广东省东莞市2021-2022学年高二下学期期末数学试

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省东莞市2021-2022学年高二下学期期末数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．从班委会5名同学中选出3名同学担任劳动教育宣讲员，不同的选法种数有（

）A．60种 B．30种 C．20种 D．10种2．下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（

）A．在经验回归方程中，若解释变量增加1个单位，则预测值平均减少0.5个单位B．经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线C．若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1D．若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好3．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，如果已知这个家庭有女孩，那么两个孩子一男一女的概率为（

）A． B． C． D．4．曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率则曲线在点处的曲率为（

）A． B． C． D．15．成对样本数据和的一元线性回归模型是，则下列四幅残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（

）A． B．C． D．6．盒中装有大小完全相同的红球3个，黄球4个，蓝球5个，现从中不放回地随机抽取3个小球，抽到红球每个得3分，黄球每个得2分，蓝球每个得1分，则总得分为5分的概率为（

）A． B． C． D．7．曲线上到直线的距离为的点的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．18．已知的展开式中各项系数和为27，则项的系数为（

）A．3 B．6 C．9 D．15评卷人得分二、多选题9．已知随机变量的分布列如下，则下列选项正确的有（

）0101A． B．C． D．10．有甲、乙两台车床加工同一型号的零件，甲车床加工的优质品率为90%，乙车床加工的优质品率为80%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙两台车床加工的零件数分别占总数的60%、40%.任取一个零件，用事件，分别表示取到的零件来自甲、乙车床，事件表示取到的零件为优质品，则下列选项正确的有（

）A． B．C． D．11．下图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图像，为的导函数，对于任意的，则下列选项正确的有（

