺服系统(图1-10);数控机床(图1-11);自动导引小车(AGV)(图1-12)。伺服放大器功率数字器器电路++图1-10机器人关节伺服系统图1-11数控机床图1-12自动导引小车1.4课程主要内容及学时安排一、本课程的基本要求包括：(1)掌握机电反馈控制系统的基本概念，其中包括机电反馈控制系统的基本原理、机电反馈控制系统基本组成、开环控制、闭环控制等；(2)掌握建立机电系统动力学模型的方法；(3)掌握机电系统的时域分析方法；(4)掌握机电系统的频域分析方法；(5)掌握模拟机电控制系统的分析及设计综合方法。章(节)内容学时实验(上机)学时(习题课)学时学时一、绪论22型882426266合计6控制工程基础教案年至年第学期第周星期课题名称(含教材章节):第二章控制系统的动态数学模型教学目的和要求：1、掌握线性系统微分方程的建立和拉普拉斯变换；2、掌握传递函数的定义，典型环节的传递函数；3、掌握开环控制系统，闭环控制系统传递函数的计算方法.教学重点：掌握开环控制系统，闭环控制系统传递函数的计算方法教学难点：动态结构图的绘制及等效变换1.拉氏变换及反拉变换；2.传递函数的定义、性质；3.典型环节的传递函数；4.动态结构图及等效变换；5.闭环控制系统传递函数的运算，方块图的变换。一、数学模型的基本概念数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。经典控制理论：以传递函数为基础。现代控制理论：以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。建立数学模型的方法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。二、质量-弹簧-阻尼系统机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。例：进给传动装置示意图及等效力学模型WkDWkDWJ12m-₃MD₁D₂₂系统2系统3机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：1.质量：牛顿第二定律m参考点图2-2质量2.弹簧：胡克定律图2-3弹簧3.阻尼：阻尼力与速度成正比D图2-4阻尼例：机械平移系统图2-5机械平移系统讲解时注意：静止(平衡)工作点作为零点，以消除重力的影响化简上述三式可得：;D;D方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数储能元件(惯性质量、弹簧)的数量。0kD图2-6机械平移系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。k柔性轴粘性液体齿轮端J图2-7机械旋转系统例：组合机床动力滑台及其力学模型动力滑台DkMD图2-8组合机床动力滑台及其力学模型三、电路系统电路系统三个基本元件：电阻、电容和电感。1.电阻：欧姆定律“()图2-9欧姆定律图2-10电容图2-11电感一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。若L=0,则系统简化为：即可得：四、电动机OOCuo(1aR-+ODJ星T图2-14电动机等效电路原理图磁场对载流线圈作用的定律：基尔霍夫定律：电磁感应定律：牛顿第二定律：LJ6()+(L,D+RJ)δ,(T)+(R,D+K,K.)θ,(t)为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程可简化为R,J6,(t)+(R,D+K,K)θ,(t)=五、小结1.建立数学模型的一般步骤：(1)分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；(2)从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；(3)消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分(4)标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列2.单输入、单输出微分方程的一般形式式中，a₁,a₂,…,a和b,b₁,…,b,为由系统结构参数决定的实常数，2.2数学模型的线性化一、线性系统与非线性系统1.线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；线性是指系统满足叠加原理，即：可加性：齐次性：或2.非线性系统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。二、非线性系统数学模型的线性化1.泰勒级数展开法函数y=f(x)在其平衡点(xo,yo)附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量△x=x-x的项，则：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y=f(x₀)称为系统的静态方程；由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。对多变量系统，如：y=f(x,x₂),同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。增量方程：静态方程：,2.滑动线性化——切线法线性化增量方程为：Vo图2-15滑动线性化切线法是泰勒级数法的特例。三、系统线性化微分方程的建立1.建立步骤：(1)确定系统各组成元件在平衡态的工作点；(2)列出各组成元件在工作点附近的增量方程；(3)消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；例：单摆运动线性化801图2-16单摆运动T(1)-mglsinθ。(t)=ml²将非线性在θ。=0点附近泰勒展开例：阀控液压缸PooXQX0XQXPMP图2-17阀控液压缸液压腔工作腔流动连续性方程为：液压腔力平衡方程为：2.线性化处理的注意事项线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围；某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。