专题提升(十四)利用解直角三角形测量物体高度或宽度

专题提升(十四)利用解直角三角形测量物体高度或宽度【经典母题】图Z14－1如图Z14－1，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12′，点C的俯角为43°24′，求这两幢楼的高度．(精确到0.1图Z14－1解：略．【思想方法】利用解直角三角形测物高是常见的考题，通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．【中考变形】图Z14－21．[2016·长沙]如图Z14－2，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°图Z14－2看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为(A)A．160eq\r(3)mB．120eq\r(3)mC．300mD．160eq\r(2)m图Z14－32．[2017·内江]如图Z14－3，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED图Z14－3(结果保留根号)【解析】先求出∠DBE＝30°，∠BDE＝30°，得出BE＝DE，设EC＝x，则BE＝2x，DE＝2x，DC＝3x，BC＝eq\r(3)x，再根据∠DAC＝45°，可得AC＝CD，列出方程求出x的值，即可求出塔ED的高度．解：由题意，得∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°.∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE.设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x，DC＝EC＋DE＝3x，BC＝eq\r(BE2－EC2)＝eq\r(3)x.∵∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝DC.∴eq\r(3)x＋60＝3x，解得x＝30＋10eq\r(3).DE＝2x＝60＋20eq\r(3)，答：塔高约为(60＋20eq\r(3))m.3．[2017·菏泽]如图Z14－4，某小区1号楼与11号楼隔河相望，李明家住在1号楼，他很想知道11号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42m高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮李明计算11号楼的高度CD.图Z14－4中考变形3答图【解析】过点A作AE⊥CD于E，分别在Rt△BCD和Rt△ACE中，利用锐角三角函数用BD可以分别表示CE，CD的长，然后根据CD－CE＝AB，即可求得CD长．解：如答图，过点A作AE⊥CD于E，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)，∴CD＝BD·tan60°＝eq\r(3)BD，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝eq\f(CE,BD)，∴CE＝BD·tan30°＝eq\f(\r(3),3)BD，∴AB＝CD－CE，即eq\r(3)BD－eq\f(\r(3),3)BD＝42，eq\f(2\r(3),3)BD＝42，解得BD＝21eq\r(3)，∴CD＝BD·tan60°＝eq\r(3)BD＝63m.答：11号楼的高度CD为63m.4．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图Z14－5①)，侧面示意图为图②，使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA＝OB＝24cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12cm.图Z14－5(1)求∠CAO′的度数；(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少厘米？(3)如图④，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？解：(1)∵O′C⊥AC，O′C＝12cm，O′A＝OA＝24cm，∴sin∠CAO′＝eq\f(O′C,O′A)＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2)，∴∠CAO′＝30°，中考变形4答图(2)如答图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，中考变形4答图∵∠BOD＝180°－∠AOB＝60°，∴BD＝24·sin60°＝12eq\r(3)(cm)，又∵B′C＝BO＋O′C＝24＋12＝36(cm)，∴B′C－BD＝(36－12eq\r(3))cm；∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36－12eq\r(3))cm；(3)120°－90°＝30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.图Z14－65．[2017·岳阳]某太阳能热水器的横截面示意图如图Z14－6所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80cm，AC＝165图Z14－6(1)求支架CD的长；(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80cm，∴cos30°＝eq\f(CD,80)＝eq\f(\r(3),2)，解得CD＝40eq\r(3)cm；(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165cm，∴tan30°＝eq\f(OC,165)＝eq\f(\r(3),3)，解得OC＝55eq\r(3)cm，∴OA＝2OC＝110eq\r(3)(cm)，OB＝OD＝OC－CD＝55eq\r(3)－40eq\r(3)＝15eq\r(3)(cm)，AB＝OA－OB＝110eq\r(3)－15eq\r(3)＝95eq\r(3)(cm)．6．[2016·泸州]如图Z14－7，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60eq\r(3)m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡比为i＝1∶eq\r(3)的斜坡DB前进30m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈eq\f(4,3)，结果保留根号)图Z14－7中考变形6答图解：如答图，过点B作BN⊥CD于点N，BM⊥AC于点M.在Rt△BDN中，BD＝30m，BN∶ND＝1∶eq\r(3)，∴∠D＝30°.∴BN＝15m，DN＝15eq\r(3)m，∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM＝BN＝15m，BM＝CN＝60eq\r(3)－15eq\r(3)＝45eq\r(3)(m)，在Rt△ABM中，tan∠ABM＝eq\f(AM,BM)≈eq\f(4,3)，∴AM＝60eq\r(3)m，∴AC＝AM＋CM＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15＋60\r(3)))m.7．[2016·海南]如图Z14－8，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4m，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)图Z14－8 中考变形7答题解：(1)在Rt△DCE中，CD＝4m，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，∴DE＝eq\f(1,2)CD＝2(m)；(2)如答图，过点D作DF⊥AB，交AB于点F.∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF＝DF＝x(m)，∵∠DEC＝∠EAF＝∠AFD＝90°，∴四边形DEAF为矩形，∴AF＝DE＝2m，即AB＝(x＋2)m，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴BC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(x＋2,\f(\r(3),2))＝eq\f(2x＋4,\r(3))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)（2x＋4）,3)))m，BD＝eq\r(2)BF＝eq\r(2)xm，DC＝4m，∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理，得2x2＝eq\f(（2x＋4）2,3)＋16，解得x＝4＋4eq\r(3)或4－4eq\r(3)(舍去)，∴AB＝(6＋4eq\r(3))m.【中考预测】某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图Z14－9①，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm.(1)如图②，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；(2)如图③，当∠BAC＝12°时，求AD的长．(结果保留根号，参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈)图Z14－9解：(1)∵∠BAC＝24°，CD⊥AB，∴sin24°＝eq\f(CD,AC)，∴CD＝ACsin24°≈30×＝12(cm)；∴支撑臂CD的长为12c