2020-2021学年江西省南昌三中八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年江西省南昌三中八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≥3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x≠33．（3分）下列运算中正确的是（）A．a5+a5＝2a10 B．3a3•2a2＝6a6 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b24．（3分）满足下列条件的三条线段a、b、c能构成三角形的是（）A．a：b：c＝1：2：3 B．a+b＝4，a+b+c＝9 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a：b：c＝1：1：25．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿它的所有对称轴剪开，把它分成四块，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间阴影部分的面积是（）A．a2﹣b2 B．ab C．（a+b）2 D．（a﹣b）26．（3分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP＝PQ＝QB＝BC，则∠PCQ的度数为（）A．30 B．36 C．45 D．37.57．（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．+＝140 D．﹣140＝8．（3分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项式乘方（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64的展开式中第63项的系数为（）A．2015 B．2016 C．2019 D．2020二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）正常情况下，一个成年人的一根头发大约是0.0000012千克，将0.0000012科学记数法表示应该是．10．（3分）因式分解：2x2﹣4x+2＝．11．（3分）若|m﹣4|+（n+2）2＝0，则nm﹣mn＝．12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝．13．（3分）如果表示3xyz，表示﹣2abcd，则×＝．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，5），B（2，0），在第一象限内的点C，使△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为．三、解答题（本大题共9小题，共58分）15．（6分）解方程（1）；（2）．16．（6分）已知x2+x＝2，求（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）的值．17．（6分）化简：，并从±2，±1，±3中选择一个合适的数求代数式的值．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（2，3），点C的坐标是（0，3）．（1）尺规作图：作出四边形OABC关于y轴对称的图形，并写出点B对应点的坐标．（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小．（不要求写作法，保留作图痕迹）19．（8分）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式：．（2）利用（1）中的结论计算：a+b＝2，ab＝，求a﹣b的值；（3）根据（1）中的结论若x2﹣3x+1＝0，求（x﹣）2的值．20．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，AE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线，AE、BF相交于点M，∠BME＝54°．（1）求∠BCA的度数；（2）若AB＝8，求AC+CE．21．（10分）2020年初武汉爆发新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品．爱民药店库存一批N95和普通医用两种类型口罩，N95口罩进价是普通医用口罩进价的5倍，药店把N95口罩和普通医用口罩在进价基础上分别加价40%、50%作为零售价．某人在爱民药店用84元购买一种口罩，发现买普通医用口罩的数量恰好比买N95口罩的数量4倍还多4个．（1）求两种口罩的进价分别是多少元？（2）随着疫情的进一步恶化，爱民药店的口罩很快被抢购一空．该药店再去厂家进货时发现，由于原材料上涨，N95口罩进价上涨20%，普通医用口罩进价上涨了30%．爱民药店购进这两种口罩共1500个，在零售时，N95口罩保持原售价不变，而普通医用口罩在原售价基础上上调20%，该药店要想在这批口罩全部售出后的利润不少于2000元（不考虑其它因素），则这次至少购进N95口罩多少个？22．（10分）在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．（1）特例感知当∠BPC＝110°时，α＝°，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变（填“大”或“小”）．（2）合作交流当AP等于多少时，△APD≌△BCP，请说明理由．（3）思维拓展在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．23．（14分）已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．

