昆明理工大学材料力学第八章-杆件的扭转课件

材料力学材料力学第八章杆件的扭转§8-1扭转的概念§8-2轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§8-3切应力互等定理·剪切胡克定律§8-4圆轴扭转时的应力·强度条件§8-5圆轴扭转时的变形·刚度条件§8-6矩形截面杆的自由扭转第八章杆件的扭转§8-1扭转的概念§8-2轴的外力偶矩§8-1扭转的概念实例1对称扳手拧紧螺帽§8-1扭转的概念实例1对称扳手拧紧螺帽实例2汽车传动轴传动轴实例2汽车传动轴传动轴实例3实例3昆明理工大学材料力学第八章-杆件的扭转课件MeMe

受力特点:

受到一对等大、反向、在垂直于轴线平面内的力偶作用。扭转的概念MeMe受力特点:扭转的概念变形特点:杆件任意两个横截面发生绕轴线的相对转动，轴线不变。●概念:①两个横截面的相对转角称为扭转角——

；②纵向线倾斜的角度，即为切应变(或称角应变)；③轴——承受扭转变形的杆件。MeMe

变形特点:●概念:MeMe§8-2轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图

一、外力偶矩的计算1.力偶作用§8-2轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图一、外力偶矩的计算1切线方向的力F

产生力偶矩Me=FR皮带的拉力F1和F2

产生力偶矩。若

F2>F1则

Me=(F2-F1)D/22.皮带轮或链条切线方向的力F产生力偶矩皮带的拉力F1和F2产生力偶作用在齿轮上的切向力产生力偶矩Me=FtR3.齿轮作用在齿轮上的切向力产生力偶矩Me=FtR3.齿轮功率P(kW

或HP)标示牌显示旋转速度n(r/min)4.由转速和功率计算外力偶矩功率P(kW或HP)标示牌显示旋转速度n(r/mnn

二、扭转的内力1.扭矩MeMeMeTx扭转的内力：横截面内的一个力偶矩，称为扭矩。nn

求n-n横截面上的内力？nn二、扭转的内力1.扭矩MeMeMeTx扭转的内力：nkkMeTkx

求k-k横截面上的内力？MeMekk

比较n-n与k-k横截面上的内力？MeMennnnMeTxkkMeTkx求k-k横截面上的内力？MeMekk比较n扭矩T的正负规定:++按右手螺旋法则，扭矩的矢量与截面的外法线重合，扭矩为正，反之为负。扭矩T的正负规定:++按右手螺旋法则，扭矩的矢量与截面的用“设正法”求扭矩:kkMeTkx

求k-k横截面上的扭矩？MeMekk用“设正法”求扭矩:kkMeTkx求k-k横截面上的扭矩？2.扭矩图用坐标(x,T)来表示沿轴线方向的扭矩变化。

x表示横截面的位置。T表示扭矩的大小。2.扭矩图用坐标(x,T)来表示沿轴线方向的扭矩变化。例1.

传动轴如图所示，已知：转速n=300r/min；主动轮功率P1=500kW，

从动轮功率分别为P2=150kW，

P3=150kW，

P4=200kW。

求各段的扭矩并画出轴的扭矩图。

M1

M2

M3

M4

BCAD例1.传动轴如图所示，已知：转速n=300r/min（1）计算各传动轮所受的外力偶矩解:M1

M2

M3

M4

BCAD注：任意两外力偶矩之间各截面扭矩相同。（1）计算各传动轮所受的外力偶矩解:M1M2M3M4（2）计算各段上的扭矩11M2BxT1x33DT3M4

112233BM2

CM3

22xT2M1

M2

M3

M4

BCAD（2）计算各段上的扭矩11M2BxT1x33DT3M411（3）画扭矩图Tmax=9.56kN·m,位于CA段上。4.789.566.37T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCAD（3）画扭矩图Tmax=9.56kN·m,位于C●由外力偶矩直接求扭矩的法则：任意横截面上的扭矩等于截面一侧所有外力偶矩的代数和。（看外力偶矩的正投影，有向上和向下之分。）M1

M2

M3

M4

BCAD

左边向上，右边向下取“+”，反之取“－”。●由外力偶矩直接求扭矩的法则：（看外力偶矩的正投影，有向上●主动轮M1与从动论M4互换位置，画扭矩图。Tmax=15.9kN·m,位于AD段上。4.789.5615.9T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCAD●主动轮M1与从动论M4互换位置，画扭矩图。Tmax=4.789.5615.9T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCADM1

M2

M3

M4

BCAD4.789.566.37T(kN·m)比较传动轮的位置的不同安排，哪一种合理？Tmax=15.9kN·mTmax=9.56kN·m4.789.5615.9T(kN·m)M1M2M3M●主动轮与从动论位置的合理安排：主动轮放在从动论之间，并尽量使两边从动论所传递的外力偶矩相等。●主动轮与从动论位置的合理安排：主动轮放在例2.

