2022-2023学年陕西省西安市高一年级下册学期6月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年陕西省西安市高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【答案】A【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A2．设，则A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．设是两个不同平面，是两条直线，下列命题中正确的是（

）A．如果，，，那么B．如果，，，那么C．如果，，，那么D．如果，与所成的角和与所成的角相等，那么【答案】C【分析】A.由，，得到或，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B.由，，得到或，再利用面面垂直的判定定理判断；C.由，，得到，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．【详解】A.因为，，所以或，又，则位置不确定，故错误；B.因为，，所以或，又，所以，故错误；C.因为，，所以，又，所以，故正确；D.如果，与所成的角和与所成的角相等，那么，相交或异面，故错误．故选：C4．2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（

）A．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人B．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人D．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多【答案】D【分析】根据饼状图和条形图提供的数据判断．【详解】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，A正确；由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，B正确；成绩第1-50名的50人中，高一人数为，因此高三最多有32人，C正确；前200名中高一学生有90人，则第51-100名的50人中，高一有27人，一定大于高二人数，D错误．故选：D．5．平面向量与的夹角为，若，则（

）A． B． C．4 D．12【答案】B【分析】确定，计算，得到答案.【详解】，则，，故.故选：B6．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据割补法去求该多面体的体积即可解决.【详解】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为点G，H，连接DG，CH，容易求得，.取AD的中点O，连接GO，易得，则，所以，多面体的体积故选：A7．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.【详解】设正方体的棱长为，连接，，，因为，故或其补角为直线与直线所成角.而，，，故，所以，所以，因为为锐角，故，故选：A.8．如图所示，已知一圆台上底面半径为cm，下底面半径为cm，母线长为cm，其中在上底面上，在下底面上，从的中点处拉一条绳子，绕圆台的侧面转一周达到点，则这条绳子的长度最短为（

）A．cm B．cmC．cm D．cm【答案】C【解析】设，圆心角为，根据扇形的弧长公式建立方程组，解之可得，，再由勾股定理可得选项.【详解】设，圆心角为，则，又，解得，，则，，，故选：C.二、多选题9．已知复数，则（

）A．的共轭复数是 B．对应的点在第二象限C． D．若复数满足，则的最大值是6【答案】ABD【分析】对于选项A，由共轭复数的定义即可判断；对于选项B，先求，再判断对应的点所在的象限；对于选项C，分别求出和即可判断；对于选项D，可用复数模的三角不等式求解，或用复数模的几何意义转化为圆上的点和定点的距离的最值问题来求解.【详解】对于选项A，由复数，得的共轭复数是，故选项A正确.对于选项B，由复数，得，所以对应的点为在第二象限.故选项B正确.对于选项C，，，故选项C错误.对于选项D，解法一：因为，利用复数模的三角不等式得.解法二：如图，因为在复平面上对应的点为，表示在复平面上对应的点到的距离等于，所以表示的点的轨迹为圆心在，半径等于的圆.因为，，所以当对应的点在处时，的最大值为.故选项D正确.故选：ABD10．一组数据的平均值为7，方差为4，记的平均值为a，方差为b，则（

）A．a=7 B．a=11 C．b=12 D．b=9【答案】BD【分析】根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E(X)，D(X)，进而求得平均值a，方差b.【详解】的平均值为7，方差为4，设，，得E(X)=3，D(2X+1)=4D(X)=4，则D(X)=1，的平均值为a，方差为b，a=E(3X+2)=3E(X)+2=11，b=D(3X+2)=9D(X)=9.故选：BD.【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题.11．如图，已知正方体，分别为和的中点，则下列四种说法中正确的是（

）A．B．C．与所成的角为D．与为异面直线【答案】BCD【分析】由异面直线定义可知AD正误；证得平面后，利用线面垂直性质可知B正确；由可知所求角为，由长度关系可得，知C正确.【详解】对于A，平面，，，平面，与是异面直线，A错误；对于B，，，，平面，平面，又平面，，B正确；对于C，，即为异面直线与所成的角，，为等边三角形，，C正确；对于D，，平面，，平面，与为异面直线，D正确.故选：BCD.12．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（