2.3拉式变换及反变换一、拉氏变换设函数f(t)(t≥0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数σ,使则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=σ+jo(σ,均为实数)为复变数；称为拉普拉斯积分。F(s)称为函数f(1)的拉普拉斯变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。二、拉氏反变换为拉氏反变换的符号。Laplace(拉普拉斯)变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具!拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。三、简单函数的拉氏变换1.单位阶跃函数1(1)10单位阶跃函数10图2-18单位阶跃函数2.指数函数1t0t指数函数图2-19指数函数f(t)=e“(a为常数)3.正弦及余弦函数1t0t图2-20正弦及余弦函数由欧拉公式，有：从而04.单位脉冲函数δ(t)1E单位脉冲函数图2-21单位脉冲函数由洛必达法则：1t图2-22单位速度函数7.幂函数图2-23单位加速度函数函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换四、拉氏变换性质1.叠加原理齐次性：L[af(1)]=aL[f(1)],a为常数；叠加性：L[afl(t)+bf2(1)]=aL[fl(1)]+bL[f2(1)],a,b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。2.微分定理式中，f'(0),f"(0),……为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时(零初始条件):当f(t)在t=0处具有间断点时，df()/dt在t=0处将包含一个脉冲函数。故若f0+)≠f(0一),则：3.积分定理当初始条件为零时若f(0+)≠f(0一),则：同样[[当初始条件为零时4.衰减定理5.延时定理设当t<0时，f(t)=0,则对任意t≥0,有：7.终值定理 8.定理的像函数9.f(1)的像函数10.的像函数11.周期函数的像函数若函数f(t)是以T为周期的周期函数，即f(t+T)=f(t),则12.卷积定理其中，f(t)*g(1)表示函数ft)和g(1)的卷积。若<0时，f(t)=g(1)=0,则f(1)和g(1)的卷积可表示为五、拉氏反变换1.部分分式法如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=Fi(s)+F2(S)+...Fn假定Fi(s),F2(s),…,Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则在控制理论中，通常为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式式中，pi,p₂,.,pn为方程A(s)=0的根的负值，称为F(s)的极点；ci=b此时，即可将F(s)展开成部分分式。(1)只含不同单极点的情况式中，A,为常数，称为s=-p极点处的留数。于是例：求的原函数。(2)含共轭复数极点情况方法1假设F(s)含有一对共轭复数极点-p、-p₂,其余极点均为各不相同的实数极点，则式中，A和A₂的值由下式求解：上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A和A的值。方法2此时F(s)仍可分解为下列形式：由于p、p,为共轭复数，因此，A和A₂也为共轭复数。方法1例：求的原函数。所以t方法2例：(3)含多重极点情况设F(s)存在r重极点-p,其余极点均不同，则式中，A,…,A,利用前面的方法求解。A=[F(s)(s+Po)']s=-p注意到：例：求的原函数。A₂=[F(s)(s+1)]s=-1=2于是(4)借用拉氏变换解常系数线性微分方程求解步骤：a.将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；b.解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；c.应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。象函数原函数象函数拉氏反变换(微分方程的解)拉氏反变换代数方程图2-24拉式变换法求解线性微分方程的过程实例设系统微分方程为：若x(t)=1(t),初始条件分别为x'(0)、x,(0),试求x,(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换所以当初始条件为零时：2.4传递函数以及典型环节的传递函数一、传递函数的概念和定义1.传递函数设线性定常系统的微分方程为：则零初始条件下，其拉式变换为：as"X。(s)+a,s"-X。(s)+…+a,-sX。(s=bs"X,(s)+bs"-X,(s)+…+bm-sX,(s)+b定义传递函数为：即在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。零初始条件：(1)t<0时，输入量及其各阶导数均为0;(2)输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0。传递函数有以下特点：(1)比微分方程简单，通过拉氏变换，实数域复杂的微积分运算已经转化为简单的代数运算；(2)输入典型信号时，其输出与传递函数有一定对应关系，当输入是单位脉冲函数时，输入的象函数为1,其输出象函数与传递函数相同；(3)令传递函数中的s=jw,则系统可在频率域内分析(详见第四章);(4)G(s)的零极点分布决定系统动态特性。2.传递函数求解示例例1.质量-弹簧-阻尼系统的传递函数MDkD图2-25质量-弹簧-阻尼系统所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：ms²X。(s)+DsX。(s)+kX。(s)=F按照定义，系统的传递函数为：例2.R-L-C无源电路网络的传递函数C图2-26R-L-C无源电路网络所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：LCs²U。(s)+RCsU。(s)+U。(s按照定义，系统的传递函数为：3.