一轮复习学案作业第四章4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式Word版含解析【高考】

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式最新考纲考情考向分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合，强调恒等变形的技能以及基本的运算能力.题型为选择题和填空题，中低档难度.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限概念方法微思考1.使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据角所在象限确定三角函数值的符号.2.诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立.(×)(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.(×)(4)若sin(kπ－α)＝eq\f(1,3)(k∈Z)，则sinα＝eq\f(1,3).(×)题组二教材改编2.若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，则tanα＝.答案－eq\f(1,2)解析∵eq\f(π,2)<α<π，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).3.已知tanα＝2，则eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)的值为.答案3解析原式＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(2＋1,2－1)＝3.4.化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为.答案－sin2α解析原式＝eq\f(sinα,cosα)·(－sinα)·cosα＝－sin2α.题组三易错自纠5.已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则sinθ－cosθ的值为.答案－eq\f(\r(2),3)解析∵sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，∴sinθcosθ＝eq\f(7,18).又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).6.若sin(π＋α)＝－eq\f(1,2)，则sin(7π－α)＝；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝.答案eq\f(1,2)eq\f(1,2)解析由sin(π＋α)＝－eq\f(1,2)，得sinα＝eq\f(1,2)，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)－2π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα＝eq\f(1,2).同角三角函数基本关系式的应用1.已知α是第四象限角，sinα＝－eq\f(12,13)，则tanα等于()A.－eq\f(5,13)B.eq\f(5,13)C.－eq\f(12,5)D.eq\f(12,5)答案C解析因为α是第四象限角，sinα＝－eq\f(12,13)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(5,13)，故tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).2.已知α是三角形的内角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则sinα＋cosα的值为.答案－eq\f(\r(10),5)解析由tanα＝－eq\f(1,3)，得sinα＝－eq\f(1,3)cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(9,10)，易知cosα<0，所以cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，故sinα＋cosα＝－eq\f(\r(10),5).3.若角α的终边落在第三象限，则eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))的值为.答案－3解析由角α的终边落在第三象限，得sinα<0，cosα<0，故原式＝eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(2sinα,|sinα|)＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－1－2＝－3.4.已知sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，θ∈(0，π)，则tanθ＝.答案－eq\f(12,5)解析方法一由sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，得sinθcosθ＝－eq\f(60,169)，因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以sinθ－cosθ＝eq\r(1－2sinθcosθ)＝eq\f(17,13)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(7,13)，,sinθ－cosθ＝\f(17,13)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(12,13)，,cosθ＝－\f(5,13)，))所以tanθ＝－eq\f(12,5).方法二因为sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，所以sinθcosθ＝－eq\f(60,169)，由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－eq\f(7,13)x－eq\f(60,169)＝0的两根，所以x1＝eq\f(12,13)，x2＝－eq\f(5,13).又sinθcosθ＝－eq\f(60,169)<0，θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0.所以sinθ＝eq\f(12,13)，cosθ＝－eq\f(5,13).所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(12,5).方法三由sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，得sinθcosθ＝－eq\f(60,169)，所以eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝－eq\f(60,169).齐次化切，得eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝－eq\f(60,169)，即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，解得tanθ＝－eq\f(12,5)或tanθ＝－eq\f(5,12).又θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)>0，sinθcosθ＝－eq\f(60,169)<0，所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以tanθ＝－eq\f(12,5).思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.诱导公式的应用例1(1)已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝.答案－eq\f(4,3)解析因为θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，所以θ＋eq\f(π,4)为第一象限角，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))＝eq\f(－cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))),sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))))＝－eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝－eq\f(4,3).(2)已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A.{1，－1,2，－2} B.{－1,1}C.{2，－2} D.{1，－1,0,2，－2}答案C解析当k为偶数时，A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2；当k为奇数时，A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.跟踪训练1(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))等于()A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C.－eq\f(5,13)D.－eq\f(12,13)答案B解析因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13).(2)(2019·湖北四校联考)已知角α是第二象限角，且满足sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)等于()A.eq\r(3) B.－eq\r(3)C.－eq\f(\r(3),3) D.－1答案B解析由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＋3cos(α－π)＝1，得cosα－3cosα＝1，∴cosα＝－eq\f(1,2)，∵角α是第二象限角，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，∴tan(π＋α)＝tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\r(3).同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2(1)已知角θ的终边在第三象限，tan2θ＝－2eq\r(2)，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq\r(2)cos2θ等于()A.－eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(2),6)C.－eq\f(2,3)D.eq\f(2,3)答案D解析由tan2θ＝－2eq\r(2)可得tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝－2eq\r(2)，即eq\r(2)tan2θ－tanθ－eq\r(2)＝0，解得tanθ＝eq\r(2)或tanθ＝－eq\f(\r(2),2).又角θ的终边在第三象限，故tanθ＝eq\r(2)，故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq\r(2)cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－eq\r(2)cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－\r(2)cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－\r(2),tan2θ＋1)＝eq\f(\r(2)2＋\r(2)－\r(2),\r(2)2＋1)＝eq\f(2,3).(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－eq\f(1,5).求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值.解由已知，得sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25).∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，由－π<x<0知，sinx<0，又sinxcosx＝－eq\f(12,25)<0，∴cosx>0，∴sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175).本例(2)中若将条件“－π<x<0”改为“0<x<π”，求sinx－cosx的值.解若0<x<π，又2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，∴sinx>0，cosx<0，∴sinx－cosx>0，故sinx－cosx＝eq\f(7,5).思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.跟踪训练2(1)已知sinα＝eq\f(2\r(5),5)，则tan(α＋π)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))＝.答案eq\f(5,2)或－eq\f(5,2)解析因为sinα＝eq\f(2\r(5),5)>0，所以α为第一或第二象限角.tan(α＋π)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))＝tanα＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα).①当α是第一象限角时，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),5)，原式＝eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(5,2).②当α是第二象限角时，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(5),5)，原式＝eq\f(1,sinαcosα)＝－eq\f(5,2).综合①②知，原式＝eq\f(5,2)或－eq\f(5,2).(2)若tan(5π＋α)＝m，则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值为()A.eq\f(m＋1,m－1) B.eq\f(m－1,m＋1)C.－1 D.1答案A解析∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.原式＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(m＋1,m－1).1.若sinα＝－eq\f(5,13)，且α为第三象限角，则tanα的值等于()A.eq\f(12,5)B.－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12)D.－eq\f(5,12)答案C解析因为sinα＝－eq\f(5,13)，且α为第三象限角，所以cosα＝－eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(5,12).2.已知α是第四象限角，tanα＝－eq\f(8,15)，则sinα等于()A.eq\f(15,17)B.－eq\f(15,17)C.eq\f(8,17)D.－eq\f(8,17)答案D解析因为tanα＝－eq\f(8,15)，所以eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(8,15)，所以cosα＝－eq\f(15,8)sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝eq\f(64,289)，又α是第四象限角，所以sinα＝－eq\f(8,17).3.(2019·杭州学军模拟)已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值为()A.eq\f(1－a2,a) B.eq\r(1－a2)C.eq\f(a2－1,a) D.－eq\r(1－a2)答案B解析sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－a2).4.已知tan(α－π)＝eq\f(3,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))等于()A.eq\f(4,5)B.－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D.－eq\f(3,5)答案B解析由tan(α－π)＝eq\f(3,4)⇒tanα＝eq\f(3,4).又因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α为第三象限角，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα＝－eq\f(4,5).5.(2019·沧州七校联考)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A.eq\f(2,5)B.－eq\f(2,5)C.－2D.2答案A解析由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，即tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2,5).6.若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A.1＋eq\r(5) B.1－eq\r(5)C.1±eq\r(5) D.－1－eq\r(5)答案B解析由题意知sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,4)，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5)，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq\r(5).7.sin

