中考数学专题复习全攻略第一节实数及其运算

实数及其运算知识点一：实数的概念及分类（1）按定义分正有理数有理数0有限小数或负有理数无限循环小数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数注意：无理数中，切记“无限不循环”这一本质，四类：（1）开方开不尽的数，如等；（开得尽方的含根号的数属于有理数，如，=-3，它们都属于有理数.）（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+100等；…等，一定要注意后面要带省略号；（4）某些三角函数，如sin30o，tan75等（2）按正、负性分 正实数 实数 0负实数注意：0既不属于正数，也不属于负数.知识点二：实数的相关概念（一）数轴（1）规定了的原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。（2）三要素：数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、长度单位称数轴的三要素，这三者缺一不可。（3）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大注意：1）从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，原点对应零。数轴上的点对应任意实数，包括无理数。2）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。变式练习．在－3，－1，1，3四个数中，比－2小的数是(A)A．－3B．－1C．1D．3（二）.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数a+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等注意：a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.变式练习：.－2的相反数是()A.2B.－2C.eq\f(1,2)D.－eq\f(1,2)【解析】Aa的相反数是－a，因此－2的相反数为－(－2)＝2.．(易错题)A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是(B)（三）.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质|a|=a(a≥0)；|a-b|=a-b(a≥b)-a(a＜0).b-a(a＜b)注意：（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.如：绝对值等于4的是±4（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.[（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.初中阶段认识了3种非负数：eq\o\ac(○,1)（a≥0）eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)|a|变式练习1：3的绝对值是3；|-4|=4；;|0|=0.变式练习2.实数a在数轴上的位置如图所示，则|a－2.5|＝()第2题图A.a－2.5－aC.a＋2.5D.－a【解析】B从数轴可以看出0＜a，所以a－2.5＜0，所以|a－2.5|＝－(a－2.5)＝2.5－a.变式练习3：．数轴上点A、B表示的数分别是5，－3，它们之间的距离可以表示为(D)A．－3＋5B．－3－5C．|－3＋5|D．|－3－5|变式练习4：.实数a在数轴上的位置如图，则|a－3|＝__3－a__．（四）倒数 （1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)即零没有倒数，（2）代数意义：a、b互为倒数ab=1注意：（1）倒数等于它本身的数有±1.（2）分数的倒数：找一个分数的倒数，把分数的分子和分母交换位置。（3）整数的倒数：找一个整数的倒数，把3化成分数，即3/1，再把3/1这个分数的分子和分母交换位置。（4）小数的倒数：找一个小数的倒数，先化成分数，再求分数的倒数。变式练习：.－2的倒数是()A.2B.－2C.eq\f(1,2)D.－eq\f(1,2)【解析】D一个数的倒数等于与这个数乘积为1的数，因此－2的倒数为－eq\f(1,2).知识点三：科学记数法、近似数（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个） 变式练习1：×104；12万用科学记数法表示为1.2×105；3用科学记数法表示为3×10-4.变式练习2：据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客27700000人，将27700000用科学记数法表示为()×107×108×107D.×108【解析】C将一个大数表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，，n为正整数，n的值为原数的整数位数减1，因此n＝8－1＝7，故27700000用科学记数法表示为2.77×107.变式练习3：是指大气中直径小于或等μmm)的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为()A.25×10－7B.2.5×10－6C.0.25×10－5D.×106【解析】B一个将小数表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前0的个数，即a，n＝－6，所以0.0000025＝2.5×10－6.（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 注意：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这是，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。变式练习：3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.知识点四：实数的大小比较（常见方法归纳）（1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小。（2）数轴比较法：：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数作差比较法：设a、b是任意的实数a-b>0a>ba-b=0a=ba-b<0a<b（3）设a、b是正实数（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.变式练习1.如图所示，a与b的大小关系是()a＜bB.a＞bC.a＝bD.b＝2a第1题图【解析】A数轴上原点左边的数表示负数，原点右边的数表示正数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小，故a＜b.变式练习2.在0，2，(－3)0，－5这四个数中，最大的数是()A.0B.2C.(－3)0D.－5【解析】B∵(－3)0＝1，∴－5＜0＜(－3)0＜2，∴最大的数是2.变式练习3下列各数中最小的数是()A.0B.－3C.－eq\r(3)D.1【解析】B根据正数>0>负数，负数相比较，绝对值大的反而小，得－3<－eq\r(3)<0<1.变式练习_1＞0＞-2＞-2.3_.变式练习5．“＜”连接起来是__y＜a＜b＜x__.点拨：∵x＋y＝a＋b，∴y＝a＋b－x，x＝a＋b－y，把y＝a＋b－x代入y－x＜a－b得：a＋b－x－x＜a－b，2b＜2x，b＜x①，把x＝a＋b－y代入y－x＜a－b得：y－(a＋b－y)＜a－b，2y＜2a，y＜a②，∵b＞a③，∴由①②③得：y＜a＜b＜x知识点五：实数的运算（1）加法：1、同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加。2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3、互为相反数的两个数相加得零。4、一个数与零相加，仍得这个数。注意：有理数的加法运算（顺口溜）同号两数来相加，绝对值加不变号。异号相加大减小，大数决定和符号。互为相反数求和，结果是零须记好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。（2）减法：1、有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。2、有理数减法常见的错误：没有顾到结果的符号；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。注意：（1）有理数的减法运算（顺口溜）减正等于加负，减负等于加正。有理数的乘法运算符号法则同号得正异号负，一项为零积是零。（2）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；

（3）乘法：1、两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2、任何数与0相乘都得0。除法：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。注意：1)、除以一个数，等于乘上这个数的倒数；2)、0不能做除数。 变式练习．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__．（4）常见运算1.乘方 、有理数的乘法的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“an”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，乘方的结果叫做幂。（1）几个相同因数的积;负数的偶（奇）次方为正（负）

（2）零次幂a0=_1_(a≠0)（3）负指数幂a-p=1/ap（a≠0，p为整数）变式练习.下列等式正确的是()A.(－1)－3＝1B.(－4)0＝1C.(－2)2×(－2)3＝－26D.(－5)4÷(－5)2＝－52【解析】B逐项分析如下：选项逐项分析正误A(－1)－3＝eq\f(1,（－1）3)＝eq\f(1,－1)＝－1≠1×B(－4)0＝1√C(－2)2×(－2)3＝(－2)2＋3＝(－2)5＝－25≠－26×D(－5)4÷(－5)2＝(－5)4－2＝(－5)2＝52≠－52×2.算术平方根与平方根、若x2=a（a≥0）,则x=.其中是算术平方根.立方根若x3=a,则x=.变式练习：（1）计算：1-2-6=_-7__;(-3)2=__9__;2-1=_1/2_;π0=__1__;(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是_8_,立方根是__4__.（5）有理数的混合运算：1、进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。2、进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算运算律：①加法的交换律a+b=b+a②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使0+a=a+0=a；④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交换律ab=ba；⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c；⑦分配律a(b+c)=ab+ac；在实数范围内，加减乘除（除数不为零）、乘方都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方。有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算。变式练习1.计算：|－3|－(2016＋sin30°)0－(－eq\f(1,2))－1.解：原式＝3－1＋2变式练习2.计算：(eq\r(2011)－1)0＋eq\r(18)sin45°－22.原式＝1＋3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)－4＝1＋3－4＝0.变式练习3.计算：eq\r(9)＋|－4|＋(－1)0－(eq\f(1,2))－1.解：原式＝3＋4＋1－2＝6.