传递函数的几点说明：(1)传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统；(2)传递函数是s的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数；(3)传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数不反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；(4)传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况；(5)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，适合于单输入单输出系统的描述。二、典型环节的传递函数1.比例环节输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kx(t)xo(t)、x;(t)—分别为环节的输出和输入量；K—比例系数，等于输出量与输入量之比。比例环节的传递函数为：例11齿轮传动副RR₂RR₂₁七比例运算放大器凡运动方程为下面一阶微分方程形式的环节称为一阶惯性环节。其传递函数为：T—时间常数，表征环节的惯性，和环节结构参数有关。例：弹簧-阻尼器环节弹簧-阻尼器组成的环节,输出量正比于输入量的微分。例：测速发电机00o测速发电机图2-29微分环节例图无负载时例：无源微分网络C图2-30微分环节例图显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节。在物理系统中输入输出同量纲的微分环节很难独立存在，经常和其它环节一起出现。除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。4.积分环节输出量正比于输入量对时间的积分。运动方程为：传递函数为：积分环节特点：(1)输出量取决于输入量对时间的积累过程；(2)具有明显的滞后作用。如当输入量为常值A时，由于输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。积分环节常用来改善系统的稳态精度。如：有源积分网络CaO+OR图2-31积分环节例图5.二阶振荡环节含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：传递函数：式中，T—振荡环节的时间常数—阻尼比，对于振荡环节，0<s<1K—比例系数振荡环节传递函数的另一常用标准形式为(K=1):,con称为无阻尼固有角频率。例：质量-弹簧-阻尼系统MDkD图2-32二阶振荡环节例图传递函数：当D<2√mk时，为振荡环节。6.延迟环节运动方程：传递函数：式中，r为纯延迟时间。延迟环节与惯性环节的区别：(1)惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；(2)延迟环节从输入开始之初，在0-t时间内，没有输出，但t=t之后，输出等于之前时刻的输入。装置或元件；(2)一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成；(3)同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。三、几点结论(1)传递函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关；(2)若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性；(3)传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入一输出特性来描述系统的内部特性。2.5系统函数方块图和信号流图一、系统函数的图解表示方法1.方块图系统方块图是控制系统的动态数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。2.信号流图是表示控制系统的另一种图形，与方块图有类似之处，可将系统函数方块图转化为信号流图。二、方块图的结构要素系统方框图是系统控制系统的动态数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。1.信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记变量，即信号的时间函数或象函数。图2-33信号线2.信号引出点(线)表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。图2-34信号引出线3.函数方块(环节)传递函数的图解表示。图2-35函数方块函数方块具有运算功能，即：4.求和点(比较点、综合点)信号之间代数加减运算的图解。用符号“×”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的"+"或“-”表示加上此信号或减去此信号。相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方框函数方块函数方块 三、系统方框图的建立(1)建立系统各环节的微分方程，明确信号的因果关系(输入/输出);(2)对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图；(3)按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。Ru(1)Cu.()i(n)图2-38无源RC网络拉氏变换得：从而可得系统各方框单元及其方框图：11R于是可得系统框图：图2-39无源RC网络方框图1.方框图的运算法则(1)串联图2-40串联运算法则(2)并联++G₁(s)+G₂(s)+…+G,(s)图2-41并联运算法则(3)反馈仟X(s)G(s)X.5)1+G(s)H(s即对于具有负反馈的环节，其传递函数等于前向通道的传递函数除以1加上前向通道与反馈通道传递函数的乘积。称G(s)H(s)为闭环系统的开环传2.方块图变换法则(1)求和点的移动CCG(s)B士1AAABBBCC4土±求和点后移求和点前移(2)引出点的移动AACCCAAACCCACAACCAACCG(s)引出点前移引出点后移图2-43引出点的移动法则3.由方框图求系统传递函数基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。例：求下图所示系统的传递函数。+B图2-43由方框图求系统传递函数图例+2)消去H₂(s)G₃(s)反馈回路+—3)消去H₁(s)反馈回路X,(s)X,(s)X₀(s)G(s)G₂(₃)G₃(s)—4)消去H₃(s)反馈回路X。