）A．B．C．D．存在使得12．已知函数有两个极值点，，则下列选项正确的有（

）A． B．函数有两个零点C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．计算：___________.（用数字作答）14．已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，可以确定的不同点的坐标个数为___________.（用数字作答）15．已知函数满足，则___________.16．对一个零件进行次尺寸测量，以次测量结果的平均值作为该零件尺寸的最后结果.记零件尺寸的最后结果的随机变量为，若，为使零件尺寸的最后结果在内的概率不小于0.9545，则至少需要测量___________次.（若，则）评卷人得分四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目.问题：已知，且__________（只需填序号）.(1)求的值；(2)求展开式中的奇数次幂项的系数之和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学随机抽取了80名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下列联表：性别锻炼合计不经常经常男生202040女生241640合计443680(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生锻炼的经常性；(2)若列联表中的所有样本观测数据都变为原来的10倍，再做第（1）问，得到的结论还一样吗？请说明理由；(3)若从学校所有女生中随机抽取3人，用表示这3人中经常锻炼的人数，用样本频率估计概率，求的分布列及数学期望.附：①，其中.②临界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．已知函数.(1)求函数的单调性；(2)当时，记函数的最小值为，证明：.20．某兴趣小组测量并统计了某树苗连续6周的高度，用两种经验回归函数模型①；②分别进行拟合，得到相应的经验回归方程：，，并进行了残差分析，得到如下表所示数据：（残差=观测值－预测值）日期（周）123456高度（厘米）404552576373模型①的残差12模型②的残差2.63.9(1)求表格中，的值，并根据“残差的绝对值之和越小，模型的拟合效果越好”的原则选出拟合效果更好的经验回归函数模型；(2)兴趣小组发现第6周的数据测量误差较大，决定剔除第6周的数据.请使用前5周的数据计算经验回归函数模型①的经验回归方程，并用该方程预测树苗第7周的高度.参考公式：，.21．某学校有A，B，C三家餐厅，王同学每天晚餐时随机地选择其中一家餐厅用餐，已知他当天晚餐选择去哪家餐厅只与前一天晚餐去的餐厅有关，在前一天晚餐去某家餐厅的情况下，当天晚餐选择哪家餐厅的概率如下表：前一天当天ABCA0.10.60.3B0.40.20.4C0.50.30.2(1)已知王同学第一天晚餐去了A餐厅，则他第三天晚餐去哪家餐厅的可能性最大？餐厅ABC消费金额（元）151020(2)已知王同学在三家餐厅一天晚餐的消费金额如下表所示：求王同学从第一天晚餐去A餐厅开始，前三天的晚餐消费总金额的分布列和期望.22．已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)求证：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【解析】【分析】按照计数原理中组合的方式计算即可.【详解】依题意，有种选法；故选：D.2．A【解析】【分析】根据回归方程的意义，逐项分析理解即可.【详解】对于A，-0.5的含义就是x每增加一个单位，估计值就平均减少0.5个单位，故A正确；对于B，确定回归直线的根据是误差最小，并不是经过的样本点最多，故B错误；对于C，相关有正相关和负相关，共同点是相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C错误；对于D，是描述拟合效果的，越大拟合效果越好，应该是甲的拟合效果更好，故D错误；故选:A.3．D【解析】【分析】首先列出样本空间，再判断出题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.【详解】依题意，用表示男孩，表示女孩，则样本空间且所有的样本点都是等可能的，设“两个小孩的家庭有女孩”，“两个孩子一男一女”，则.故选：D.4．A【解析】【分析】根据曲线的曲率定义，对函数求导得出，再对求导得出，令代入求解即可.【详解】对函数求导，得：，对求导，得，曲线在点处的曲率为：，故选：A.5．B【解析】【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断.【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值.对于A选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变大，故A错；对于C选项，残差与观测时间有线性关系，故C错；对于D选项，残差与观测时间有非线性关系，故D错；对于B选项，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内.故B正确.故选：B.6．B【解析】【分析】根据不放回的抽取规则，要使总得分为分，则需要抽取个蓝球和个红球，或者个蓝球和个黄球，进而求出每种情况的概率即可得到答案.【详解】依题意得，从中不放回地随机抽取3个小球，共有种可能，当抽取个蓝球和个红球时，共有种可能，当抽取个蓝球和个黄球时，共有种可能，总得分为5分的概率为.故选：B.7．C【解析】【分析】设曲线上的点坐标为，根据点到直线的距离公式得出关于的方程式，根据“三个等价”从函数图象的角度得出交点个数，进而得出结论.【详解】设曲线上的点坐标为，点到直线的距离为，即：，化简得：，令，求导得：当时，，单调递增；当时，，单调递减；，又，，使；，使；对于函数，则有：，单调递减；，单调递增；，单调递减；，单调递增；又，与直线有两个交点，曲线上到直线的距离为的点的个数为个.故选：C.8．C【解析】【分析】先由展开式中各项系数和为27，求出，直接求出展开式，得到项的系数.