2020-2021学年江西省南昌三中八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≥3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x≠3【解答】解：由题意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，故选：C．3．（3分）下列运算中正确的是（）A．a5+a5＝2a10 B．3a3•2a2＝6a6 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b2【解答】解：（A）a5+a5＝2a5，故A错误；（B）3a3•2a2＝6a5，故B错误；（C）a6÷a2＝a4，故C错误；故选：D．4．（3分）满足下列条件的三条线段a、b、c能构成三角形的是（）A．a：b：c＝1：2：3 B．a+b＝4，a+b+c＝9 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a：b：c＝1：1：2【解答】解：A、设a，b，c分别为1x，2x，3x，则有a+b＝c，不符合三角形任意两边大于第三边，故错误；B、当a+b＝4时，c＝5，4＜5，不符合三角形任意两边大于第三边，故该选项错误；C、当a＝3，b＝4，c＝5时，3+4＞5，故该选项正确；D、设a，b，c分别为x，x，2x，则有a+b＝c，不符合三角形任意两边大于第三边，故错误．故选：C．5．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿它的所有对称轴剪开，把它分成四块，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间阴影部分的面积是（）A．a2﹣b2 B．ab C．（a+b）2 D．（a﹣b）2【解答】解：阴影部分的面积S＝（a+b）2﹣2a•2b＝a2+2ab+b2﹣4ab＝（a﹣b）2，故选：D．6．（3分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP＝PQ＝QB＝BC，则∠PCQ的度数为（）A．30 B．36 C．45 D．37.5【解答】解：在AC上取点D，使QD＝PQ，连接QD、BD，设∠A＝x，则∠QDP＝∠QPD＝2x，∠BQD＝3x，∵DQ＝QB，∴∠QBD＝90°﹣1.5x，∠BDC＝90°﹣0.5x，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣0.5x，∴BD＝BC，∴BD＝BQ＝QD，∴△BDQ为等边三角形，∴∠QBD＝90°﹣1.5x＝60°，故x＝20°，∴∠ABC＝80°，∴∠QCB＝50°，∴∠PCQ＝80°﹣50°＝30°．故选：A．7．（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．+＝140 D．﹣140＝【解答】解：设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：，故选：A．8．（3分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项式乘方（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64的展开式中第63项的系数为（）A．2015 B．2016 C．2019 D．2020【解答】解：根据题意得：（a+b）64的展开式共有65项，其中63项的系数与第三项系数相同，观察可得（a+b）3的第三项系数为3＝1+2，（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3，（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4，（a+b）6的第三项系数为15＝1+2+3+4+5，依次类推，（a+b）n的第三项系数为1+2+3+...+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）64的第三项系数为1+2+3+...+63＝＝2016，则（a+b）64的展开式中第63项的系数为2016．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）正常情况下，一个成年人的一根头发大约是0.0000012千克，将0.0000012科学记数法表示应该是1.2×10﹣6．【解答】解：0.0000012＝1.2×10﹣6．故答案为：1.2×10﹣6．10．（3分）因式分解：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【解答】解：2x2﹣4x+2＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2故答案为2（x﹣1）2．11．（3分）若|m﹣4|+（n+2）2＝0，则nm﹣mn＝24．【解答】解：由题意得，m﹣4＝0，n+2＝0，解得m＝4，n＝﹣2，所以，nm﹣mn＝（﹣2）4﹣4×（﹣2）＝16+8＝24．故答案为：24．12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝125°．【解答】解：由题意可得：AD平分∠CAB，∵∠C＝90°，∠B＝20°，∴∠CAB＝70°，∴∠CAD＝∠BAD＝35°，∴∠ADB＝180°﹣20°﹣35°＝125°．故答案为：125°．13．（3分）如果表示3xyz，表示﹣2abcd，则×＝﹣12m3n4．【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝6mn•（﹣2m2n3）＝﹣12m3n4，故答案为：﹣12m3n414．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，5），B（2，0），在第一象限内的点C，使△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为（7，2）或（5，7）或（，）．【解答】解：如图①，当∠ABC＝90°，AB＝BC时，过点C作CD⊥x轴于点D，∴∠CDB＝∠AOB＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∠ABO+∠CBD＝90°，∴∠OAB＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝5，CD＝OB＝2，∴OD＝OB+BD＝7，∴点C的坐标为（7，2）；如图②，当∠BAC＝90°，AB＝AC时，过点C作CD⊥y轴于点D，同理可证得：△OAB≌△DCA，∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝5，∴OA＝OA+AD＝7，∴点C的坐标为（5，7）；如图③，当∠ACB＝90°，AC＝BC时，过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E．∵∠BCA＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD＝CE＝OE，AD＝BE，∵OA＝OD+AD，OB＝OE﹣BE，∴5＝CE+BE，2＝CE﹣BE，∴CE＝，BE＝，∴点C的坐标为（，）；综上可得：点C的坐标为：（7，2）或（5，7）或（，）．