分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识专讲精研】 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理高一年级—人教A版—数学必修第二册第六章导新知导入

用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？分析:因为大写英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36个不同的号码.

导新知导入从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车或乘轮船.其中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班.那么从甲地到乙地共有多少种不同的方法?分析:从甲地到乙地可以乘火车（4班）、乘汽车（2班）、乘轮船（3班），所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的方法.

导新知导入思考：你能说出上述两个问题有什么共同特征吗？回答：要完成上述两件事情（给座位编号、从甲地到乙地），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）可以独立完成需求.思考：你能举出生活中类似的例子吗？一个班学生站成一排照相，有多少不同的站法.学校食堂打菜，总共5个菜，每人选3个不同的菜，有多少种不同的选择.探究评分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：

每类中的任意一种方法都能独立完成这件事情.N=m+n

种不同的方法探究评(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能独立完成这件事.(

)×√探究评例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学化学医学物理学工程学数学会计学信息技术学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？探究评

解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数

N=5+4=9探究评思考：如果完成一件事有三类不同方案，每类方案中又分别有m,n,k种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？答：N=m+n+k思考：如果完成一件事有n类不同方案.在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？答：N=m1+m2+……+mn探究评用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，...，A9，B1，B2，...的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？思考：该问题与前一个问题有什么区别？答：该问题中，要完成编号，既要有大写英文字母，又要有阿拉伯数字，只有两者同时存在，才能完成座位编号；上一问题中，只要有英文字母或者数字中的一个即可完成座位编号.探究评字母数字得到的号码A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9

解析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54种不同的号码.探究评思考：你能说出上述问题有什么特征吗？答：要完成上述事情，既要找出大写英文字母又要找到阿拉伯数字，然后结合这两步才能将这件事最终完成.探究评完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有

只有各个步骤都完成才算做完这件事情.分步乘法计数原理N=m×n种不同的方法探究评(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

)(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(

)×√探究评例2某班有男生30名，女生24名，从中选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？解：第一步，从30名男生中选出1名，有30种不同选法；第二步，从24名女生中选出1名，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种不同的选法．探究评例3书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?解：从书架上任取1本书，有三种方案：第一种方案从第1层取1本计算机书，有4种方法；第二种方案从第2层取1本文艺书，有3种方法；第三种方案从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，共有4+3+2=9种.探究评(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?解：分3步完成：第1步，从第1层取,1本计算机书，有4种方法；第2步，从第,2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第,3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种.探究评1、完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种 B．4种 C．9种 D．20种2、我校教学楼共有5层，每层均有2个楼梯，由一楼到五楼共有（）种走法A．10种 B．16种 C．25种 D．32种CB探究评3、某公司利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲、乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.544、现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有____

种.180探究评5、现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？答：13×12×9＝1404（种）探究评(3)选两人作为代表,要求这两人来自不同的年级，有多少种不同的选法？答：分三种情况讨论：①若选出的是高一、高二学生，有13×12＝156种情况；②若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况；③若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况；由分类加法原理可得，共有156+117+108＝381种选法.探究评6、（2020全国高三模拟）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示，现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.乘坐站数0<x≤33<x≤66<x≤9票价（元）234探究评（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？答：小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三种选择.如果小华付费2元，小李付费3元，有3+3=6种方案；如果小李付费2元，小华付费3元，也有3+3=6种方案.所以小华、小李下地铁的方案共有6+6=12种.探究评（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的方案共有多少种？答：小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元.①如果小华、小李一人付费2元一人付费4元，且要满足小华比小李先下地铁，只能是小华付费2元（乘坐站数有1，2，3三种方法），小李付费4元（乘坐