）A．与垂直B．与平行C．与成角D．与是异面直线【答案】AC【分析】由展开图翻折成正方体，根据正方体的性质判断直线间的位置关系．【详解】如图，展开图翻折成的正方体，与分别在正方体平行的两个侧面上，而由与平行且相等，可得是平行四边形，因此有，与相交，因此与是异面直线，故B错误；同理，，因此，故A正确，D错误；或其补角是与所成的角，又是等边三角形，所以，所以与所成的角是，故C正确．故选：AC．三、填空题13．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，三个年级学生人数之比依次为.已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为人.【答案】360【分析】根据高一年级学生所占的比例，求出，得到高三年级抽取的人数．【详解】由已知高一年级抽取的比例为，所以，得，故高三年级抽取的人数为．故答案为：36014．已知夹角为的非零向量满足，，则.【答案】2【分析】由得，化简代入结合数量积的定义即可得出答案.【详解】因为的夹角为，且，而，则，所以，则，解得：.故答案为：2.15．中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为.

【答案】【分析】由线面垂直的性质与判定易证得，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可确定中点即为球的球心，由此可得半径，代入球的表面积公式可求得结果.【详解】由题意可知：球为鳖臑的外接球，面，面，，，又，面，，面，又面，；取中点，连接，

，，同理可知：，点与球的球心重合，球的半径，球的表面积.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，解题关键是能够利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，确定两个具有公共斜边的直角三角形的斜边中点即为球心的位置.16．在二面角中，，，，，且，，若，，二面角的余弦值为，则．

【答案】【分析】过B作，过C作，交于E点，连接ED，找到二面角的平面角，由余弦定理求ED，应用勾股定理求.【详解】过B作，过C作，交于E点，连接ED，如下图示，

∴为二面角的平面角，∵，，二面角的余弦值为，∴，在△中，，∴，而，∴在中，.故答案为：.四、解答题17．已知△的内角，，的对边分别为，，，若．（1）求角．（2）若，求△的面积．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而求角．（2）由余弦定理得求b，再利用三角形面积公式求△的面积．【详解】（1）由正弦定理，，又，，即，由，得.（2）由余弦定理知：，∴，解得，.18．国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图.（1）求直方图中的值：（2）试估计该市居民月均用水量的众数、平均数：（3）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；（4）如果希望的居民月均用水量不超过标准，那么标准定为多少比较合理？【答案】（1）；（2）众数为吨，平均数为吨；（3），理由见解析；（4），理由见解析.【解析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得实数的值；（2）利用最高矩形底边的中点值可求得众数，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数；（3）根据频率分布直方图计算出该市月均用水量不低于吨的居民的占比，再乘以可求得结果；（4）求出月均用水量小于吨和小于吨的百分比，进而可计算得出有的居民每月用水量不超过的标准值.【详解】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为，可得，解得；（2）由图可知，估计该市居民月均用水量的众数为（吨），估计该市居民月均用水量的平均数为（吨）；（3）由频率分布直方图可知，该市月均用水量不低于吨的居民的占比为，据此估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数为；（4）由图可知，月均用水量小于吨的居民人数所占的百分比为，月均用水量低于吨的居民人数所占的百分比为，所以，，由题意可得，解得.【点睛】方法点睛：利用频率分布直方图求解样本数据的众数、平均数、中位数，原则如下：（1）在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；（2）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值；（3）在频率分布直方图中，平均数是频率分布直方图的“重心”，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.19．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【详解】分析：（1）先证,再证，进而完成证明．（2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可．详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．20．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.(1)求圆锥的底面积；(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据展开图扇形的弧长即为底面圆的周长求出底面圆的半径，即可求出圆锥的底面积；（2）设圆柱的高，，根据三角形相似得到，即可表示出圆柱的侧面积，根据二次函数的性质求出面积最大值，即可得解；【详解】（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：设，在半圆⊙A中，，弧长，这是圆锥的底面周长，所以，所以，故圆锥的底面积为；（2）设圆柱的高，，在中，，∽，所以，即，，圆柱侧面积为：，所以，当，时，圆柱的侧面积最大.21．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面⊥底面，且，设E，F分别为，的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面⊥平面；(3)求直线与平面所成角的大小．【答案】(1)详见解