故答案为：（7，2）或（5，7）或（，）．三、解答题（本大题共9小题，共58分）15．（6分）解方程（1）；（2）．【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣1）＝2，解得：x＝，检验：把x＝代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝；（2）去分母得：1+3（x﹣2）＝x﹣1，解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，∴x＝2是增根，分式方程无解．16．（6分）已知x2+x＝2，求（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）的值．【解答】解：（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）＝x2+4x+4﹣x2﹣3x+x2﹣1＝x2+x+3，∵x2+x＝2，∴原式＝2+3＝5．17．（6分）化简：，并从±2，±1，±3中选择一个合适的数求代数式的值．【解答】解：＝•＝•＝，∵x+2≠0，x2﹣9≠0，∴x≠﹣2，x≠±3，∴当x＝1时，原式＝＝．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（2，3），点C的坐标是（0，3）．（1）尺规作图：作出四边形OABC关于y轴对称的图形，并写出点B对应点的坐标．（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小．（不要求写作法，保留作图痕迹）【解答】解：（1）四边形OABC关于y轴对称的图形如图所示；点B的对应点的坐标为（﹣2，3）；（2）如图所示，点P即为所求．19．（8分）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．（2）利用（1）中的结论计算：a+b＝2，ab＝，求a﹣b的值；（3）根据（1）中的结论若x2﹣3x+1＝0，求（x﹣）2的值．【解答】解：（1）根据题意得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）∵a+b＝2，ab＝，∴4﹣（a﹣b）2＝3，即（a﹣b）2＝1，a＞b，则a﹣b＝1；（3）∵x2﹣3x+1＝0，∴x+＝3，代入（x+）2﹣（x﹣）2＝4，得：9﹣（x﹣）2＝4，即（x﹣）2＝5．20．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，AE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线，AE、BF相交于点M，∠BME＝54°．（1）求∠BCA的度数；（2）若AB＝8，求AC+CE．【解答】解：（1）∵BA＝BC，BF是△ABC的中线，∴∠AFB＝90°，∵∠BME＝54°，∴∠BME＝∠AMF＝54°，∴∠MAF＝90°﹣∠AMF＝36°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC＝72°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°，∴∠BCA的度数为72°；（2）∵∠BAC＝∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝36°，∵∠BAE＝∠BAC＝36°，∴∠BAE＝∠ABC＝36°，∴AE＝BE，∵∠AEC＝∠BAE+∠ABE＝72°，∴∠AEC＝∠C＝72°，∴AE＝AC，∴AC＝BE，∵AB＝BC＝8，∴BE+EC＝8，∴AC+CE＝8．21．（10分）2020年初武汉爆发新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品．爱民药店库存一批N95和普通医用两种类型口罩，N95口罩进价是普通医用口罩进价的5倍，药店把N95口罩和普通医用口罩在进价基础上分别加价40%、50%作为零售价．某人在爱民药店用84元购买一种口罩，发现买普通医用口罩的数量恰好比买N95口罩的数量4倍还多4个．（1）求两种口罩的进价分别是多少元？（2）随着疫情的进一步恶化，爱民药店的口罩很快被抢购一空．该药店再去厂家进货时发现，由于原材料上涨，N95口罩进价上涨20%，普通医用口罩进价上涨了30%．爱民药店购进这两种口罩共1500个，在零售时，N95口罩保持原售价不变，而普通医用口罩在原售价基础上上调20%，该药店要想在这批口罩全部售出后的利润不少于2000元（不考虑其它因素），则这次至少购进N95口罩多少个？【解答】解：（1）设普通医用口罩的进价为x元，则N95口罩的进价为5x元，依题意，得：＝4×+4，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，∴5x＝10．答：普通医用口罩的进价为2元，N95口罩的进价为10元．（2）设这次购进N95口罩m个，则购进普通医用口罩（1500﹣m）个，依题意，得：[10×（1+40%）﹣10×（1+20%）]m+[2×（1+50%）×（1+20%）﹣2×（1+30%）]（1500﹣m）≥2000，解得：m≥500．答：这次至少购进N95口罩500个．22．（10分）在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．（1）特例感知当∠BPC＝110°时，α＝40°，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变小（填“大”或“小”）．（2）合作交流当AP等于多少时，△APD≌△BCP，请说明理由．（3）思维拓展在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．【解答】解：（1）当∠BPC＝110°时，α＝40°，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变小．理由如下：∵CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠B＝30°，∴α＝180°﹣110°﹣30°＝40°；故答案为：40，小；（2）当AP＝5时，△ADP≌△BPC，理由如下：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，∴∠A＝∠B＝30°，∵∠APC是△BPC的一个外角，∴∠APC＝∠B+∠α＝30°+∠α，∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+