一类时滞系统的自适应神经网络控制

一类时滞系统的自适应神经网络控制

1基于非线性条件下的自适应控制近年来，讨论了非线性系统的反馈控制问题。在许多文献中，讨论了非线性系统的反馈控制。3、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12等。在处理系统异常时，采用自适应滤波或采用自适应控制。由于良好的非线性邻近性和在线自适应适应调幅性，因此在讨论自适应控制的问题时，引入了基于地下神经网络的自适应控制器。为了避免控制器的异质性，在文献中引入了偶函数。在这种情况下，当状态达到平衡距离的小相邻时，控制u.0，并在此时停止。为了避免集群补偿的异质性，引入了非线性期间差分系统的自适应控制，并提出和证明了相关封闭系统的稳定性理论。在同一类型的三角结构的非线性延迟系统中，基于这种类型的新线性斜坡系统设计了基于径向神经网络的自适应控制器和基于小波神经网络的自适应控制器，以证明环体系的结构。上述文献假设系统的每个状态的延迟相同，并且不同状态下存在不同的时间延迟（多个时间延迟），因此没有考虑自适应控制在不同状态下的问题。在这项工作中，rbf神经网络附近的未知非线性延迟函数提出了一种新的自适应适应性控制方案。网络的结构如图1所示。由图1可得(1)式其中,输入向量Z=[z1,z2,…,Zq|T∈ΩzRq,权值向量W=|ω1,ω2,…,ωl]T∈Rl,隐层神经元个数l>1,基函数向量S(Z)=[s1(Z),s2(Z),…,sl(Z)}T∈Rl.选择si(Z)为高斯函数即其中,μi[μi1,μi2,…,μiq]T为RBF的中心,ηi为高斯函数的宽度,i=1,2,…,l.如果l足够大,在闭集ΩzRq内,WTS(Z)可以任意精度逼近任意的连续非线性函数N(Z):Rq→R,即其中,|ε(Z)|≤ε*,ε*>0为未知的常数.W*为理想权值,定义为对所有Z∈ΩzRq使|ε(Z)|最小的W值,即令为理想权值W*的估计值,则定义权值的估计误差为2虚拟控制函数的生成考虑一类时滞确定的单输入单输出的严格反馈非线性时滞系统其中,u∈R,y∈R分别为系统的控制和输出.x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn为系统的状态向量,=[x1,x2,…,xi]T,τ是状态的时滞项,fi(·)和hi(·)是未知的非线性光滑函数,代表系统的不确定性,i=1,2,…,n.假设1其中ρi(·)为已知的光滑非线性函数,且hi(0)=0,ρi(0)=0.首先引入下面的坐标变换其中αi-1(t),i=2,3,…,n,为反步设计过程中的虚拟控制函数.经过坐标变换(7),系统(6)变为如下形式在新的坐标系下,假设1变为假设2其中ρij(·)是已知光滑非线性函数,且Hi(0)=0.新坐标下的假设2可直接推出,其中已知函数ρij(·)可由简单计算得出.假设2与文中的假设条件不同,文献给出的是原坐标下的假设条件;假设2与文献中的假设条件基本相同,目的都是满足控制器设计的需要,但本文提出了一种新的Lyapunov-Krasovskii泛函.3初始条件t为说明设计方法,由系统(8)首先考虑下面的一阶系统定义标量函数并对其关于时间t求导,利用Young’s不等式可得为了消除时滞项的部分影响,定义Lyapunov-Krasovskii泛函由(10)和(11)式可得由(12)式可得理想的控制律为其中k1(t)是正数,N1(Z1)=F1(z1(t)),Z1=[z1(t)]T∈Ωz1R,由此可知N1(Z1)是定义在紧集Ωz1上的未知的连续非线性函数,可以用神经网络以任意精度逼近.由(3)式可得其中,|ε1(Z1)|≤,>0为未知的常数,为未知理想权值,令为的估计值,则权值估计误差为定理1对于一阶系统(9),如果实际的控制律和权值调整律分别选为其中,矩阵Γ1=>0,常数σ1>0,k1>0.对任意有限的初始条件x1(0)和,闭环系统的所有信号是有界的,误差信号z1(t)将最终收敛于紧集Ω1内,其中证明过程可参考定理2.4反步计算中的结论对系统(8)用反步设计方法进行自适应控制器的设计.首先定义标量函数反步设计方法是将Lyapunov函数的选取与控制器的设计相结合的一种回归设计方法,它通过从系统的最低阶次微分方程开始,引入虚拟控制的概念,一步一步设计满足要求的虚拟控制,最终设计出真正的控制律.对于未知的非线性函数Ni(Zi),在闭集Ωzi内用RBF神经网络逼近为其中,|εi(Zi)|≤>0为未知的常数,为未知理想权值,令为的估计值,则权值估计误差为定义RBF神经网络的估计误差和权值调整律为其中,矩阵Γi=>0,常数σi>0,i=1,2,…,n.下面给出引理1,其中的结论对本部分应用反步设计方法进行控制器设计的公式推导过程具有重要作用.