第二章 数值变量的描述性统计

第二章描述性统计《医学统计学》余松林主编所谓描述性统计分析，就是对一组数据的各种特征进行分析，以便于描述测量样本的各种特征及其所代表的总体的特征。描述性统计分析的项目很多，常用的如平均数、标准差、中位数、频数分布、正态或偏态程度等等。这些分析是复杂统计分析的基础。平均数、标准误中位数、众数、全距标准差、方差四分位、十分位、百分位数频数分布、峰度、偏度平均数、标准误返回本章首页基本的描述性统计量中位数、众数、全距返回本章首页标准差、方差返回本章首页严格地讲，在方差和标准差的计算中，分母应取n-1，因为数据变异的自由度是n-1。但在大样本情况下，使用n和n-1差别不大。四分位、十分位、百分位数返回本章首页频数分布、峰度、偏度频数（Frequency)就是一个变量的各个观测值出现的次数。比如某班语文考试的成绩，可以统计出各分数值的人数。峰度（Kurtosis):是描述某变量所有取值的分布形态陡缓程度的统计量，而峰度对陡缓程度的度量是与正态分布进行比较的结果。如果峰度等于0，其数据分布的陡缓程度与正态分布相同；峰度大于0，其数据分布比正态分布更陡峭；峰度小于0，其数据分布比正态分布更平坦。返回本章首页偏度（Skewness)是描述数据分布对称性的统计量，而且也是与正态分布的对称性相比较而得到的。如果分布的偏度等于0，则其数据分布的对称性与正态分布相同；如果偏度大于0，则其分布为正偏或右偏，即在峰的右边有大的偏差值，使右边出现一个拖得较远的尾巴；如果偏度小于0，则为负偏或左偏，即在峰的左边有大的偏差值，使左边出现一个拖得较远的尾巴。返回本章首页表格法主要有：频数分布表和频率分布表图形法主要有：直方图第一节表格法和图形法一、频数分布表常用来反映各变量取值及其相应频数之间的关系。研究资料的频数分布类型是选择合适的统计指标进行统计描述的基础。频数分布表2-1130名健康成年男子脉搏数（次/分）编号脉搏数编号脉搏数编号脉搏数175…………2761058412377372106661246446910770125705661087312666672109601276975711076128738681118212978…………13076（1）求极差（range）：即最大值与最小值之差，又称为全距。本例极差：R=84－57=27（次/分）（2）决定组数、组段和组距：根据研究目的和样本含量n确定。组距=极差/组数，通常分8-15个组，为方便计，组距参考极差的十分之一,再略加调整。本例i=R/10=27/10=2.7≈3。（3）列出组段：第一组段的下限略小于最小值，最后一个组段上限必须包含最大值，其它组段上限值忽略。（4）列表划记：用划记法将所有数据归纳到各组段，得到各组段的频数。1.频数分布表的制作步骤表2-2130名健康成年男子脉搏（次/分）的频数分布表脉搏组段(1)划记(2)频数(3)相对频数(%)(4)=(3)/N累积频数(5)=(3)↓累积相对频数(%)(6)=(5)/N56～┳21.5421.5459～

正53.8575.3862～正正┳129.231914.6265～

正正正1511.543426.1568～正正正正正2519.235945.3871～正正正正正一2620.008565.3874～正正正1914.6210480.0077～正正正1511.5411991.5480～

正正107.6912999.2383～85一10.77130100.00合计130直方图第二节数值方法表示中心位置的数值算术平均数几何平均数中位数众数调和均数平均数的计算方法直接法：当观察例数不多（如样本含量n小于30）时，或观察例数虽然很多，但有计算机及统计软件，均可选择。加权法：适用于频数表资料。当观察例数很多又缺乏计算机及统计软件时，若用直接法很容易出错，可选择。1.算术平均数直接法：(式2-1)加权法：(式2-2)Σ为求和符号，读成sigma2.中位数

中位数是将一批数据从小至大排列后位次居中的数据值，符号为Md，反映一批观察值在位次上的平均水平。

中位数的计算直接法：加权法：例2-5：测定了107例正常人的尿铅含量，见表2-4，试根据分布计算集中趋势指标。表2-4107例正常人的尿铅含量（μg/L）的中位数计算表尿铅含量(组段)(j)频数(fj)累积频数↓∑fj相对频数(%)fj/n累积相对频数(%)∑fj/n0～141413.0813.084～223620.5633.648～296527.1060.7512～188316.8277.5716～159814.0291.5920～61045.6197.2024～11050.9398.1328～21071.87100.00合计107100.00三、几何均数适用条件： （1）当一组观察值不呈正态分布、且其差距较大时，若用均数表示其平均水平会受少数特大或特小值的影响； （2）数值按大小顺序排列后，各观察值呈倍数关系或近似倍数关系； （3）对数正态分布资料。（如：抗体的滴度、药物的效价等）计算方法：直接法：加权法：例2-7：有50人的血清抗体效价，分别为：5人1:10，9人1:20，20人1:40，10人1:80，6人1:160，求平均抗体效价。解：将抗体效价的倒数直接代入上式，得：所以，50人的血清平均抗体效价为1:41.70。四、众数众数是一组观察值中出现频率最高的那个观察值；若为分组资料，众数则是出现频率最高的那个组段。表示离散程度的数值全距百分位数四分位数间距方差标准差变异系数1.全距极差R=Xmax-Xmin频数表资料的百分位数表2-4107例正常人的尿铅含量（μg/L）的中位数计算表尿铅含量(组段)(j)频数(fj)累积频数↓∑fj相对频数(%)fj/n累积相对频数(%)∑fj/n0～141413.0813.084～223620.5633.648～296527.1060.7512～188316.8277.5716～159814.0291.5920～61045.6197.2024～11050.9398.1328～21071.87100.00合计107100.002.方差总体方差在样本中，μ未知，常用替代，样本方差为什么要除以（n－1） 与自由度（degreesoffreedom）有关。自由度是数学名词，在统计学中，n个数据如不受任何条件的限制，则n个数据可取任意值，称为有n个自由度。若受到k个条件的限制，就只有（n－k）个自由度了。计算标准差时，n个变量值本身有n个自由度。但受到样本均数的限制，任何一个“离均差”均可以用另外的（n－1）个“离均差”表示，所以只有（n－1）个独立的“离均差”。因此只有（n－1）个自由度。

3.标准差即方差的正平方根；其单位与原变量X的单位相同。例2-10：利用表2-3中的数据和频数表法计算标准差。表2-3130名健康成年男子脉搏（次/分）的均数、标准差计算表脉搏组段(i)组中值(xi)频数(fi)fixifixi256～572114649859～

6053001800062～63127564762865～

66159906534068～6925172511902571～7226187213478474～7519142510687577～781511709126080～

81108106561083～85841847056合计13092466