2022-2023学年陕西省延安市高一下学期6月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年陕西省延安市高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算求得复数z，根据复数的几何意义即可确定答案.【详解】因为，所以，故z对应的点为，位于第四象限，故选：D2．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（

）A．16 B．12 C． D．【答案】A【分析】根据斜二测画法分析运算.【详解】在直观图中，，可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为，则另一边长为，所以原图形的周长为．故选：A.3．数据，，，…，的平均数为，方差，则数据，，，…，的标准差为（

）A．6 B．7 C．12 D．36【答案】A【分析】利用方差的性质计算可得答案.【详解】数据，，，…，的方差，则数据，，，…，的方差为，标准差为.故选：A.4．某公司针对新购买的个手机配件的重量随机抽出台进行检测，如图是根据抽样检测后的重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中配件重量的范围是，样本数据分组为、、、、．用样本估计总体，则下列说法错误的是（

）

A．这批配件重量的平均数是（精确到）B．这批配件重量的中位数是在之间C．D．这批配件重量在范围的有个【答案】D【分析】根据频率分布直方图计算出样本的平均数与中位数，可判断A、B选项的正误；利用直方图的面积之和为可计算出的值，可判断C选项的正误；根据频率分布直方图计算出这批配件重量在范围的个数，可判断D选项的正误.【详解】对于C选项，由直方图的面积之和为可得，解得，C选项正确；对于A选项，由频率分布直方图可知，这批配件重量的平均数为（克），A选项正确；对于B选项，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，设中位数为，则，由题意可得，解得，B选项正确；对于D选项，这批配件重量在范围的有个，D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查利用频率分布直方图计算平均数、中位数、参数值以及频数，考查计算能力，属于基础题.5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故选B．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.6．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（

）.A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】设圆台较小底面半径为，则较大底面半径为，利用圆台侧面积为，即可列出关于的方程，也即求出圆台较小底面的半径.【详解】设圆台较小底面半径为，则较大底面半径为，所以原台的侧面积为，解得：，故选：D【点睛】本题主要考查了原台的侧面积公式，属于基础题.7．如图，在正方形中，分别为边的中点，若，则（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根据向量线性运算法则，结合题意即可求解【详解】因为在正方形中，分别为边的中点，所以，所以，所以，故选：C8．有一个正三棱柱形状的石料，该石料的底面边长为6．若该石料最多可打磨成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出柱形石料的高，利用柱体体积减去四个球体体积可得结果.【详解】设底面是边长为的等边三角形的内切圆的半径为，由等面积法可得，解得，若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则该柱形石料的高至少为，因此，至少需要打磨掉的石料废料的体积为.故选：B.二、多选题9．已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位），则（

）A．该组数据的众数为13 B．该组数据的中位数为13C．该组数据的第70百分位数为16 D．该组数据的极差为15【答案】ABD【分析】根据数据的众数、中位数、百分位数以及极差的概念，一一计算，判断各选项，即得答案.【详解】由题意知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位），其中出现次数最多的为13，故该组数据的众数为13，A正确；将该组数据从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，故中位数为13，B正确；由于，故该组数据的第70百分位数为第五个数，是19，故C错误；该组数据的极差为，D正确；故选：ABD10．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则以下结论正确的是（

）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，，则D．若，，则【答案】ACD【分析】B选项必须满足一个平面内两条相交直线平行于另一个平面才能得出两个平面平行，其余选项正确。【详解】两个平面平行，一个平面内的任意直线与另一平面平行，所以A选项正确；B选项必须还要满足相交才能得出，所以B选项错误；，则必存在，因为，所以，，根据线面平行性质可得，，所以，所以C选项正确；，则必存在，因为，所以，所以，所以D选项正确.故选：ACD11．在中，角，，所对的边分别为，，，有如下判断，其中正确的判断是（

）A．若，则B．若，则是等腰三角形C．若为锐角三角形，则D．若，则是钝角三角形【答案】ACD【分析】A：由大角对大边，及正弦定理判定；利用正弦定理及二倍角公式判断B；根据正弦函数的性质及诱导公式判断C；根据余弦定理判断D；【详解】解：对于A：在中，若，则，则，则，故正确；对于B：，，，，或即，为等腰或直角三角形，故不正确．对于C：当为锐角三角形时，，，，可得成立，故正确．对于D：若，则，即，即，即所以，即为钝角，故是钝角三角形,故D正确；故选：ACD.12．已知正四棱台的上底面的边长为，下底面ABCD的边长为，高为，则（