(s)G(S)G(S)G(s)2.6控制系统传递函数推导举例一、等效弹性刚度—弹簧一阻尼系统表示。对于质量一弹簧一阻尼系统，利用等效弹性刚度的概念，可以避免从微分方程开始列写、而直接列写复频域内的代数方程，使绘制系统方块图和求取系统传递函数变得简便。等效弹性刚度的说明见表表2-1等效弹性刚度说明刚度kD二、等效复阻抗类似于机械系统中引入等效弹性刚度的概念，对于电路网络系统，利用复阻抗的概念，也可以避免从微分方程开始列写、而直接列写复频域内的代数方程，使绘制系统方块图和求取系统传递函数变得简便。复阻抗的说明见表2-2。表2-2等效复阻抗说明时域方程电阻负载RR电容负载电感负载L三、机械系统传递函数推导举例例：当汽车行驶时，轮胎的垂直位移作用于汽车悬挂系统上，系统的运动由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动组成。W车体W质心车架汽车悬挂系统(垂直方向)mmK₂mmK₂D₁₂简化的悬挂系统(垂直方向)列写微分方程如下所示：假定零初始条件，作拉式变换得：绘制各环节方块图：KX(s)KX(s)Fx₂(s)₂一m₂s²+Fn(s)KKKK₂K₁ms+图2-46汽车悬挂系统方块图1₁图2-47汽车悬挂系统方块图简图系统传递函数为：系统数学模型的MATLAB实现Matlab简介：1980年前后，美国moler博士构思并开发；最初的matlab版本是用fortran语言编写，现在的版本用c语言改写；1992年推出了具有重要意义的matlab4.0版本；并于1993年推出了其windows平台下的微机版，目前matlab2012版是比较新的版本。一、控制系统数学模型要分析系统，首先需要能够描述这个系统。例在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。如要输入多项式：x4-12x3+25x+126在MATLAB中，用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：然后利用下面的语句就可以表示这个系统：其中tf()代表传递函数的形式描述系统，还可以用零极点形式来描述，语句为而且传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化，语句为当传递函数复杂时，应用多项式乘法函数conv()等实现。例如计算闭环传递函数：系统的基本连接方式有三种：串连、并联和反馈串连：sys=series(sys1,sys2)如果是单位反馈系统，则可使用cloop()函数，sys=cloop(sys1,-1)应用举例用MATLAB展开部分分式用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num=[b0b1…MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：行向量。若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：若存在q重极点p(j),展开式将包括下列各项：例：求下式的部分分式展开。rr1展开式为：二、用MATLAB求系统传递函数已知两个系统分别求两者串联、并联连接时的系统传递函数，并求负反馈连接时系统的零、极点增益模型。Laplace变换的由来(个人整理、理解):记a,=a(n),。若取a(n)=1,则A(x)=1+x+x²+…+x”,该式在x<1时，收敛于。上式说明：在实数域取一离散数集(n=0,1,2,…),可得到不同的输出结果(函数)。若取一连续区间，该幂级数又会得到什么结果呢?例如取n为0≤n≤o,符合常规起见，置换n为t,计算∑a(t)x',0≤t≤o等同于计算广义积分因为这会增加计算复杂性；当指数的底是e时，做积分和微分运算时会简单一些。因为x=e"x,故x'=(e")。我还希望式(1)可被计算，因为如果x的取值不同，式(1)有可能不收敛。比如x=1,式(1)就不收敛。如果x<1,式(1)将有可能收敛。如果x取值为负数，计算式(1)也很麻烦，因为t=1/2时，将会面临虚数的计算。综上所述取0<x<1,此时Inx<0。若令-Inx=s,s将是个正数，无论如何，正数总比负数容易处理一些。则式(1)将变为人们总喜欢将函数表示为f(t),故上式可写成这就是laplace变换了。控制工程基础教案学期第课题名称(含教材章节):第三章时域分析法教学目的和要求：1、熟悉控制系统时域性能指标：2、掌握一阶、二阶系统的时域分析，了解高阶系统时域分析；3、掌握劳斯稳定判据及赫尔维兹稳定判据；4、掌握稳态误差计算。教学重点：二阶系统的阶跃响应，代数稳定判据、稳态误差的求取教学难点：高阶系统的暂态响应，稳态误差的求取1.控制系统性能指标2.一阶、二阶系统的时域分析及高阶系统的时域分析；3.控制系统稳定的定义及条件，劳斯稳定性判据；4.控制系统稳态误差分析。第三章时域分析法控制系统的数学模型是研究控制系统的理论基础。上一章介绍了建立控制系统数学模型的方法后，就可以运用工程方法对系统的控制性能进行全面的分析和时域分析法是对于线性稳定系统，基于系统的微分方程，利用拉普拉斯变换为数学工具，直接求解控制系统的时域响应，并利用响应表达式及响应曲线分析系统的控制性能，如稳定性、平稳性、快速性、准确性等。3.1典型输入信号一、瞬态响应的基本概念稳态(静态)响应：当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状瞬态(过渡)响应：系统在某一输入信号作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。瞬态响应分析是本章要讨论的问题。分析瞬态响应时，往往选择典型输入信号，这是因为：1.数学处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析和综合系统；2.典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础；3.便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。二、典型输入信号1.阶跃信号示意图：a图3-1阶跃信号2.斜坡信号示意图：a图3-2斜坡信号大型船闸匀速升降时主拖动系统发出的位置信号，数控机床加工斜面时的进结指令等，均可看成斜坡作用。3.加速度信号数学表达式：示意图：X0图3-3加速度信号4.