轴受力如图所示，画出轴的扭矩图。

CMe=2mamABa2am—分布力偶矩单位：kN·m/m分布力偶矩作用的段，扭矩图是斜直线。1122x例2.轴受力如图所示，画出轴的扭矩图。一、

薄壁圆筒的扭转R0tR0—平均半径t

(或δ)—筒壁厚度薄壁：R0/t≥

101.薄壁圆筒lMeMe11任取的1-1横截面上的扭矩可求。§8-3切应力互等定理·剪切胡克定律一、薄壁圆筒的扭转R0tR0—平均半径t(或δ)—筒壁厚R0tMeMe11Me11T求1-1横截面上的扭矩？R0tMeMe11Me11T求1-1横截面上的扭矩？(1)圆周线绕轴线相对转动；(2)圆周线的大小和间距不变；(3)各纵向线倾斜同一角度；(4)矩形网格变为平行四边形。变形现象：近似认为管内变形与管表面变形相同2.实验：CˊDˊg微正六面体(1)圆周线绕轴线相对转动；(2)圆周线的大小和间距不变；(微体只产生剪切变形。沿圆周方向所有微体的剪切变形相同

结论：

横截面上只存在切应力，没有正应力。纵向线倾斜的角度γ

就是切应变，是由切应力引起的。CˊDˊg微体只产生剪切变形。沿圆周方向所有微体的剪切变形相同结论：

3.切应力的方向：切应力的方向是与半径垂直，

并与扭矩绕向一致。

TT3.切应力的方向：切应力的方向是与半径垂直，

4.切应力的计算：①因为壁很薄，所以认为沿壁厚方向切应力均匀分布。T

R0切应力的分布规律4.切应力的计算：TR0切应力的分布规律横截面上各点切应力的合力为一力偶矩，此力偶矩就是扭矩。T

R0②切应力的大小横截面上各点切应力的合力为一力偶矩，此力偶矩二、

切应力互等定理从圆筒上取出一微正六面体

′

′

dxdydxdytTMe—切应力互等定理MeMet二、切应力互等定理从圆筒上取出一微正六面体′′切应力互等定理:

在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且大小相等，并都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。

′

′

dxdyt切应力互等定理:在相互垂直的两个平面上，纯剪切应力状态–—单元体的四个侧面上只有切

应力而无正应力的应力状态。

′

纯剪切应力状态–—单元体的四个侧面上只有切 思考已知单元体上、下两个面上的切应力，以下各图中所画的其他面上的切应力，哪个图是正确的？A

B

C

D思考已知单元体上、下两个面上的切应力，以下各图中所画的其他面三、

剪切胡克定理g—切应变MeMe

用一低碳钢所做的圆轴做扭转实验，在两端截面上加力偶矩直至扭断。γ

‵′‵′‵′‵′‵′‵′‵′‵′三、剪切胡克定理g—切应变MeMe用一低碳钢所做的圆轴

γ

b

s

p

p—剪切比例极限

s—剪切屈服极限

b—剪切强度极限剪切时的应力—应变关系曲线在剪切比例极限前，切应力与切应变成正比。

—剪切胡克定律γbspp—剪切比例极限s—剪切屈服极限b—剪剪切胡克定律G—剪切弹性模量。

它与τ具有相同的量纲。常用单位：GPa

。G,E

和

都是材料的弹性常量，它们中只有两个是独立的，关系是(在线弹性范围内)剪切胡克定律G—剪切弹性模量。G,E§8-4圆轴扭转时的应力·强度条件

一、等直圆轴扭转时的应力

rMeMe(1)圆周线绕轴线相对转动；(2)圆周线大小和间距不变；(4)纵向线倾斜同一角度

；(5)矩形变为菱形。变形现象：实验：

g—切应变(3)径向直线仍然保持为直线；§8-4圆轴扭转时的应力·强度条件一、等直圆轴扭转时的应圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，大小和形状不变，半径仍保持为直线，任意两横截面间的距离保持不变，但绕轴线发生相对转动。●平面截面假设圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，分析论证平面保持平面分析论证平面保持平面