）A．侧棱长为4 B．异面直线与BC所成角为C．二面角的余弦值为 D．与底面ABCD所成角为【答案】AD【分析】根据正四棱台的结构特征及线线角，线面角与面面角的求法逐个选项判断即可.【详解】易得，A选项，设上下底面的中心分别为，O，则四边形为直角梯形．其中，，，所以，A正确；B选项：因为，所以与BC所成角即为与AD所成角，在等腰梯形中，，，，过作于，所以与AD所成角的余弦值为，B错误；C选项：点在底面ABCD的射影为OB的中点，设为E，过E作，垂足为则，，面，，所以平面，所以，则为二面角的平面角．因为，，所以，，C错误；D选项：正四棱台中，与底面ABCD所成角与与底面ABCD所成角相等，由C选项知为与底面ABCD所成角，，得，故D正确．故选：AD.三、填空题13．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为.【答案】150°【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出的值，利用向量夹角公式即可求解.【详解】由，得，即，因为，所以，所以，又，所以向量与的夹角为150°.故答案为：150°14．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为，且．若山高，则BC=m．

【答案】【分析】解直角三角形可得的长，再解，利用余弦定理即可求得答案.【详解】由题意可知，故在中，，则，在中，，则，在中，，则，故答案为：15．如图，用K，，三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，，正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为.【答案】/【分析】根据积事件和对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】因为，同时不能正常工作的概率为，所以，至少有一个正常工作的概率为，所以系统正常工作的概率为，故答案为：四、双空题16．为了解某班学生每周购买书籍的支出情况，利用分层随机抽样的方法抽取了15人进行调查，结果如下表，则估算全班学生每周购买书籍支出的平均数为（元），方差是．人数平均支出/元方差男生9406女生6354【答案】3811.2【分析】根据分层抽样的平均数公式以及方差公式计算，即可得答案.【详解】由题意可得估算全班学生每周购买书籍支出的平均数为（元），方差为，故答案为：38；11.2五、解答题17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．（1）求的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理可得，再用余弦定理求出；（2）由题可求出，根据求出，根据面积公式可求出.【详解】（1），，由正弦定理得，则，；（2）可知，则，，的面积.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，属于基础题.18．我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门。(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）由古典概型的概率公式求解，（2）由概率乘法公式与加法公式求解【详解】（1）用a，b分别表示“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间，∴，设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，则，∴，∴.（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，，，由题意知事件，，相互独立由（1）知.记“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，则易知事件，，两两互斥，根据互斥事件概率加法公式得.19．在直三棱柱中，，，分别为，，的中点．（1）若，证明：；（2）证明：平面．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【分析】（1）转化为证明平面；（2）取的中点，连接，，，转化为证明平面平面.【详解】（1）因为平面，所以，又，且，所以平面，因为平面，所以.（2）取的中点，连接，，，因为分别为的中点，所以.因为，，所以，又因为，，所以，所以四边形是平行四边形，则，因为，，所以平面平面.又平面，所以平面.20．如图1，已知等边三角形ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且，．如图2，将△AMN沿MN折起到的位置，连接，．(1)求证：平面平面BCNM；(2)若，在线段上是否存在一点P，使三棱锥的体积为？若存在，求出的值若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，再利用面面垂直的判定定理证明出平面平面．（2）先证明出平面然后求解三棱锥的体积，说明存在点P满足题目条件．【详解】（1）由已知得，．由余弦定理得，，∴，∴，∴．又∵平面平面，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）∵，由（1）得，，又和是平面内两条相交直线，∴平面.∵平面，∴.∴．∵等边三角形ABC的边长为3，∴等边三角形的高为.∴三棱锥的体积为，∴在线段上存在点P满足题目条件，此时．21．某市环卫局在、两个小区分别随机抽取户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：住户编号小区（分钟）小区（分钟）(1)分别计算、小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；(2)如果两个小区住户均按照户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：①A小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作小时）月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？【答案】(1)（分钟）；；（分钟）；(2)①15元；②64元；③A小区方案惠民力度大，值得进行推广【分析】（1）根据平均数以及方差的计算公式，分别计算，即可得答案；（2）①确定A小区需要的工作人员人数，结合每位工作人员月工资计算，则可得每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费；②求出B小区一月用于垃圾分类至少需要的时间，即可求得需要的专职人员人数，从而可求得每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费；③根据①②的计算结果分析，即可得答案.【详解】（1）由题意得（分钟）；；（分钟）；；（2）①A小区方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用为元，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是元；②小区方案，B小区平均每户每周需要215分钟进行垃圾分类，一月需要分钟，则小区一月平均需要