脉冲信号数学表达式：示意图：t图3-4脉冲信号当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称为脉冲响应函数。由于δ函数的拉氏变换等于1,因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函理想的单位脉冲作用(t)在现实中是不存在的，它只有数学意义，是一个重要的数学工具，脉冲电压信号、冲击力、阵风等，均可近似为脉冲作用。当系统输入任一时间函数时，如图3-5所示，可将输入信号分割为n个脉冲。y(t)=岁(t)gt)ar台0tt输出响应为输入函数与脉冲响应函数的卷积，脉冲响应函数由此又得名权函5.正弦信号示意图：a0t海浪对舰艇的扰动力，伺服振动台的输入指令，电源及机械振动的噪声等正弦作用。三、典型输入信号选择关于在系统分析中选用何种实验信号的问题，需要根据对系统的考查目的来确定。例如在考查系统的调节能力时，可选用脉冲信号；如果考查系统对于定值信号的保持能力时，就要选用阶跃信号来进行系统分析了。地面雷达跟踪空中的机动目标时，无论是俯仰角的变化还是方位角的变化，都可以近似为等速率变化规律，采用斜坡信号比较恰当。但是在考查船舶自动驾驶系统，或者战车炮塔在一阶系统：能够用一阶微分方程描述的系统。1.一阶系统的单位阶跃响应象函数为：X(s)=1/s则xo(1)斜率=B0.632A%2836%3.99%2.89%59%5.6.图3-7一阶系统单位阶跃响应(4)在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T;,据此鉴别系统是否为一阶惯性环节。((t0T图3-8一阶系统对数图2.一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入：x;(1)=t-1(1)象函数为：则)x;(1),x;(1),xo(t)F)8(Xt0图3-9一阶系统单位斜坡响应3.一阶系统的单位脉冲响应单位斜坡输入：x(1)=δ(1)象函数为：X,(s)=1则1T图3-10一阶系统单位脉冲响应一阶系统的瞬态响应：1.单位斜坡响应xa(t)=3.单位脉冲响应xs(t)=三者的关系：一、二阶系统((T用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它的典型形式是二阶振荡环节。标准形式一：:系统的(闭环系统阻尼比，阻尼系数；①.:闭环系统固有频率，无阻尼自然频率。标准形式二二、典型输入响应1.一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入：x(1)=1(1)象函数为：X;(s)=1/s则根据二阶系统的极点分布特点，分五种情况进行讨论。二阶系统的极点是一对共轭复根。式中o=0,√1-5²是称为阻尼自振角频率。进行拉氏反变换，得图3-11二阶系统欠阻尼响应特点：a.以w,为角频率衰减振荡；b.随着5的减小，振荡幅度加大。(2)临界阻尼ξ=1二阶系统的极点是二重负实根。1图3-11二阶系统临界阻尼响应特点：无超调。(3)过阻尼5>1二阶系统的极点是两个负实根。则11图3-12二阶系统过阻尼响应特点：无超调，过渡时间长。二阶系统的极点是一对共轭虚根。进行拉氏反变换，得21图3-13二阶系统无阻尼响应特点：无阻尼，等幅振荡。二阶系统的极点具有正实部。响应表达式的指数项变为正指数，随着时间t→o,其输出x。(1)→o,系统不稳定。其响应曲线有两种形式：图3-14二阶系统负阻尼响应2.二阶系统单位阶跃响应小结(1)欠阻尼：衰减振荡，振荡角频率为a,随着阻尼系数的减小，其振荡幅度加大；(2)临界阻尼：无超调；(3)过阻尼：无超调，阻尼比越大，过渡时间越长；(4)零阻尼：等幅振荡；(5)负阻尼：发散，系统不稳定。3.二阶系统单位脉冲响应单位脉冲输入：x;(1)=δ(1)象函数为：X,(s)=1则0.80.80.200/00负阻尼和零阻尼对工程技术领域没有意义，故分三种情况进行讨论。(1)欠阻尼0<5<1二阶系统的极点是一对共轭复根。式中a=0,√1-5²。图3-12二阶系统单位脉冲欠阻尼响应特点：a.以为角频率衰减振荡；b.随着5的减小，振荡幅度加大。(2)临界阻尼5=1二阶系统的极点是二重负实根。05<1图3-13二阶系统单位脉冲临界阻尼响应(3)过阻尼5>1其响应图如图3-13所示。则与二阶系统单位脉冲响应相似，分三种情况进行讨论。(1)欠阻尼0<5<125ess0n图3-14二阶系统单位斜坡欠阻尼响应(2)临界阻尼5=1Nt图3-15二阶系统单位斜坡临界阻尼响应(3)过阻尼5>1图3-16二阶系统单位斜坡过阻尼响应3.4时域分析性能指标一、时域分析性能指标控制系统的性能指标常分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为跟随性能指标和抗扰性能指标。在控制工程基础中所讨论的系统动态性能指标，一般是指跟随性能指标。各性能指标如图31.上升时间t响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间。或从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。允许误差允许误差05200图3-17时域分析性能指标2.峰值时间，响应曲线从零时刻上升到第一个峰值点所需要的时间。3.最大超调量M。响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比；单位阶跃输入时，即是响应曲线的最大峰值与稳态值的差。通常用百分数表示。4.调整时间t.响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。响应曲线从零上升到稳态值的50%所需要的时间。6.振荡次数在调整时间t、内响应曲线振荡的次数。二、时域性能指标求取1.求取上升时间t系统的单位阶跃响应为因为e-5≠0所以由于上升时间是输出响应首次达到稳态值的时间，故2.求取峰值时间峰值点为极值点，令因为e⁻5≠03.最大超调量M。M,=x。(t)-14.求取调整时间t10图3-18渐近线以进入±5%的误差范围为例得,当阻尼比较小时，同理可证，进入±2%的误差范围，则有0当阻尼比5一定时，无阻尼自振角频率，越大，则调整时间t、越短，系统响应越快。当ξ较大时，前面两式的近似度降低。当允许有一定超调时，工程上一般选择二阶系统阻尼比5在0.5~1之间。当变小时，ζ愈小，则调整时间愈长；而当ζ变大时，ζ愈大，调整时间也愈例：下图所示系统，施加8.9N阶跃力后，记录其时间响应如图，试求该系统的质量M、弹性刚度k和粘性阻尼系数D的数值。