含参不等式的解法及恒成立问题 论文

含参不等式的解法及恒成立问题摘不等式恒成立问题都是常见的问题,也是函数中的一个重点、难点。本文针对一些比较常见的含参数不等式的解法及恒成立类型问题,通过实例来说明常见不等一定的参考意义。关键词：含参不等式、分类讨论、恒成立引言：求解含参数的不等式集中了解不等式的基础知识、基本技能，常与分类讨论、数形结合思想相结合，成为各类考试中的重点和难点。一、含参变量不等式的解法1．含参变量的不等式的基本问题类型(1)分类讨论思想，针对参变量在不同区域取值时，求得不等式的解集．(2)量分离，然后将问题化归为函数在某范围内的最值问题求解．2.分类与分类原则集是全集”，即不遗漏．的，不出现重复；(5)如需多次分类，必须逐级进行，不得越级．3、含参数的一元二次不等式的讨论策略例1解关于x的不等式。式与不含参数的一元二次不等式的解题过程实质是一样的，结合二次函数的图象、一元二次不等式分类讨论。解：（1）当a=0时，原不等式的解集为。（2）当a>0时，方程，△=4－4a。①若△>0，即0<a<1时，方程 的两个解为，，所以原不等式的解集为。②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为。③若△<0，即a>1时，原不等式的解集为R。④当时，一定有△>0，方程 两个解为，，且 。原不等式的解集为。总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨论。（2）当含参数的一元二次不等大小，因此需要对解的大小进行比较。（3）当含参数的一元二次不等式的二次讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。4、含参数的绝对值不等式的讨论方法例2解关于x的不等式。错解：。当时，解得。当时，解得。a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，由于aa进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑0≤a<4和a正确解法：当a<0时，得。当时，得①或②。由①解得。由②得 。

≥4两种情况。此时分类可知，若，解得 。若，此不等式无解。综上，当a<0时，原不等式解集为R；当 时 ， 原 不 等 式 解 集 为<x<当 时，原不等式解集为。求解。5、含参数的分式不等式的讨论方法例3已知 ，解不等式。为整式不等式讨论。解：原不等式化为①策略一：分式不等式的最基本形式是，对于任意一个分式不等式，应当首先用移项、通分转化为最基本形式。（1）当a=0时，原不等式为。在①中，分子中x的系数含有字母a，分类讨论就从这里引起。（2）当a≠0时，原不等式化为。 ②对于不等式②，分子中的系数a不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变。当a>0时，原不等式等价于。由于，可解得。也可先确定两根 ，然后直接写出解集。当a<0时，。由由。综上，当a=0时原不等式的解集为。当a>0时，解集为当a<0时，解集为 。杂问题分解为基本问题，就会理清思路，化繁为简，快速解题。二、含参不等式恒成立问题1、例题剖析例1、已知函数f(x)＝ex－kx，x∈R.(1)若k＝e，试确定函数f(x)的单调区间；(2)若k的取值范围．例2、已知函数f(x)＝lnx－ax＋x－1(a∈R)．(1)当a≤f(x)的单调性；(2)设g(x)＝x2－2bx＋4，当ax1∈(0,2)，存在f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．中，a与零的比较成为分类讨论的出发点．第(2)问中，注意等价转换。例3、已知函数f(x)＝2x＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．评注：解决含参变量恒成立的不等式问题的步骤是：①分离变量：即将参变量与主变量分开，分别分布在不等式两侧．h(a)≥f(x)恒成立，只需h(a)≤f(x)恒成立，只需h(a)≤[f(x)]min.形结合求解．2、解题的几种策略策略1分离参数法x例1x的不等式4+x−1−a2+2a>0对x∈（0，+∞）恒成立，x则实数a的取值范围为？x解问题等价于a2−2a+1<x+4x，对x∈（0，+∞）恒成立。设f（x）=x+4，x所以a2−2a+1<=4，所以a2−2a+1<4，解得−1<a<3，所以实数a的取值范围为（−1，3）。

4 4x≥2x∙x评注数，先转化为f（a）≥g（x）在区间D上的最大值（或最小值）问题。策略2更换主元法1例2、已知不等式lnx−

x2+bx+c≤0对任意x∈（0，+∞），b∈2（0，）3 恒成立，求实数c的取值范围。（0，）2评注：当字母参数的范围已知时，求主元的范围，均可变换主元。如已知K∈[m,n],若kx2+kx+1≥0恒成立，构造关于K的一次函数fk的一元一次不等式f（k）≥0在K∈[m,n]上恒成立。策略3数形结合法2例3、设实数a≥1，使得不等式x|x−a|+3≥a对任意的实数x∈[1,2]恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是？2和化归，即把“f（x）<g（x）恒成立”转化为“f（x）的图象在g（x）的图注意关键点、渐近线等关键位置。策略4先变主元，再分离参数x例a+b（x≠∈R.若对于任意的a∈[x1,2],不等式f（x）≤10在[1,1]上恒成立，则b的取值范围是？2 4解关于a的一次函数1a+x+b，因x∈（1,1]时x>x 4的a∈[1,2]，不等式g（a）≤10恒成立，则g（2）≤10，即2+x+b≤10。2 x2 1因此不等式2+x+b≤10b≤10-（,1]上恒x 4 x 4成立，≤所以b 7。4≤（得到一次函数b≤10- 2（x x最终变成常见的恒成立问题。题都是常见的问题,也是函数中的一个重点、难点。教师需要总结分类，从而更中的重点和难点。参考文献[