知识讲解正弦定理基础

a_b_a_b_c

sinAsinBsinC直角三角形中的正弦定理的推导正弦定理编稿：李霞 审稿：张林娟【学习目标】通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；会利用正弦定理解决两类解三角形的问题;（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角;（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.【要点梳理】要点一：学过的三角形知识TOC\o"1-5"\h\z1.AABC中 C（1） 一般约定：AABC中角A、B、C所对的边分别为a、b.c；^^^/\o"CurrentDocument"（2）A+B+C=1800； \ /（3）大边对大角，大角对大边，即B>Cob>c； '等边对等角，等角对等边，即B=Cob=c；（4） 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a+c>b，a-c<b.2.RtAABC中，ZC=900，（1） B+A=900，（2） a2+b2=c2TOC\o"1-5"\h\za b（3） sinA=—，sinB=—，sinC=1；\o"CurrentDocument"c c,b -a -八cosA=—，cosB=—，cosC=0\o"CurrentDocument"c c要点二：正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即:sinAsinBsinC斜三角形中的正弦定理的推导证明:

法一：向量法(1)当AABC为锐角三角形时过A作单位向量j垂直于AC,则AC法一：向量法(1)当AABC为锐角三角形时两边同乘以单位向量j，得j・(AC+CB)=j-AB，Bgpj-AC+j-CB=j-ABB.・.IjI-1ACIcos900+IjI-1CBIcos(90-C)=IjI-1ABIcos(90-A)，・.・j-AC=0，Ij1=1asinC=csinA，sinA同理：若过C作j垂直于CB得:sinBsinC，sinAsinBsinC(2・.・j-AC=0，Ij1=1asinC=csinA，sinA同理：若过C作j垂直于CB得:sinBsinC，sinAsinBsinC(2)当AABC为钝角三角形时设/A>90，过A作单位向量j垂直于向量AC°a同样可证得：志AsinBsinC法二：圆转化法(1)当AABC为锐角三角形时如图，圆O是AABC的外接圆，直径为AD=2R，则/C=/Dc:.sinC=sinD=——2Rc:.2R=——sinC(R为AABC的外接圆半径)同理：2R同理：2R=sinA

b2R=-L-sinBTOC\o"1-5"\h\z•，一 -c故： = = =2R\o"CurrentDocument"sinA sinB sinC(2)当AABC为钝角三角形时如图，sinA=sinE=sinF=-^~2R法三：面积法任意斜AABC中，如图作CH1AB，则CH=ACsinA同理：S=2absinC，S=2acsinB