eq\f(4,3)π·cos

eq\f(5,6)π·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)π))的值是.答案－eq\f(3\r(3),4)解析原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).8.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋2cosπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝.答案eq\f(3,2)解析由已知得tanθ＝3，∴eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋2cosπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝eq\f(－cosθ－2cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(－3,1－tanθ)＝eq\f(3,2).9.(2019·沧州七校联考)已知sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，则eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)＝；sin2α＋sin2α＝.答案－eq\f(1,6)eq\f(8,5)解析∵sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα.eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)＝eq\f(2cosα－4cosα,10cosα＋2cosα)＝eq\f(－2,12)＝－eq\f(1,6).∵sinα＝2cosα，∴tanα＝2，∴sin2α＋sin2α＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(4＋4,4＋1)＝eq\f(8,5).10.若sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan22π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)＝.答案eq\f(5,3)解析方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq\f(3,5)，x2＝2，则sinα＝－eq\f(3,5).原式＝eq\f(cosα－cosαtan2α,sinα－sinα－sinα)＝－eq\f(1,sinα)＝eq\f(5,3).11.已知－eq\f(π,2)<α<0，且函数f

(α)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sinα·eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))－1.(1)化简f

(α)；(2)若f

(α)＝eq\f(1,5)，求sinαcosα和sinα－cosα的值.解(1)f

(α)＝sinα－sinα·eq\r(\f(1＋cosα2,1－cos2α))－1＝sinα＋sinα·eq\f(1＋cosα,sinα)－1＝sinα＋cosα.(2)方法一由f

(α)＝sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，平方可得sin2α＋2sinα·cosα＋cos2α＝eq\f(1,25)，即2sinα·cosα＝－eq\f(24,25).∴sinα·cosα＝－eq\f(12,25).又－eq\f(π,2)<α<0，∴sinα<0，cosα>0，∴sinα－cosα<0，∵(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝eq\f(49,25)，∴sinα－cosα＝－eq\f(7,5).方法二联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(3,5)，,cosα＝\f(4,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5).))∵－eq\f(π,2)<α<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(3,5)，,cosα＝\f(4,5)，))∴sinαcosα＝－eq\f(12,25)，sinα－cosα＝－eq\f(7,5).12.已知k∈Z，化简：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α).解当k＝2n(n∈Z)时，原式＝eq\f(sin2nπ－αcos[2n－1π－α],sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α)＝eq\f(sin－α·cos－π－α,sinπ＋α·cosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα·cosα)＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝eq\f(sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1－1π－α],sin[2n＋1＋1π＋α]·cos[2n＋1π＋α])＝eq\f(sinπ－α·cosα,sinα·cosπ＋α)＝eq\f(sinα·cosα,sinα－cosα)＝－1.综上，原式＝－1.w13.(2020·嘉兴联考)已知α为钝角，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(3,4)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝.答案－eq\f(\r(7),4)eq\f(3,4)解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))，∵α为钝角，∴eq\f(3,4)π<eq\f(π,4)＋α<eq\f(5,4)π.∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))<0.∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2)＝－eq\f(\r(7),4).coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c