重庆市南山中学2024届数学八上期末统考试题含解析

重庆市南山中学2024届数学八上期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（）A．40° B．45° C．50° D．60°2．一次函数y=ax+b与y=abx在同一个平面直角坐标系中的图象不可能是()A． B． C． D．3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为()A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米4．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范圈是（）A． B． C．且 D．或5．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（）A． B． C． D．6．下面计算正确的是()A． B．C． D．27．如图，在中，，高BE和CH的交点为O，则∠BOC=（）A．80° B．120° C．100° D．150°8．已知点Q与点P(3，－2)关于x轴对称，那么点Q的坐标为()A．(-3，2) B．(3，2) C．(-3，-2) D．(3，-2)9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，AE、EF为折痕，点C落在AD边上的G处，并且点B落在EG边的H处，若AB=3，∠BAE=30°，则BC边的长为（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，已知，，与交于点，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①、②和③二、填空题(每小题3分,共24分)11．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法，其中记载：“今有木、不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文:“用一根绳子量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还到余尺，问木长多少尺？”设绳长尺，木长尺.可列方程组为__________．12．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，BD＝3，则DE＝_______．13．已知关于x的方程无解，则__________．14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm1．15．计算=________________．16．计算:__________.17．在某次数学测验后，王老师统计了全班50名同学的成绩，其中70分以下的占12%，70～80分的占24%，80～90分的占36%，则90分及90分以上的有__________人．18．如图△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=100°，则∠BOC=____o．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，等腰三角形中，，，AD为底边BC上的高，动点从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为，运动到点停止，设运动时间为，连接BP．(0≤t≤8)（1）求AD的长；（2）设△APB的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得S△APB:S△ABC=1:3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（4）是否存在某一时刻，使得点P在线段AB的垂直平分线上，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（6分）甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？21．（6分）阅读下面的解题过程，求的最小值．解：∵=，而，即最小值是0；∴的最小值是5依照上面解答过程，（1）求的最小值；（2）求的最大值．22．（8分）如图,中,,,,若点从点出发以每秒的速度向点运动,设运动时间为秒.(1)若点恰好在的角平分线上,求出此时的值;(2)若点使得时,求出此时的值.23．（8分）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？24．（8分）如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(15,0),点B的坐标为(6,12),点C的坐标为(0,6),直线AB交y轴于点D,动点P从点C出发沿着y轴正方向以每秒2个单位的速度运动,同时,动点Q从点A出发沿着射线AB以每秒a个单位的速度运动设运动时间为t秒，（1）求直线AB的解析式和CD的长.（2）当△PQD与△BDC全等时,求a的值.（3）记点P关于直线BC的对称点为，连结当t=3,时,求点Q的坐标.25．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴分别交于点A、B，直线交x轴、y轴分别交于点D、C，交直线于点E，（点E不与点B重合），且，（1）求直线的函数表达式；（2）如图②，连接，过点O做交直线与点F，①求证：②直接写出点F的坐标（3）若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当和全等时，直接写出点P的坐标．26．（10分）已知和位置如图所示，，，．（1）试说明：；（2）试说明：．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．【题目详解】连接AC并延长交EF于点M．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选D．【题目点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．2、D【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．【题目详解】当ab＞0，a，b同号，y=abx经过一、三象限，