故S=—absinC=—acsinB=—bcsinANABC 2两边同除以2abc即得:a_b_c

sinAsinBsinC即得:要点诠释:（1） 正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明二上=一^=一三=2R（R为AABC的外接圆半径）；灵活利用正弦定理，还需sinAsinBsinC知道它的几个变式，比如： a:b:c=sinA:sinB:sinC，asinB=bsinA,bsinC=csinB,csinA=asinC等等.要点三：利用正弦定理解三角形一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素任何一个三角形都有六个元素：三边和三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1） 已知两角和一边，求其他两边和一角；（2） 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，然后再进一步求出其他的边和角要点诠释：已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；a<bsinA无解a=bsinA 一解（直角）（1） 若A为锐角时：[.人卜一g命时、bsinA<a<b一解（一锐，一钝）、a>b 一解（锐角）如图：fa<b无解（2） 若A为直角或钝角时：〈[a>b一解（锐角）判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：（1）两角是否相等？（2）三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等？要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解【典型例题】类型一：正弦定理的基本应用【高清课堂：正弦定理例1】例1.已知在AABC中，c=10，A=45，C=30，求a,8和b.【思路点拨】本题考查正弦定理及特殊角的三角函数'值，三角形中边与角的对应关系等。由正弦定理列出边a满足的方程，再根据三角形内角和来确定角B的值。【解析】*=品‘csinA10xsin45a=—■—= =10\‘2，sinCsin30。.・.B=180-(A+C)=105，7csinB10xsin105“.” “\.6+%2 -•b= = =20sin75=20x =5七6+5^2.sinCsin30。 4【总结升华】1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三:【变式1】在AABC中，已知B=750，C=600，c=5，求a、A【答案】A=1800-(B+C)=1800-(750+600)=45。，根据正弦定理茶；=济^60;‘•••a=5r-【变式2】在AABC中，已知sinA:sinB:sinC=1:2:3，求a:b:c【答案】根据正弦定理=二^=~^，得a:b:c=sinA:sinB:sinC=1:2:3.sinAsinBsinC例2.在AABC中，已知a=3寸3,A=60,c=3，求C.【思路点拨】由正弦定理列出角C所满足的方程，求其正弦值，然后根据边的大小关系确定角C的值.【解析】由正弦定理得：会=*，.八csinA3xsin60 1.・.sinC= = =—=—a3捐。2.・・C=30或C=150,•:a>c,°...A<C,，:.C=30.【总结升华】正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。解决此类问题就是根据正弦定理列出方程，从而求出角的三角函数值进而求角，但要注意结合初中所学“大边对大角”定理检验所求结果是否符合题意，避免增解或漏解.举一反三：【高清课堂：正弦定理例3】【变式1】在AABC中，c=\：'6，A=45，a=2，求b和B,C.…、 accsinA萼6xsin45【答案】V—. ，.：sinC=sinAsinCa2 。2V0<C<180，:.C=60或C=120o.:当C=60时，B=75，o7csinBb= 二<6sin75-=履+1；oosinCsin60。.:当C=120时，B=15，7csinBb= o_x-'6sin15p3-1；sinCsin600.：b=%3+1,B=75,C=60或b=、可-1,B=15,C=120.【变式2】在AABC中a=20,b=10兵,A=45,求B和c；oTOC\o"1-5"\h\za 10^2 .八1【答案】V^—=—^，：.sinB=-sin45osinB 2V0<B<180， :B=30或B=150o o o当B=30时，C=105，c=10(*3+1)；o o当B=150时，A+B=195>180(舍去)。o o o【变式3】在AABC中，B=60，a=14,b=7<6,求/A.o .asinB14xsin600*2【答案】由正弦定理，得sinA= = ==-.b 70 2a<b,A<B，即0<A<60o・•・A=45类型三：利用正弦定理判断三角形的形状例3.已知^ABC中,bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C，试判断三角形的形状.【思路点拨】利用正弦定理将边化成角，分析角之间的关系，再利用正弦定理将角化为边，进而判断三角形的形状.【解析】’「bsinB=csinC,由正弦定理得sin2B=sin2C，・.sinB=sinCB=C由sin2A=sin2B+sin2C得a2=b2+c2 三角形为等腰直角三角形.【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。举一反三：【变式1】在AABC中，若a2tanB=b2tanA，试判断AABC的形状.a2 sin2A sin2AsinAcosB【答案】由总=布及已知条件可得：布B=cosAsinB'A,B为三角形的内角，：sinA丰0,sinB丰0，sin2A=sin2B，:,:2A=2B或2A=兀—2B/.A=B或A+B=—，所以AABC为等腰三角形或直角三角形。【变式2】在左ABC中，bcosA=acosB试判断三角形的形状.【答案】利用正弦定理将边转化为角.•/bcosA=acosB又b=2RsinB,a=2RsinA2RsinBcosA=2RsinAcosBsinAcosB-cosAsinB=0sin(A-B)=0V0<A，B<n，.-n<A-B<n二A—B=0即A=B故此三角形是等腰三角形.类型四：利用正弦定理求三角形的面积例4.在AABC中，若B=300，AB=^/3，AC=2，求AABC的面积。【思路点拨】已知三角形两边及其一边的对角，由正弦定理来解题。【解析】根据正弦定理有AB A^ ABsinB<3. = •，.sinC= =——.由已知条件AB>AC,aC>B,则c有两解。sinCsinB AC2当C为锐角时，C=600,A=900,S =-AB-ACsinA=2*3.AABC2当C为钝角时，C=1200,A=300,S =1AB-ACsinA=3AABC2所以，AABC的面积为2舌或、2.【总结升华】S=1absinC=1acsinB=1bcsinA=理^(R为三角形外接圆半径)aabc2 2 2 4R公式中需要知道两边及其夹角，在此题目中需要求出A，而对于A有两种情况，因此该三角形的面积有两解。举一反三：【变式】在左ABC中，已知A=30，a=8,b=8^3，求AABC的面积。b.4得sinB=—sinA，aasinB=工-sin308又8<3・sin30<8<8寸3，即bsinA<a<b，所以三角形的解有两种情况••TOC\o"1-5"\h\zsinB=豆,aB=60或120，aC=90或30，2o o o o:::S=1absinC=1x8x8、*xsin90=32^3或S=1absinC=1x8x8插xsin30=16*2 2 2 2o o故AABC的面积的面积为32寸3或16*3.类型五：正弦定理的综合运用… ，1.