rMeMe●结论：1.横截面上不产生正应力；

(任意两横截面间的距离保持不变。)2.横截面上只产生剪应力；(纵向线倾斜的角度

就是切应变，由切应力引起。)3.剪应力的分布不是均匀分布。rMeMe●结论：1.横截面上不产生正应力；理论分析与拉压杆问题相比，圆轴扭转问题的载荷和变形都要复杂一些，因此理论分析必须包含三类条件。三类条件变形几何关系物理关系

静力关系理论分析与拉压杆问题相比，圆轴扭转问题的载荷和变形都要复杂一1.变形几何关系横截面周界上一点的切应变距圆心为

处一点的切应变1.变形几何关系横截面周界上一点的切应变距圆心为处一点变形几何关系：——扭转角

沿轴线的变化率；

当外力一定时是一常量。上式表明:

横截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距离成正比。距圆心相同的点切应变相同，圆心处为零，在外表面达到最大值。变形几何关系：——扭转角沿轴线的变化率； 当外力一定时2.物理关系

O说明：横截面上任意一点的切应力与它到圆心的距离

成正比，方向垂直于半径，并与扭矩绕向一致。剪切胡克定律2.物理关系O说明：横截面上任意一点的切应力与它到圆心●切应力的分布规律：①实心圆截面②空心圆截面T

max

minT●切应力的分布规律：①实心圆截面②空心圆截面Tmaxmi切应力互等定理T切应力互等定理T3.静力关系——极惯性矩基本变形公式Tr

dA3.静力关系——极惯性矩基本变形公式TrdA●切应力的计算式：——

扭转截面模量(抗扭矩）①等直圆截面、圆环截面杆；②应力不超过剪切比例极限。注意：公式的适用范围T●切应力的计算式：——扭转截面模量(抗扭矩）①等直圆截面D空心圆截面OdrrDdrrOd

二、Ip和Wt的计算实心圆截面D空心圆截面OdrrDdrrOd二、Ip和Wt的计算实心圆

三、强度条件等直圆截面轴强度分析的三类问题：1.校核强度2.设计横截面直径3.计算许用扭矩阶梯圆截面轴三、强度条件等直圆截面轴强度分析的三类问题：1.校核强度

四、圆轴扭转破坏现象

低碳钢:沿横截面断裂，由切应力引起。

铸铁:沿与轴线成45°角左右的斜截面断裂，由拉

应力引起，因为此斜截面上有最大的拉应力。MeMeMeMe四、圆轴扭转破坏现象低碳钢:沿横截面断裂，由切应力引起。§8-5圆轴扭转时的变形·刚度条件一、圆轴扭转时的变形1.相对扭转角jdjgD'TO1O2ababdxDAT

相距为dx的两横截面的相对扭转角为dj§8-5圆轴扭转时的变形·刚度条件一、圆轴扭转时的变形1.

rMeMel

相距为l的两端横截面的相对扭转角j

：对于仅在两端受外力偶矩作用的圆截面轴其中GIp—抗扭刚度。（rad）（°）或者rMeMel相距为l的两端横截面的相对扭转角j：●阶梯轴AMe3Me1BCMe2求A、C两横截面的相对扭转角？注意：Ti要代入符号计算。●阶梯轴AMe3Me1BCMe2求A、C两横截面的相对扭转2.单位扭转角

′单位长度上的扭转角。（rad/m)（°/m)或者2.单位扭转角′单位长度上的扭转角。（rad/m)二、刚度条件1.对于等直圆轴许可单位扭转角，单位:

/m2.对于阶梯轴二、刚度条件1.对于等直圆轴许可单位扭转角，单位:对于精密机械上的轴对于一般传动轴0.5m2mABC思考AC轴是否满足刚度要求？对于精密机械上的轴对于一般传动轴0.5m2mABC思考AC轴一、非圆截面杆扭转时的变形特征翘曲——杆横截面外周线改变原来的形状，且横