同正时，y=ax+b过一、三、二象限；

同负时过二、四、三象限，

当ab＜0时，a，b异号，y=abx经过二、四象限

a＜0，b＞0时，y=ax+b过一、二、四象限；

a＞0，b＜0时，y=ax+b过一、三、四象限．

故选D．【题目点拨】此题考查一次函数的图象性质，解题关键在于要掌握它的性质才能灵活解题．3、C【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.【题目详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．【题目点拨】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.4、C【分析】先解分式方程,再根据解是非负数可得不等式,再解不等式可得.【题目详解】方程两边乘以（x-1）得所以因为方程的解是非负数所以,且所以且故选:C【题目点拨】考核知识点:解分式方程.去分母,解分式方程,根据方程的解的情况列出不等式是关键.5、B【分析】同位角是“F”形状的，利用这个判断即可．【题目详解】解：观察A、B、C、D，四个答案，A、C、D都是“F”形状的，而B不是．故选：B【题目点拨】本题考查基本知识，同位角的判断，关键在于理解同位角的定义．6、A【分析】根据二次根式的乘、除法公式和同类二次根式的定义逐一判断即可．【题目详解】解：A．，故本选项正确；B．和不是同类二次根据，不能合并，故本选项错误；C．，故本选项错误；D．2，故本选项错误．故选A．【题目点拨】此题考查的是二次根式的运算，掌握二次根式的乘、除法公式和同类二次根式的定义是解决此题的关键．7、C【分析】在中根据三角形内角和定理求出，然后再次利用三角形内角和定理求出，问题得解.【题目详解】∵BE和CH为的高，∴.∵，∴在中，，在中，，∴故选C.【题目点拨】本题考查三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180°是解题关键.8、B【解题分析】平面直角坐标系中，两点关于x轴对称，则它们横坐标相同，纵坐标互为相反数．【题目详解】点Q与点P（3，-2）关于x轴对称，则Q点坐标为（3，2），故选B．【题目点拨】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．9、A【解题分析】利用三角函数求出直角三角形各边长度，再证明△AEC1和△CC1E是等边三角形，即可求出BC长度。【题目详解】解:连接CC1，如下图所示∵在Rt△ABE中,∠BAE=30，AB=3∴BE=AB×tan30°=1,AE=2,∴∠AEB1=∠AEB=60°由AD∥BC,得∠C1AE=∠AEB=60°∴△AEC1为等边三角形,∴△CC1E也为等边三角形,∴EC=EC1=AE=2∴BC=BE+EC=3所以A选项是正确的【题目点拨】本题考查直角三角形中的边角关系，属于简单题，关键会用直角三角函数求解直角边长。10、D【分析】按照已知图形，证明，得到；证明，证明，得到，即可解决问题；【题目详解】如图所示，在△ABE和△ACF中，，∴，∴，∵，，∴，在△CDE和△BDF中，，∴，∴DC=DB，在△ADC和△ADB中，，∴，∴．综上所述：①②③正确；故选D．【题目点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，准确判断是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解题分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-绳长=1，据此可列方程组求解．【题目详解】设绳长x尺，长木为y尺，依题意得，故答案为：.【题目点拨】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键在于列出方程.12、1【分析】根据角平分线的定义可得∠DBE=∠CBE，然后根据平行线的性质可得∠DEB=∠CBE，从而得出∠DBE=∠DEB，然后根据等角对等边即可得出结论．【题目详解】解：∵BE平分∠ABC，∴∠DBE=∠CBE∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE∴∠DBE=∠DEB∴DE=DB=1故答案为：1．【题目点拨】此题考查的是等腰三角形的判定、平行线的性质和角平分线的定义，掌握等角对等边、平行线的性质和角平分线的定义是解决此题的关键．13、0或1【分析】根据分式方程无解的条件：去分母后所得的整式方程无解或者解这个整式方程的解使原分母为0，分类讨论当a=0时与a≠0时求出答案.【题目详解】解：去分母得：，即：，分情况讨论：①当整式方程无解时，，此时分式方程无解；②当分式方程无解时，即x=2，此时，则，解得：，故当或者时分式方程无解；故答案为：0或1【题目点拨】本题主要考查了分式方程无解的条件：去分母后所得的整式方程无解或者解这个整式方程的解使原分母为0，正确掌握解分式方程的步骤是解题的关键.14、2【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【题目详解】解：如图，∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a1，正方形B的面积=b1，正方形C的面积=c1，正方形D的面积=d1，又∵a1+b1=x1，c1+d1=y1，∴正方形A、B、C、D的面积和=(a1+b1)+(c1+d1)=x1+y1=71=2cm1．故答案为：2．【题目点拨】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解答本题的关键．15、【分析】在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶数次方为正，而奇数次方为负，同时要注意运算顺序，先乘方，后乘除．【题目详解】．故答案是：xy2【题目点拨】本题考查了负整数指数幂的运算，分式的乘除法，分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算．16、【解题分析】直接计算即可得解.【题目详解】解：原式===故答案为.【题目点拨】此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握法则即可解题.17、1【分析】先求出90分及90分以上的频率，然后根据“频数=频率×数据总和”求解．【题目详解】90分及90分以上的频率为：1-12%-24%-36%=28%，