kMDewg图3-19例图拉氏变换，并整理得,得q=1.96(rad/s)∴3.5高阶系统的瞬态响应一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成。对于一般单输入——单输出的线性定常系统，其传递函数可表示为设输入为单位阶跃，则如果其极点互不相同，则上式可展开成经拉氏反变换，得函数叠加组成的。当所有极点均具有负实部时，系统稳定。一、高阶系统的简化1.距虚轴最近的闭环极点为主导极点。工程上当极点A距离虚轴大于5倍极点B离虚轴的距离时，分析系统时可忽略极点A。2.系统传递函数中，如果分子分母具有负实部的零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之为偶极子相消。工程上认为某极点与对应的零点之间的间距小于它们本身到原点距离的士分之一时，即可认为是偶极子。例：已知某系统的闭环传递函数为试求系统近似的单位阶跃响应。解：对高阶系统的传递函数，首先需分解因式，如果能找到一个根，则多项式可以降低一阶。首先我们找到该题分母有一个根s=-20,则利用下面长除法分解出一个因式一)s⁴+20s³一)80s³+1.6×10³s²一)6.4×10³s²+1.28×10⁵s对于得到的三阶多项式，我们又找到一个根s2=-60,则可继续利用长除法分解出一个因式。一)s³+60s²一)20s²+1.2×10³s则系统传递函数为其零点、极点如下图所示。根据前面叙述简化高阶系统的依据，该四阶系统可简化为这是一个二阶系统，用二阶系统的一套成熟的理论去分析该四阶系统，将会得到近似的单位阶跃响应结果为z.(t)≈1-e-sin(71.4t+图3-20响应结果3.6系统稳定性的基本概念一、稳定性概念1.单摆图3-21单摆由单摆可得一般意义上的稳定概念：即系统受扰动后能否恢复原来的状态。2.闭环控制系统的稳定性问题定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该系统为不稳定。二、系统稳定的充要条件图3-22系统框图考虑如图3-22所示系统方框图，N(s)到Xo(s)的传递函数：x设n(t)为单位脉冲函数，则N(s)=1因为上式的拉式反变换必然可以写成如果系统稳定，应有条件是：闭环特征方程式的根全部具有负实部。由于系统特征根即闭环极点，故也可以说充要条件为：极点全部在[s]平面的左半面。3.7代数稳定性判据一、劳斯判据劳斯判据是基于方程式的根与系数的关系而建立的。设系统特征方程为sj,s₂,…,s,为系统的特征根。复数根与系数的关系：要使全部特征根均具有负实部，必须满足：1.特征方程的各项系数a,≠0(i=0,1,2,…,n);2.特征方程的各项系数的符号都相同。a;一般取正值，则上述两条件简化为q>0。此为系统稳定的必要条件。其充要条件为：如果"劳斯阵列"中第一列所有项均为正，则系统稳定。劳斯阵列：S⁰C₁Cf:…:判别方法：(1)如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。(2)如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：s⁴+8s³+17s²+16s+5=0首先由方程系数可知满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列ss3由于劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。例2设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。排劳斯阵列第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有2个实部为正，控制系统不稳对于特征方程阶次低(n≤3)的系统，劳斯判据可简化：二阶系统特征式为ays²+as+a₂,劳斯表为asas₂a₀₂a⁰a₂⁰a三阶系统特征方程式：aos³+a1s²+a₂s+a₃=0列劳斯表：故系统稳定的充分必要条件是例3设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。十K十图3-23系统框图解：系统闭环传递函数为特征方程为故使系统稳定的K值范围为0<K<6。特殊情况一(第一列中有一元素为零)例：特征方程：s⁴+2s³+s+2s+1=0列劳斯表：一列系数数值符号改变2次，有，两个根位于右半平面，系统不稳定。特殊情况二(劳斯表中一行元素均为零):至少有三种情况：1.特征方程有一对实根，大小相等，符号相反2.有一对虚根3.有对称于S平面原点的共轭复根。举例：系统特征方程为：s⁶+2s⁵+8s⁴+12s³+20s²+16s+16=0列劳斯表：辅助方程：第一列没改变符号，右半平面没有根。所以，有一对共轭虚根。系统临界稳二、胡尔维茨判据系统特征方程：n×n行列式：系统稳定的充要条件：各阶主子行列式均>0。即：试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。解：由方程系数可知满足稳定的必要条件。各系数排成行列式由于A,=8>0故该系统稳定。二、代数判据的不足：1.必须知道系统的闭环传递函数2.定性——较难从量上判断系统的稳定程度3.对含有延迟环节的系统无效3.8稳态误差的基本概念"准确"是对控制系统提出的一个重要要求。对于实际系统来说，输出量常常不能绝对精确地达到所期望的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的误系统的输出量通常由瞬态分量和稳态分量组成。误差也由瞬态误差和稳态误差两部分组成。在过渡过程开始时，瞬态误差是误差的主要部分，但它随时间而逐渐衰减，稳态误差逐渐成为误差的主要部分。稳态误差分析是本章要讨论的问题。一、系统的误差e(1)与偏差ε(1)c(s)G(s)X;(s)图3-24误差和偏差的概念误差是以系统的输出端为基准来定义的：控制系统的理想输出量与实际输出量之差，称为误差e(t)。偏差是以系统的输入端为基准来定义的：控制系统的量之差，称为偏差ε(1)。E(s)和ε(s)间的关系：s(s)对控制系统的控制作用体现在，如X。(s)≠X。(s),则ε(s)≠0,ε(s)就起控制作用，力图将X。(s)调节到X。(s)值；反之，当X。(s)=Xa(s),就有s(s)=0,而使s(s)不再对X。(s)进行调节。因此，当X。(s)=X。(s)时，有E(s)=X,(s)-X。