一类非线性系统的自适应控制设计

一类非线性系统的自适应控制设计

0非线性设计方法近年来，反走法和后推法引起了相关科学家的关注，并在航空航天和机器人控制项目中取得了成功的应用。在文献中介绍的是用自适应反馈线性化来设计模型参考自适应控制器,由于参数估计的高阶倒数将出现在高阶系统的控制律中,所以此方法不能应用于通过反馈进行线性化的所有系统中。基于文献,本文提出了另外一种非线性设计方法——反步法。并举例说明了它在自适应控制器设计中的应用。控制器的设计基于backstepping思路,在每一步设计中,都可以得到一个由V函数,不确定参数的自适应调节函数和一个已知李亚普诺夫函数的虚拟控制系统的镇定函数组成的三元组,整个系统的V函数和自适应控制律由最后一步得出。它适用于可状态线性化或严参数反馈的不确定系统,可以方便的用符号代数软件来实现。应用此方法所设计出来的自适应控制器可保证整个非线性系统的稳定性,通过适当的引入虚拟控制,使得其与虚拟反馈间具有某种渐近特性,从而实现整个系统的渐近镇定。1渐进定位功能的实现考虑单输入单输出非线性系统˙x1=x2+f1(x1)˙x2=x3+f2(x1‚x2)⋮˙xi=xi+1+fi(x1,⋯‚xi)⋮˙xn=fn(x1,⋯‚xn)+u}(1)其中:x∈Rn为系统的状态变量,u∈R为系统的输入变量。非线性部分fi(x1,…,xi)呈下三角结构。反步法的设计思想是视每一个子系统˙xi=xi+1+fi(x1‚⋯‚xi)中的xi+1为虚拟控制,通过确定适当的虚拟反馈xi+1=γi(i=1,…,n-1)使得系统的前面状态达到渐进稳定。但系统的解一般不满足xi+1=γi,因此,在此引进误差变量,期望通过控制的作用,使得xi+1与虚拟反馈γi键具有某种渐进特性,从而实现整个系统的渐进镇定。首先,利用虚拟控制,定义n个误差变量e1=x1e2=x2-γ1(x1)⋮en=xn-γn-1(x1‚⋯‚xn-1)}(2)其中γi(i=1,…,n-1)待定。在每一步将要构造一个李雅普诺夫函数,使每一状态分量具有适当的渐进特性。为镇定原系统,只需镇定(2)中的误差即可。第一步:对e1求导得:˙e1=x2+f1(x1)=-e1+x1+x2+f1(x1)(3)令v1=12e21,取γ1=-x1-f1(x1)≅˜γ1(e1),则˙e1=-e1+e˙e2=x3+f2(x1‚x2)-∂˜γ1∂e1˙e1≅x3+f2(ˆe1‚e2)˙v1=-e21+e1e2}(4)显然,如果e2=0,则e1渐进稳定。但通常e2≠0,因此在此需要引入虚拟控制γ2使得误差e2=x2-ˆγ1(e1)具有期望的渐进特性。为此,进行下一步设计。第二步:定义v2=12e22+v1,取ˆγ2≅-e1-e2+ˆf2(e1‚e2),则˙e1=-e1+e2˙e2=-e1-e2+e3˙e3=x4+f3(x1‚x2‚x3)-2∑i=1∂˜γ2∂ei˙ei≅x4+f3(e1‚˜e2‚e3)˙v2=-e21+e22+e2e3}(5)同理,在此还需要引入虚拟控制α3,使得e3=x3-˜γ3具有期望的渐进性态。第i步:定义李雅普诺夫函数vi及虚拟控制γ˜i为vi=12(e12+⋯+ei2)γ˜i=-ei-1-ei+f˜i(e1‚⋯‚ei)}(6)则在最后一步可得e˙n=fn(x1‚⋯,xn)+u-∑i=1n-1∂γ˜n-1∂eie˙i≅f˜n(e1‚⋯‚en)+uv˙n=-(e12+⋯+en-12)+en-1en+en[f˜n(e1‚⋯‚en)+u]}(7)选取反馈控制规律为:u=γ˜n(e1‚⋯‚en)=-en-1-en-f˜n(e1‚⋯‚en)(8)由式(7)及式(8)得:e˙n=-en-en-1v˙n=-(e12+⋯+en-12+en2)}(9)因此误差是指数渐进稳定的。在上述反步法中给定的虚拟控制(6)及反馈控制(9)下,原非线性系统确实是指数渐进稳定的。