∵全班共有50人，

∴90分及90分以上的人数为：50×28%=1(人)．

故答案为：1．【题目点拨】本题考查了频数和频率的知识，解答本题的关键是掌握频数=频率×数据总和．18、1【分析】根据三角形内角和定理得，再根据角平分线的性质可得，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．【题目详解】∵∠A=100°∴∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O∴∴故答案为：1．【题目点拨】本题考查了角平分线相关的计算题，掌握三角形内角和定理、角平分线的性质是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）8；（2）y＝1﹣3t（0≤t≤8）；（3）存在，；（4）存在，【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．（2）根据y＝S△APB＝S△ABD﹣S△PBD，化简计算即可．（3）由题意S△APB：S△ABC＝1：3，构建方程即可解决问题．（4）由题意点P在线段AB的垂直平分线上，推出PA＝PB，在Rt△PBD中，根据PB2＝PD2+BD2，构建方程即可解决问题．【题目详解】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝DC＝6cm，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，AB＝10cm，BD＝6cm，∴AD＝＝＝8（cm）．（2）y＝S△APB＝S△ABD﹣S△PBD＝×6×8﹣×6×t＝﹣3t+1．∴y＝1﹣3t（0≤t≤8）．（3）∵S△APB：S△ABC＝1：3，∴（1﹣3t）：×12×8＝1：3，解得t＝．∴满足条件的t的值为．（4）由题意点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB，在Rt△PBD中，∵PB2＝PD2+BD2，∴t2＝（8﹣t）2+62，解得t＝．∴满足条件的t的值为．【题目点拨】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．20、甲每小时做24个零件，乙每小时做1个零件．【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x-4）个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做11个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【题目详解】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣4）个零件，根据题意得：，解得：x=24，经检验，x=24是分式方程的解，∴x﹣4=1．答：甲每小时做24个零件，乙每小时做1个零件．【题目点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．21、（1）2019；（2）1．【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；（2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可；【题目详解】（1）∵，∴，∴的最小值为2019；（2），∵，∴，∴，∴的最大值是1.【题目点拨】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式和偶次方的非负性是解题的关键．22、(1)5秒(2)秒【分析】(1)作PD⊥AB于D，依据题意求出∽，设AP为x，用x表示PC，求出x即可.(2)当P在AC上时，作PD⊥AB于D，由题意可得△ABP为等腰三角形PD也是中线，求出AD，根据∽，求出AP即可求出时间t.【题目详解】(1)如图，作PD⊥AB于D，∵点恰好在的角平分线上∴PC=PD∵∴∽∴∵∴设AP为x，PC=根据勾股定理得到解得：x=5∴AP=5∴t=5秒答：若点恰好在的角平分线上，t为5秒.(2)作PD⊥AB于D，∵PB+PC=AC∴PA=PB∴AD=BD=5∵∠A=∠A∠ADP=∠ACB∴∽∴∵,∴∴t=秒答：为秒.【题目点拨】此题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理及相似三角形，熟记概念是解题的关键，重点是分类讨论.23、（1）丰收2号；（2）．【分析】（1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高；（2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可．【题目详解】（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是“丰收2号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是，∴∴所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高．（2）所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．【题目点拨】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．24、（1），14；（2）a的值为5.5或3.25或2.5；（3）.【解题分析】（1）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再令求出点D的坐标，从而可得出CD的长；（2）先利用点坐标求出BD、AD的长，分点P在CD上和点P在CD延长线上，再利用三角形全等的性质求出DP、DQ的长，最后利用线段的和差即可得；（3）如图4（见解析），连结BP，过点Q作，交延长线于点E，先求出CP的长，再根据点B的坐标可推出，然后可求出BP的长，从而可求出，根据点的对称性可得，又根据平行线的性质可得，最后根据等腰三角形的性质、一次函数的性质即可求出答案．【题目详解】（1）设直线AB的解析式为把点代入得解得故直线AB的解析式为令，代入得则点D的坐标为故；（2）①如图1，当点P在CD上时，点P只能与点B是对应点则解得；②如图2，当点P在CD延长线上，并且点P与点B是对应点时则解得；③如图3，当点P在CD延长线上，并且点P与点C是对应点时则解得；综上，a的值为5.5或3.25或2.5；（3）如图4，连结BP，过点Q作，交延长线于点E，与点B的纵坐标相等，即∵点P与点关于直线BC对称是等腰直角三角形，且设，则点Q的坐标为，即将代入得，解得故点Q的坐标为．【题目点拨】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、三角形全等的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，推出是解题关键．25、（1）；（2）①证明见解析；②；（3）点P的坐标为、（-8，-3）、．【分析】（1）先求得A、B的坐标，再根据全等三角形的性质得出C、D的坐标，代入y=kx+b即可求得CD的解析式；（2）①证明△COF≌△AOE（ASA）即可得出OF=OE；②过点F作FG⊥OD．过点E作EH⊥OB，证明△FOG≌△EOH得出GF=HE，OG=OH，再联立两个一次函数即可求得，从而可得F点坐标；（3）分三种情况利用全等三角形的性质和平行线分线段成比