函数的表示法

求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.求函数解析式问题(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x).

利用换元法、配凑法求函数解析式时要注意新元的取值范围，即所求函数的定义域.【例1】已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9，求f(x).【审题指导】本题已知函数类型，故可用待定系数法求解.即设出函数关系式，代入已知条件，建立关于x的恒等式求解.【规范解答】由题意，设函数为f(x)=ax+b(a≠0),∵3f(x+1)-f(x)=2x+9,∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,即2ax+3a+2b=2x+9,由恒等式性质，得∴a=1,b=3.∴所求函数解析式为f(x)=x+3.【变式训练】已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=0,f(x+1)-f(x)=2x，求f(x)的解析式.【解析】由题意，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=0,∴c=0,又∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x,即2ax+a+b=2x,∴a=1,b=-1,从而f(x)=x2-x.【例2】(2011·大连高一检测)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式.【审题指导】解决此类题型的方法多为换元法，解题过程中要注意换元的准确性.【规范解答】设x+1=t,则x=t-1,f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1,即f(t)=t2+2t-2.∴所求函数为f(x)=x2+2x-2.【变式训练】设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)等于()(A)2x+1 (B)2x-1(C)2x-3 (D)2x+7【解析】选B.由已知得g(x+2)=2x+3,令x+2=t,∴x=t-2,∴g(t)=2(t-2)+3=2t-1,∴g(x)=2x-1.

作函数图象时应注意的事项：(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.函数图象的作法及应用【例3】作出下列函数的图象:(1)y=1-x,x∈Z;(2)y=;(3)y=x2-4x+3,x∈［1,3］.【审题指导】(1)函数的定义域是整数集，因此函数图象是一些点；(2)函数是反比例函数;(3)函数定义域是［1,3］，只需画出二次函数在区间［1,3］上的图象即可.【规范解答】(1)因为x∈Z，所以图象为一条直线上的孤立点，如图1所示;(2)y=为反比例函数，其图象如图2所示；(3)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=1，3时，y=0；当x=2时，y=-1，其图象如图3所示.【互动探究】你能求出上述几个函数的值域吗？【解析】结合上述几个函数的图象可得，(1)值域为{y|y∈Z};(2)值域为(-∞,0)∪(0,+∞).(3)值域为［-1,0］.【例】若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为()(A)2 (B)1(C)-1 (D)无最大值【审题指导】此类问题求解可采用数形结合的方法，画出图象，由图象观察求解.【规范解答】选B.在同一坐标系中画出函数y=2-x2,y=x的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图象，∴x=1时，f(x)max=1.【变式备选】已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为______.【解析】观察图象，0<x≤2,利用待定系数法，求出解析式；当0<x≤2时，f(x)=-x.答案：f(x)=-x,x∈(0,2］【典例】已知g(x-1)=2x+6，则g(3)=______.【审题指导】此类问题的解答，可先求出函数解析式，再求值，或直接在原式中构造出g(3)来求值.【规范解答】方法一：∵g(x-1)=2x+6,令x-1=t,则x=t+1,∴g(t)=2(t+1)+6=2t+8，即g(x)=2x+8，∴g(3)=2×3+8=14.方法二：∵g(x-1)=2x+6,∴g(3)=g(4-1)=2×4+6=14.答案：14【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】若g(x+1)=2x-2，g(x)=4，则x的值为______.【解析】令x+1=t,则x=t-1,∴g(t)=2(t-1)-2=2t-4,∴g(x)=2x-4,∴2x-4=4,∴x=4.答案：41.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x=1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以是()(A)f(x)=x2-1(B)f(x)=-(x-1)2+1(C)f(x)=(x-1)2+1(D)f(x)=(x-1)2-1【解析】选D.由题意设f(x)=a(x-1)2+b(a＞0),由于点(0,0)在图象上，所以a+b=0,a=-b，故符合条件的是D.2.已知函数f(x)由下表给出，则f(2)等于()(A)1 (B)2(C)3 (D)不存在【解析】选B.本题实际上是用列表法表示的函数，由表可知，当x=2时，f(2)=2.3.已知f(x-1)=(x-1)2，则f(x)的解析式为______.【解析】∵f(x-1)=(x-1)2,∴f(x)=x2.答案：f(x)=x24.已知一次函数f(x)=ax+b的图象经过点A(0,-1)，B(1,1)，则f(x)=______.【解析】∵图象经过点A(0,-1),B(1,1),∴b=-1,a=2,即f(x)=2x-1.答案：2x-15.已知f(x)=x+a,(1)求f(x-1);(2)若f(x-1)=x+2,求a的值.【解析】(1)f(x-1)=x-1+a.(2)∵f(x-1)=x+2=x-1+a,∴a-1=2,∴a=3.一、选择题(每小题4分，共16分)1.已知f(x)是反比例函数，且f(-3)=-1，则f(x)的解析式为()(A)-(B)(C)3x(D)-3x【解析】选B.设f(x)=(k≠0),由f(-3)=-1,得k=3,∴f(x)=.2.(2011·北京高一检测)已知f(x-1)=x2，则f(x)的解析式为()(A)f(x)=x2+2x+1(B)f(x)=x2-2x+1(C)f(x)=x2+2x-1(D)f(x)=x2-2x-1【解析】选A.令x-1=t，则x=t+1,∴f(t)=(t+1)2=t2+2t+1,∴f(x)=x2+2x+1.【解析】选C.令=t(t≠0)，则x=,∴f(t)=，(t≠-1，且t≠0)即f(x)=(x≠-1且x≠0).4.已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=4，则f(1)=()(A)-2(B)1(C)0.5(D)2【解析】选D.在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，则f(2)=f(1)+f(1)=4,∴f(1)=2.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2011·本溪高一检测)某工厂8年来某产品总产量y与时间t(年)的函数关系如图，则:①前3年总产量增长速度越来越快;②前3年总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变.以上说法中正确的是__________.【解析】从图象看，前三年总产量增长速度越来越快，从第三年开始，总产量不变，说明这种产品已经停产.故①③正确.答案：①③