截面将不再保持平面。§8-6矩形截面杆的自由扭转一、非圆截面杆扭转时的变形特征翘曲——杆横截面外周线改变原来自由扭转—两端受外力偶作用时，端面可以自由翘曲。

也称为纯扭转。●非圆截面杆的扭转分类：

相邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而没有正应力。MeMe自由扭转—两端受外力偶作用时，端面可以自由翘曲。 约束转动—端面有约束不能自由翘曲。相邻两横截

面的翘曲程度不同，此时横截面上有切

应力，还有正应力。MeMe非圆截面杆的扭转问题只能用弹性力学的方法求解。Me约束转动—端面有约束不能自由翘曲。相邻两横截 二、矩形截面杆的自由扭转矩形截面的切应力分布图：①横截面上周边各点处的切应力方向必与周边相切，且组成切应力。②横截面的四个角点和形心处切应力等于零。③最大切应力发生在长边的中点，短边中点处的切应力

二、矩形截面杆的自由扭转矩形截面的切应力分布图：①横截面上周例3.

如图所示，一直径为d的实心圆轴和另一外径为内径2倍的空心圆轴（外径为d1）受相同的扭矩T作用，为使两根轴的最大切应力相等，问空心圆轴截面的面积应为实心圆轴截面面积的百分之多少？Tdd1d1/2T例3.如图所示，一直径为d的实心圆轴和另一外径为1.实心圆轴的最大切应力2.空心圆轴的最大切应力解:Tdd1d1/2T1.实心圆轴的最大切应力2.空心圆轴的最大切应力解:Td欲使即解得空心圆轴截面面积两圆轴截面面积之比

在同等扭转强度的条件下，空心圆轴截面面积只有实心圆轴截面面积的78.18%，所以空心圆轴较为合理。欲使即解得空心圆轴截面面积两圆轴截面面积之比例4.如图所示，由两种不同材料制成的套管组合圆轴受扭矩T作用。外套管的外半径为r1，切变模量为G1，内圆轴的半径为r2，切变模量为G2，设两层材料的界面紧密结合不会相对错动，求两种材料横截面上的最大切应力。lr1r2TT例4.如图所示，由两种不同材料制成的套管组合圆轴受扭矩T作用由静力关系解:界面不发生错动由轴的变形公式（a）（b）（c）（d）将(c)式代入(b)可得lr1r2TTT1T2由静力关系解:界面不发生错动由轴的变形公式（a）（b）（c）联立求解(a)式和(d)式可得由最大切应力公式有其中联立求解(a)式和(d)式可得由最大切应力公式有其中例5.如图所示传动轴，已知其转速n=200r/min，主动轮2传递的功率为N2=80马力，其余从动轮传递的功率分别为N1=25马力、N3=15马力、N4=30马力及N5=10马力。若材料的许用切应力[

]=20MPa，单位长度容许扭转角[′]=0.5o/m，切变模量G=82GPa，试确定此轴的直径。12345Me1Me2Me3Me4Me5ⅠⅡⅢⅣ例5.如图所示传动轴，已知其转速n=200r/mi1.计算外力偶矩解:n=200r/min，N1=25马力、N2=80马力、N3=15马力、N4=30马力、N5=10马力1.计算外力偶矩解:n=200r/min，N1=25马力123450.881.931.40.352.画扭矩图，找出最大扭矩。位于II段上T(kN·m)Me1=0.88Me2=2.81Me3=0.53Me4=1.05Me5=0.3512345ⅠⅡⅢⅣ123450.881.931.40.352.画扭矩图，找3.根据强度条件设计轴的直径即圆轴的直径不得小于78.9mm。

根据强度条件和刚度条件，圆轴的最小直径为78.9mm，取79.0mm。4.校核其刚度：3.根据强度条件设计轴的直径即圆轴的直径不得小于78.9m3.根据强度条件设计轴的直径即圆轴的直径不得小于78.9mm。

根据强度条件和刚度条件，圆轴的最小直径为78.9mm，取79.0mm。4.根据刚度条件设计轴的直径3.根据强度条件设计轴的直径即圆轴的直径不得小于78.9m例6.已知：P＝7.5kW,n=100r/min,

空心圆轴的内外径之比

=0.5。许用切应力＝40MPa。求:实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。例6.已知：P＝7.5kW,n=100r/min,解：PT=Me=9549n7.5=9549

100T=716.2N·m

max=Wt116TT=

d13=40MPa=45mm