(s)H(s)=X,(s)-Xo(s)故又由可得故求出偏差ε(s)后，即可求出误差E(s)。二、系统的误差e(t)与偏差ε(t)系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差，因此，不讨论过渡过程中的情况。只有稳定的系统存在稳态误差。稳态误差的定义为其计算可利用拉式变换的终值定理进行：同理，系统的稳态偏差：3.9输入引起的稳态误差一、偏差传递函数X,(s)+X,(s)+c(s)X。(s)G(s)若考虑图3-25所示控制系统，有偏差传递函数：由上述结论：由上式可知，稳态偏差不仅与系统的结构与参数有关，而且与输入信号的特性有关。二、静态误差系数考虑图3-25所示控制系统，有偏差传递函数：其开环传递函数必可以写成下式：系统”。单位阶跃输入：静态位置误差系数：单位阶跃输入的稳态误差：单位阶跃输入时，0型系统的稳态偏差：I型以上系统：故单位阶跃输入：对I型以上系统e、=0可见，当系统开环传递函数中有积分环节存在时，系统阶跃响应的稳态值将是无差的。而没有积分环节时，稳态是有差的。为了减少误差，应当适当提高放大倍数。但过大的K值，将影响系统的相对稳定性。2.静态速度误差系数单位速度输入：静态速度误差系数：单位速度输入的稳态误差：单位速度输入时，0型系统的稳态偏差：I型系统：故单位速度输入：上述结果说明，0型系统不能跟随斜坡输入，因为其稳态偏差为无穷；I型系统可跟随斜坡输入，但存在稳态偏差，同样可增大K值来减少偏差；II型以上系统，对斜坡输入响应的稳态是无差的3.静态加速度误差系数单位加速度输入：静态加速度误差系数：单位加速度输入的稳态误差单位加速度输入时，0型系统的稳态偏差：I型系统：故单位加速度输入：对Ⅱ型系统可见，输入为加速度信号时，0、I型系统不能跟随；I型为有差，要无差需要采用II型或以上。4.各类系统的稳态偏差各类系统的稳态偏差总结如下表所示。表3-1各类系统的稳态偏差系统类别型0II型00稳态偏差与输入信号的形式有关。在随动系统中，一般称阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号。由输入“某种”信号而引起的稳态偏差用一个系数来表示，就叫"某种"误差系数。如输入阶跃信号而引起的偏差，就叫静态位置误差系数。它表示了稳态的精度。该系数越大，表明系统精度越高。如大到o,则稳态无差；如为0,则稳态偏差，表示不能跟随输当增加系统型别时，系统的准确性将提高；但系统的稳定性将变差。因为系统开环传递函数包含两个以上积分环节时，要保证系统的稳定性是很难的。因此，III型或更高型的系统实现起来是不易的，实际应用中极少采用。增大K也可提高准确性，但同样使系统的稳定性变差。因此稳定与准确是有矛盾的，在进行控制系统设计时，需要统筹兼顾。另为减小误差，是增大系统的开环放大倍数K,还是提高系统的型别也需要视具体情况而定。例：求当x;(t)=1(t)时的稳态误差物理意义：常值输入，积分环节前的信号必为零。例：求系统在单位阶跃、斜坡、加速度输入时的稳态误差：图3-27例图解：I型系统，;单位加速度，e=o;故系统不能承受加速度输入。3.10干扰引起的稳态误差终值定理同样是计算干扰引起稳态误差的基本方法。系统在扰动作用下的稳态偏差反映了系统的抗干扰能力，为便于分析，此时先不考虑给定输入的作用，即X,(s)=0。对图3-28所示系统，得干扰传递函数为Z(s)X。(s)G₁(s)G₂(s)图3-28干扰引起误差的系统根据终值定理，干扰引起稳态偏差为则干扰引起稳态误差为求系统稳态误差应首先判断系统稳定性。当求两个量同时作用时线性系统的偏差，可利用叠加原理，分别求出每个量作用情况下的偏差，然后相加求出。为多少?十1十1十十图3-29例图解：根据劳斯判据该系统稳定。单位反馈系统的偏差即为误差。Xo(s)十K十Ks(s+4)X,(s)图3-30例图一般而言，如果反馈控制系统对前向通道的扰动是一个阶跃函数，则只要保证系统稳定的前提下，在扰动作用点前有一个积分器，就可以消除阶跃扰动引起的稳态误差。如下图为稳定系统，G1(s)中不包含纯微分环节。5图3-31阶跃扰动消除方法同理，如果反馈控制系统对前向通道的扰动是一个斜坡函数，那么只要保证系统稳定的前提下，在扰动作用点前有二个积分器，就可以消除斜坡扰动引起的稳态误差。如下图为稳定系统，G1(s)中不包含纯微分环节。+十图3-32斜坡扰动消除方法作为对比，如果将积分器1/s置于干扰点之后，如下图所示。1+十SG(s)S图3-33积分器后置系统当没有积分器1/s时，当设置积分器1/s时，对比两种情况可以看出，将积分器1/s置于干扰点之后对消除阶跃扰动N引起的稳态误差没有什么好处。+N(s)十K十图3-34扰动点位置对系统的影响另外需要注意，当扰动作用点在前向通道时通过环节的调整可以减小其影响，例如前面提到的保证系统稳定的前提下，在扰动作用点前设置积分器或在扰动作用点前加大放大器增益，可使扰动影响减小，但当扰动作用点在反馈通道时，则很难使扰动影响减小。扰动作用点在前向通道，扰动作用点在反馈通道，因此，在扰动作用点前加大放大器增益K,可使扰动影响减小；在扰动作用点后加大放大器增益K并不能使扰动影响减小。3.11减小系统误差的途径(1)反馈通道的精度对于减小系统误差至关重要。反馈通道元部件的精度要高；避免在反馈通道引入干扰。(2)在系统稳定的前提下，对于输入引起的误差，增大系统开环放大倍数提高系统型次；对于干扰引起的误差，在前向通道干扰点前加积分器，增大放大(3)既要求稳态误差小，又要求良好动态性能，只靠加大开环放大倍数或串入积分环节不能同时满足要求时，可采用复合控制(顺馈)方法对误差进行补偿。补偿的方式可分为按干扰补偿和按输入补偿。1.按干扰补偿图3-35按干扰补偿系统令2.按输入补偿十+图3-36按输入补偿系统控制工程基础教案课题名称(含教材章节):教学目的和要求：1、熟悉根轨迹基本概念；2、掌握绘制根轨迹的基本法则；3、了解广义根轨迹；4、了解用根轨迹分析系统性能。教学重点：根轨迹基本概念，根轨迹方程，常规根轨迹的绘制及系统性能分析教学难点：根轨迹的绘制法则1.根轨迹的基本概念；2.绘制根轨迹的基本法则；3.利用根轨迹分析系统性能；4.广义根轨迹。第四章根轨迹法反馈控制系统的动态性能，主要由系统的极点分布所征方程很困难，这就限制了时域分析法在二阶以上的控制系统中的应用。1948年，伊凡思(W.R.Evans)根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出了直接由开环传递函数求闭环特征根的新方法，并且建立了一套法则，这就是在工程上获得较广泛应用的根轨迹法。