【误区警示】初学者对函数图象认知较陌生，易对坐标轴表示的含义理解不到位而致错，如本题易错填②④.6.已知f(x)+2f()=3x，则f(x)的解析式_________.【解题提示】以代替x，建立方程组求解.【解析】将f(x)+2f()=3x①中x和互换，得f()+2f(x)=②,由①②解得f(x)=-x(x≠0).答案：f(x)=-x(x≠0)

【方法技巧】消元法的应用若所给函数的解析式中含有f(x),f(),f(-x)等形式，可将式子中的x用,-x等去代换，得到另一个方程，再通过解方程组得到f(x)，此种方法称为消元法，体现了方程的思想.三、解答题(每小题8分，共16分)7.(2011·开原高一检测)已知f(x)是一次函数并且f(f(x))=4x+6，试求f(x)的解析式.【解题提示】此类问题求解时，关键是弄清f(f(x))的含义，设出f(x)的解析式，再用待定系数法求解.【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b,∴a2x+ab+b=4x+6,∴a2=4,ab+b=6,解得a=2,b=2或a=-2,b=-6.∴f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6.8.已知某人某年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元；从2月份起每月的收入是其上一个月的2倍，用表格、图象、解析式三种形式表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系，并指出函数的定义域、值域、对应关系.【解析】依题意，该人1～6月份的月经济收入分别是：1000元，2000元，4000元，8000元，16000元，32000元.该人1～6月份的月经济收入y元与月份序号x的函数关系及定义域、值域、对应关系如下：(1)表格形式:(2)图象形式:(3)解析式形式y=1000×2x-1(1≤x≤6,x∈N*)，定义域是{1,2,3,4,5,6},对应关系是x→y=1000×2x-1.∴函数y的值域为{1000,2000,4