【详解】由题意可得：令x=1可得，解得：.所以原式为.要求项，只需求出展开式中和项.所以的展开式中，项为.故选：C9．AD【解析】【分析】利用分布列分别求出的期望和方差，再进行比较即可.【详解】对于，；；对于，；；，.故选：AD.10．ABD【解析】【分析】根据题意利用条件概率以及全概率公式即可求解.【详解】依题意得：用事件表示取到的零件来自甲车床，则，用事件表示取到的零件来自乙车床，则，，，B正确，C错误；对于A，，解得：，A正确；对于D，利用全概率公式得：，D正确.故选：ABD.11．BD【解析】【分析】根据图中函数的性质，逐项分析即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，由图可知，故B正确；对于C，由于是凸起的，总有，故C错误；对于D，表示的是两点连线的斜率，表示的是在区间存在一点，在该点的切线的斜率，由图可知是显然的，故D正确；故选：BD.12．ACD【解析】【分析】问题化为在上有两个变号零点，讨论参数a研究的单调性，结合零点存在性定理判断区间零点情况，进而求出a的范围，再研究的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数，且可得，最后应用对数均值不等式判断C、D.【详解】由题设，在上有两个变号零点，令，则，若，则，即递增，此时不可能存在两个零点；所以，则时，递增；时，递减；故，而，要存在零点，则，可得，则，此时x趋向于正无穷时趋于负无穷，则在各有一个零点，满足题设，A正确；由上，不妨设，在上，递减；在上，递增，且，所以x趋向于时趋于0，，，故上无零点，上不一定存在零点，B错误；由对数均值不等式，证明如下：令，要证，即证，若，则，故在上递减，所以，即，故得证；令要证，即证，若，则，故在上递增，所以，即，故得证；综上，，故，C正确；且，即，所以，故，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：注意将问题化为在上有两个变号零点求参数范围问题，由此得到的的单调性和零点情况判断的单调性和零点，根据零点得到，利用对数均值不等式求证不等式.13．65【解析】【分析】根据排列数、组合数的运算法则，计算即可得答案.【详解】因为，所以.故答案为：6514．36【解析】【分析】先从三个集合中各取一个元素，计算出所构成的点的总数即可得出答案.【详解】首先取出三个数的方法是，构成不同的坐标的方法，则再乘以，所以共有种方法．故答案为：36.15．【解析】【分析】对求导，再代入进行求解.【详解】因为，所以，则，即.故答案为：16．25【解析】【分析】由正态分布的对称性求解即可【详解】由正态曲线的对称性知：要使零件尺寸的最后结果在内的概率不小于0.9545，则，又所以，即，解得，所以为使零件尺寸的最后结果在内的概率不小于0.9545，则至少需要测量次故答案为：2517．(1)；(2)30.【解析】【分析】（1）根据条件列出方程，即得；（2）利用赋值法即得；或根据通项依次求奇次幂项系数即得.(1)选择条件①：由题得中项为，中项为，所以，即，整理得，由，解得.选择条件②：由，得，解得.选择条件③：令得，即，解得.(2)方法一：由（1）得，令得，令得，两式相减得，所以，所以展开式中的奇数次幂项的系数和为.方法二：由（1）得，由题得中项为，中项为，项为，项为，所以，所以展开式中的奇数次幂项的系数和为.18．(1)不能认为性别因素会影响学生锻炼的经常性；(2)不一样，理由见解析；(3)分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据独立性检验的相关公式代入求出观测值，进而根据临界值表作出判断即可；（2）利用（1）中解题方法代入改变后的数据计算观测值，再根据临界值表做出判断；（3）根据的取值情况列出分布列，利用期望公式求解即可.(1)零假设为性别与锻炼的经常性无关，根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即不能认为性别因素会影响学生锻炼的经常性.(2)由题意得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此可以认为性别因素会影响学生锻炼的经常性，此推断犯错误的概率不大于0.05，得到的结论不一样.(3)由频率估计概率得，在学校女生中随机抽取1个经常运动的女生的概率为，由题得，则，，，，所以的分布列为：所以的期望.19．(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导得，分别讨论和两种情况下的正负，可得的单调性.（2）由（1）可得，令，利用导数求得的单调性和最值，即可得证(1)由题知函数定义域为，求导得，①当时，恒成立，所以在上单调递增；②当时，当时，解得，所以时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.(2)证明：由（1）得的最小值为，设，，则，令，得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，所以.得证.20．(1)，，模型①的经验回归函数模型拟合效果更好(2)，厘米【解析】【分析】（1）利用回归方程可求得，的值，计算模型①②的残差的绝对值之和，比较大小即可得解；（2）利用最小二乘法求得模型①的经验回归方程，进而求解.(1)，所以，，所以，模型①的残差的绝对值之和为，模型②的残差的绝对值之和为，因为，所以模型①的经验回归函数模型拟合效果更好．(2)剔除第6周的数据，得，，，所以，所以所以经验回归方程为，当时，，即预测第7周树苗的高度约为厘米21．(1)王同学第三天选择A餐厅的可能性最大(2)分布列见解析，期望为43.8元【解析】【分析】（1）用，，分别表示第i天王同学选择A，B，C餐厅的概率，则第2天王同学选择A，B，C的概率分别为，，，再求得第3天王同学选择A，B，C的概率，比较即可得答案.（2）王同学从第一天选择A餐厅开始，前三天的选择有：AAA，AAB，AAC，ABA，ABB，ABC，ACA，ACB，ACC共9种，进而可得X的所有取值，分别求得各个取值对应的概率，列出分布列，求得期望，即可得答案.(1)用，，分别表示第i天王同学选择A，B，C餐厅的概率，因为王同学第一天去A，所以第2天王同学选择A，B，C的概率分别为，，，第3天王同学选择A，B，C的概率分别为，，，