合作对策模型

合作对策模型从事某一活动的各方如能通力合作，常常可以获得更大的总收益（或受到更小的总损失）。本节主要讨论在这种合作中应当如何分配收益（或分摊损失），这一问题如果处理不当，合作显然是无法实现的。先让我们来分析一个具体实例例7

有三个位于某河流同旁的城镇城1、城2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里，则有经验公式：建厂费用C1=730Q0.712（万元）管道费用C2=6.6Q0.51L(万元）已知三城镇的污水量分别为：Q1=5米3/秒，Q2=3米3/秒，Q3=5米3/秒，问：三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？

城一城二城三

38公里

20公里分析本问题中三城镇处理污水可以有五种方案：

(1)每城镇各建一个处理厂（单干）。

(2)城1,城2合建一个,城3单独建一个(1、2城合作建于城2处)。

(3)城2,城3合建一个,城1单独建一个(2、3城合作建于城3处)。

(4)城3,城1合建一个,城2单独建一个(1、3城合作建于城3处)。

(5)三城合建一个污水处理厂（建于城3处）城一城二城三

38公里

20公里

容易计算：方案总投资(：万元)

1

6200

2

5800

3

5950

4

6230

5

5560以三城合作总投资为最少费用怎么分摊呢？建厂费用按三城污水量之比5：3：5分摊，管道是为城1、城2建的，应由两城协商分摊。

城一城二城三

38公里

20公里建厂处同意城3意见，由城2→城3的管道费用可按污水量之比5：3：5分摊，但城1→城2的管道费用应由城1承担。

分摊方案有道理，但得作一番“可行性论证”，

城1的“可行性论证”：联合建厂费：（万元）城1负担：（万元）城1→城2管道费：（万元）全部由城1负担城2→城3管道费：（万元）城1负担：（万元）城1的总负担：约为2457万元城1自己建厂费用：2300万元合作后城1费用增加！差点做了冤大头！！！怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现呢？

N人合作对策模型设有一个n人的集合I={1,2,…,n}，其元素是某一合作的可能参加者。

(1)对于每一子集SI，对应地可以确定一个实数V(S)，此数的实际意义为如果S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为V(S)，十分明显，V(S)是定义于I的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景，还应要求V(S)满足以下性质:

=0（没有人参加合作则合作获利不能实现）对一切满足的S1、S2成立具有这种性质的集合函数V（S）称为I的特征函数。

(2)定义合作结果V（S）的分配为，其中表示第i人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分配，问题归结为找出一个合理的分配原则来，被称为合作对策1953年Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题。首先，他归纳出了几条合理分配原则应当满足的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这些基本性质的合作对策是唯一存在的，从而妥善地解决了问题。是否存在合理分配原则Shapley提出了以下公理：

设V是I上的特征函数，是合作对策，则有公理1合作获利对每人的分配与此人的标号无关。

公理2，即每人分配数的总和等于总获利数。公理3若对所有包含的i的子集S有：V(S-{i})=V(S)，

=0。即若第i人在他参加的任一合作中均不作出任何贡献，则他不应从合作中获利公理4若此n个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即两项合作单独进行时应分配数的和。

利用上述公理可以证明满足公理1~4的是唯一存在的(证明略)存在的公式吗Shapley指出，可按下列公式给出：

(11.1)i=1,…,n

Si是I中包含i的一切子集所成的集合，

|S|表示集合S中的元素个数，而(11.2)

可视为i在合作S中所作的贡献W(|S|)可看作这种贡献的权因子合作的获利真的不少于他单干时的获利吗对每一i∈I，有

求证:证明:|S|=K时，包含i的子集S共有个

即个

故

=1/n

从而

又根据性质，有

故有

城1获利=67+130=197（万元）承担总费用：2300-197=2103（万元）1300670W(|S|)[V(S)-V(S-{I})]1/31/61/61/3W(|S|)3221|S|39004000V(S)-V(S-{I})250000V(S-{I})64004000V(S){1，2，3}{1，3}{1，2}{1}S城一城二城三

38公里

20公里建厂处解决三城镇污水处理问题城1究竟应当承担多少费用首先不难看出：

S1={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}计算出与(11.1)式有关的数据并列成表总投资大于单干总投资，合作不可能实现，合作获利为0

城2和城3应该承担的费用可类似算出我们应该承担的是2103万元！派别在团体中的权重90人的团体由3个派别组成，人数分别为40,30,20人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。虽然3派人数相差很大若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策计算各派别在团体中的权重。团体I={1,2,3}，依次代表3个派别îíì=否则，的成员超过定义特征函数045,1)(ssv优点：公正、合理，有公理化基础。如n个单位治理污染,通常知道第i方单独治理的投资yi

和n方共同治理的投资Y,及第i方不参加时其余n-1方的投资zi

(i=1,2,…n).确定共同治理时各方分担的费用。其它v(s)均不知道,无法用Shapley合作对策求解Shapley合作对策小结若定义特征函数为合作的获利(节约的投资)，则有缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义I={1,2,…n}的所有子集(共2n-1个)的特征函数，实际上常做不到。设只知道无i

参加时n-1方合作的获利全体合作的获利求解合作对策的其他方法例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？（2）协商解11将剩余获利平均分配模型以n-1方合作的获利为下限求解~xi的下限（3）Nash解为现状点（谈判时的威慑点）在此基础上“均匀地”分配全体合作的获利B模型平均分配获利B3）Nash解

2）协商解（4）最小距离解模型第i方的边际效益若令4）最小距离解

2）协商解（5）满意解di~现状点(最低点)ei~理想点(最高点)模型5）基于满意度的解

2）协商解（6）Raiffi

解与协商解x=(5,4,2)比较求解合作对策的6种方法（可分为三类）Shapley合作对策A类B类协商解Nash解最小距离解满意解di~现状,e