一、根轨迹定义：根轨迹——系统中某一参数在全部范围内变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。十K图4-1例图开环传递函数：闭环传递函数：闭环特征方程：s²+2s+2K=0闭环特征根：s₂=-1±√1-2K该例有2个开环极点0,-2;没有开环零点。闭环特征根是K的函数，K由0-K取不同值：K=0,s=0,s₂=-2;K=0.5,s=-1,s=-1;K=1,s=-1+j,s=-1-j;根轨迹直观表达了K变化时闭环特征根所发生的变化。K图4-2例题的根轨迹1.2阶系统，2个闭环极点，2条根轨迹；2.以开环极点为出发点；3.根轨迹上的点与K值一一对应，是连续的；4.通过选择开环增益K,可使闭环极点落在根轨迹的任何位置上；5.如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可计算该点的K值实现设计要求。二、根轨迹方程及相角、幅值条件典型反馈系统的闭环传递函数：特征方程(根轨迹方程):1+G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=-1相角条件：幅值条件：开环传递函数可写成下述形式：因此相角条件、幅值条件又可表示为,k=1,2,…4.2绘制根轨迹的基本法则1.根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。根轨迹起点：(s-p₁)(s-p₂)L(s-p,)=0根轨迹终点：(s-z₁)(s-z₂)L(s-zm)=0当n>m时，s→o时，2.根轨迹的分支数根轨迹s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n,也就是分支数与闭环极点的数目相同。这是因为n阶特征方程对应n个特征根，当开环增益K由零变到无穷大时，这n个特征根随K变化必然会出现n条根轨迹。3.根轨迹的对称性因为开环极点，零点或闭环极点都是实数或者为成对的共轭复数，它们在s平面上的分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴。4.实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和应为奇数。由于成对的共轭复根在实轴上产生的相角之和总是等于360°,不会影响实轴上根轨迹的位置，故上述结论由相角条件很容易得出。5.根轨迹的渐近线如果开环零点数m小于开环极点数n,则当K*→o时，趋向无穷远处的根轨迹共有(n-m)条，这(n-m)条根轨迹趋向于无穷远处的方位可由渐近线决定。设系统开环传递函数为)有(n-m)条渐近线。当s很大时，上式可近似为由上两式中项s"-m-¹系数相等，得渐近线与实轴交点的坐标为即其分子是极点之和减去零点之和。渐近线与实轴正方向的夹角为式中k依次取0,±1,±2,…,一直到获得(n-m)个倾角为止。例已知系统开环传递函数,试绘制其渐近线。解：3个极点；没有零点；3条渐近线，与实轴坐标为：根轨迹如下图所示：P00₂PPP00₂PP图4-3例题的根轨迹6.根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角是指根轨迹起点处的切线与水平线正方向的夹角，为：5∠(p-p₃)∠(P-z₁)₂Z图4-4根轨迹的起始角与终止角根轨迹的终止角是指根轨迹终点处的切线与水平线正方向的夹角，为：7.分离点的坐标几条根轨迹在s平面上相遇后又分开(或分开后又相遇)的点，称为根轨迹的分离点(或会合点)。两种计算方法：方法(1):因分离点(或会合点)是特征方程的重根，因此可用求重根的方法确定它们的位置。设系统开环传递函数为系统闭环特征方程为分离点(或会合点)为重根，必然同时满足方程由上两式可得即根据该式，即可确定分离点(或会合点)的参数。得s²+12s+24=0解之，得s₁=-2.54,s₂=-9.46相应的增益为K₁=1.07,K₂=14.9。方法(2):设系统开环传递函数为由系统闭环特征方程，得求极值即s²+12s+24=0相应的增益为K₁=1.07,图4-5例题根轨迹图方法(3):分离点(或会合点)的坐标可由方程解出，其中p,为开环极点，z,为开环零点。例已知系统开环传递函数为试求系统闭环根轨迹的分离点坐标。解此方程得di在根轨迹上，是所求的分离点。d₂不在根轨迹上，则舍弃。根轨迹如下图所示：Pjm-Km-Kd0-10P2-j图4-6例题根轨迹图8.实轴上分离点的分离角恒为90°根轨迹离开分离点时，轨迹切线的倾角称分离角。由相角条件可推出，当根轨迹从实轴二重极点上分离时，其右边为偶数个零极点，因此该二重极点相角之和为士(2n+1)×180°,即实轴上分离点的分离角恒为士90°。同理，实轴上会合点的会合角也恒为士90。9.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有极点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根±jo,系统处于临界稳定状态。方法1:将s=jw代入特征方程中得1+G(jw)H(ja)=0或Re[1+G(ja)H(jo)]+Im[1+Gjaja,则可解出值及对应的临界开环增益K*及K来。求根轨迹与虚轴的交点。解：系统闭环特征方程为D(s)=s(s+1)(s+2)+K⁴=s³+3s²+2令s=jw,代入上式得D(ja)=(jo)³+3(jo)²+2(ja即联立得方法2根轨迹与虚轴交点坐标也可通过劳斯判据求出。仍以上例为例，其劳斯表为解得K*=6即为所求。10.系统闭环极点之和为常数(略，不做介绍)11.系统闭环极点之积(略，不做介绍)4.3广义根轨迹一、参量根轨迹引入等效开环传递函数的概念等效开环传递函数注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。例：设单位反馈系统的开环传递函数为其中开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点。等效开环极点为：注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将W1(s)的零、极点画在s平面上，绘制出k变化时的根轨迹。j-1σ0二、附加开环零点的作用1.附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为明不存在有限零点。令为不同的数值：2.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为