引理1令当i≥3时,根据Qi中的是否含有时滞项,j=1,2,…,i,整理后可得步骤1为了消除时滞项的部分影响,定义Lyapunov-Krasovskii泛函其中定义候选Lyapunov函数对(24)式关于时间t求导,利用假设2和Young’s不等式可得对于(25)式中的未知非线性函数用RBF神经网络逼近,令其中Z1=[z1(t)]T∈Ωz1R,令虚拟控制其中k1(t)的值将在后面闭环系统稳定性证明过程中统一给出,在每步计算虚拟控制时将其代入.由(18),(19),(26)和(27)式,(25)式变为步骤i(2≤i≤n-1)定义Lyapunov-Krasovskii泛函其中定义候选Lyapunov函数对(30)式关于时间t求导,利用假设2和Young’s不等式可得由前面的推导过程步骤1,步骤2,…,步骤i-1可得计算αi-1(t)导数的通项表达式(32)则利用Young’s不等式可得下式其中βi(t)的表达式如(34)式所示,βi(t)为即将给出的虚拟控制αi(t)的组成部分把(33)和(34)式代入(31)式得其中Qi为引理1中所定义,对于(35)式中的未知非线性函数用RBF神经网络逼近,令其中令第i步的虚拟控制为其中ki(t)>0,φi(t)的值可由上式得出.系数ki(t)是为了保证闭环系统的稳定性,根据候选Lyapunov函数Vn(t)表达式(45)而设计的一个参数,在第i步计算时ki(t)可以根据状态和上一步的虚拟控制函数计算出实际值.由(26),(27),(36)和(37)式,(35)式变为应用引理1和前i-1步的结果,整理后可得步骤n定义Lyapunov-Krasovskii泛函其中Un1(zn(t))=(t).定义候选Lyapunov函数此步类似于第i步,推导过程和参数可参考之,得到最终的控制5unov函数vnt重新表示引理2czi是任意正常数,对于Zi∈Ωzi,定义集合则偶函数pi(zi):R→R:是连续可导的,并且取值范围为.定理2在假设条件1和2下,考虑由(6)式组成的闭环系统,如果应用由上述反步设计方法推出的控制律和权值调整律,对任意有限的初始条件,系统具有下列性质(a)信号zi(t),xi(t)和i(t)是全局一致最终有界的;(b)信号z(t)=[z1,z2,…,zn]T∈Rn将最终收敛于紧集Ω中,且Ω定义如下证候选Lyapunov函数Vn(t)重新表示为即应用由上述反步设计方法推出的控制律和权值调整律,Vn(t)对时间t的导数为由(18)和(19)可知代入(46)式可得由于则(47)式变为令常数ki0>0,并根据引理2,取式(49)引入pi(zi),是为了当zi→0时保证ki(t)是有界的.根据信号z(t)所在的集合,分3种情况讨论1)如果所有的zi∈,i=1,2,…,n由引理2中的(44)式可知当zi∈时,pi(zi)=1,把(49)和(50)式代入(48)式可得其中,取ρ=,不等式(51)两边同时乘以ect并整理得两边从[0,t]积分得由已知可得Vn(0)是有界的,则Vn(t)有界,因此zi(t),xi(t)和i(t)有界.由(45)和(52)式可知即2)如果所有的zi∈Ωczi,i=1,2,…,n.因为|zi|<czi,所以zi是有界的,因此正定函数Vzi和Vzn有界,可以证明i也是有界的,则Vn(t)有界,取CB是一有限常数则有3)如果部分zi∈,另一部分zj∈Ωczj.这种情况较前两种要复杂,令用VI表示zi∈时所有Vii的加和,即只要选择合适的ki0等参数就可保证即参数cI,λI和ρI的取值可参照前述方法获得.可得如果另一部分zj∈Ωzczj,用VJ表示zj∈Ωczj时所有Vjj的加和,即由此可以得到VJ≤CJ,CJ是一有限常数.可得因此有综上所述,可以得到Vn(t)≤C,其中C=max{Vn(0)+ρ,CB,VI(0)+ρI+CJ}.当t→∞时,定理得证.6状态初始化仿真其中,时滞τ=2,未知非线性函数fi(·)和hi(·)分别为令z1=x1,z2=x2-α1,对二阶系统(55)坐标变换可得其中,非线性函数根据假设条件2可得其中利用Matlab进行仿真,仿真时一些参数的取值如下:k10=k20=0.005,Γ1和Γ2分别为相应维数的单位矩阵,σ1=σ2=0.05.状态初始化为仿真时应初始化RBF网络的权值、定义RBF网络的中心和方差.其中一组仿真结果如图2-图5所示.由图2-图5可以看出,闭环系统是稳定的.在仿真初始阶段,由于时滞存在,控制u存在较小的突变.在初始的10秒内存在较大的误差,经过大约30秒的调节,系统达到控制的目的,可使系统的跟踪误差和估计误差小于0.001,显示出控制器具有良好的调节性能,证明了控制器的有效性.由定理2可知,紧集Ω的大小依赖于初始条件和设计参数,因此较大的初始误差在自适应调节的初期会导致较大的暂态跟踪误差,但不会影响闭环系统的最终收敛情况.仿真过程中RBF神经网络的中心和方差的确定是一个关键问题,选取不当会导致较差的效果.7基于lyapunom-krasovskii的新设计本文针对一类带有不确定性的严格反馈非线性时滞系统