2控制变量的选择考虑下列系统:dx1dt=x2+θf(x1)dx2dt=x3dx3dt=u其中f是一个已知的函数,θ是一个未知参数。本文中,在参数θ是未知的情况下,得到了一个使系统达到稳定的控制规律。引入一个新的状态变量s1=x6。s1的倒数可以由几项组成,其中的任何一项仅仅取决于已知的量。为了实现这个目的,可以引入参数估计量θ^和参数估计误差θ˜=θ-θ^。那么s1的导数为:ds1dt=-s1+s1+x2+θ^f(s1)+θ˜f(s1)引入状态变量s2=x2+α1(s1‚θ^),其中α1(s1‚θ^)=s1+θ^f(s1)(10)则ds1dt=-s1+s2+θ˜f(11)下面,将推算出dθ^/dt的近似表达式:ds2dt=x3+∂α1∂s1(-s1+s2+θ˜f)+∂α1∂θ^dθ^dt(12)应用反步法的观点,此处把x3看作是一个可以自由选择的控制变量。通过李雅普诺夫函数可以找出使误差等式稳定的一个控制律和一个自适应律。经过计算,可得到v的导数:dvdt=-s12+s1s2+x3(s2+∂α1∂θ^dθ^dt)+θ˜(s1f+s2∂α1∂s1f(s1)-dθ^dt)为了消除包含θ˜的项,在此做出如下选择:dθ^dt=b2(s1‚s2)其中b2=s1f(s1)+s2∂α2∂s1f(s1)(13)函数b2(s1,s2)是选择参数更新率dθ^/dt的最好方式。通过选择控制变量x3可以得到:dwdt=-s12-s22b2作为dθ^/dt的估计值,(3)式可以写为:ds2dt=-s1-s2+x3+s1+s2+∂α1∂s1⋅(-s1+s2+θ˜f)+∂α1∂θ^b2+∂α1∂θ^(dθ^dt-b2)(14)令α2(s1‚s2‚θ^)=s1+s2+∂α1∂s1(-s1+s2)+∂α1∂θ^b2(15)引入状态变量s3=x3+α2(s1,s2‚θ^),微分等式(5)能够变为:ds2dt=-s1-s2+s3+∂α1∂s1θ˜f+∂α1∂θ^(dθ^dt-b2)(16)s3的导数为:ds3dt=u+∂α2∂s1ds1dt+∂α2∂s2ds2dt+∂α2∂θ^dθ^dt(17)结合式(2),(7),(8),可得到误差等式。下面,我们将找出使误差等式稳定的一个反馈律和一个参数调节规则,选择李雅谱诺夫函数:v=12(s12+s22+s32+θ˜2)经计算,可得:dvdt=-s12-s22+s2s3+s2∂α1∂θ^(dθ^dt-b2)+s3[u+∂α1∂θ^(dθ^dt-b2)+∂α2∂θ^dθ^dt]+θ˜[s1f+s2∂α1∂s1f+s3(∂α2∂s1+∂α1∂s1∂α2∂s2)f-dθ^dt]为了消除包含θ˜的项,用下列方式更新参数dθ^dt=s1f+s2∂α1∂s1f+c(s1‚s2)s3(18)其中c(s1‚s2)=(∂α2∂s1+∂α1∂s1∂α2∂s2)f。另外,引入b3(s1,s2,s3)=b2+cs3,且α3=s2+s3+∂α2∂s1(-s1+s2)+∂α2∂s2(-s1-s2+s3-s32∂α1∂θ^c)+∂α2∂θ^b3得到:dθ^dt-b2=cs3李雅谱诺夫函数的导数能够写成:dvdt=-s12-s22-s32+s3(u+α3)在反馈规律u=-α3(s1,s2,s3)下,得到:dv/dt=-s21-s22-s32。故只要|s|≠0,则dvdt是负的。3生物控制系统结构的仿真考虑下列非线性系统:x˙1=x2+θx1‚x˙2=u其中:u∈R和x∈R2分别代表系统的输入和状态变量,θ是未知参数。利用MATLAB对上述系统及控制器结构进行仿真。在仿真中,假设未知参数为:θ1=1,θ2=1,取系统的初始条件为:x1(0)=1,x2(0)=1,s1(0)=1,s2(0)=1。仿真结果如图1～4所示。4数值稳定性控制本文把一种非线性的设计方法(反步法)应用