高等材料力学课件第二章应力状态

第二章应力状态研究对象——三维弹性体微分单元体入手超静定问题静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件本章从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和边界条件。目录§2.1

体力和面力§2.2

应力与应力张量§2.3

二维应力状态与平衡微分方程§2.4

应力状态的描述§2.5

边界条件§2.6

主应力与应力主方向§2.7

应力球张量和球应力偏张量§2.1体力和面力物体外力——分为两类体力

面力体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。§2.2应力与应力张量内力——外界因素作用下，物体内部各个部分之间的相互作用力。附加内力应力应力矢量pn随截面的法线方向n的方向改变而变化,又受ΔS方位变化的影响。应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。显然，弹性体内某确定点各个截面的应力矢量——应力状态必然存在一定的关系。应力状态分析——讨论一点截面方位改变引起的应力变化趋势。应力状态对于结构强度是十分重要的。准确描述应力状态，合理的应力参数。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。§2.2应力2应力矢量Pn的分解方法:—直角坐标轴分解

pn=px

i+pyj+pz

k

§2.2应力3——没有工程意义法线

n方向的正应力σn垂直法线

n方向的切应力Շn截面法线确定方向位于截面内，方向不定应力矢量pn与正应力和切应力的关系§2.2应力4应力矢量Pn的分解方法:—沿微分面ΔS的法线和切线方向分解

与结构强度关系密切根据截面方位不能完全确定切应力应力分量——应力矢量在3个坐标轴上的投影应力张量可以描述一点应力状态§2.2应力5应力张量应该注意——应力分量是标量箭头仅是说明方向§2.2应力6§2.3平衡微分方程平衡物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。对于弹性体，必须讨论一点的平衡。微分平行六面体单元x截面,应力分量σ

x

ՇxyՇxzx+dx截面,应力分量§2.5平衡方程2平衡微分方程切应力互等定理

§2.5平衡方程3∑Fx=0∑Mi=0§2.4应力状态如果应力张量能够描述一点的应力状态，则应力张量可以描述其它应力参数；

坐标变换与应力张量关系；

最大应力及其方位的确定。§2.4应力状态2斜截面上的应力斜截面的法线方向矢量为n，它的三个方向余弦分别为l，m和n。

pn

=pxi+py

j+pzk

Fb

=Fbxi+Fby

j+Fbz

kn

=li+mj+nk

设ΔABC的面积为S，则ΔOBC=lS

ΔOCA=mS

ΔOAB=nS

斜截面上的应力§2.4应力状态3公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。当然可以确定正应力s

n与切应力tn。斜截面上的应力§2.4应力状态4应力不仅随位置改变而变化，而且随截面方位改变而变化。同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。讨论应力分量在坐标变换时的变化规律。

§2.4应力状态5应力分量在坐标变换时的变化规律。坐标系仅作平移变换时,同一点的应力不会改变。考虑坐标系旋转的情况.§2.4应力状态6应力分量在坐标变换时的变化规律。斜截面ABC与x'轴垂直，其应力矢量为pn

§2.4应力状态7应力分量在坐标变换时的变化规律。将pn

，即px'向x'

、y'、

z'轴投影§2.4应力状态7应力分量在坐标变换时的变化规律。

应力分量转轴表达式§2.4应力状态7应力分量转轴表达式§2.4应力状态7应力变换公式表明:当坐标轴作转轴变换时,应力分量遵循张量的变换规律.坐标轴旋转后,应力分量的九个分量均有改变,但作为整体所描述的应力状态是不变的.应力张量为二阶对称张量转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。平面应力状态转轴公式——弹性力学以坐标系定义应力分量；材料力学以变形效应定义应力分量。 正应力二者定义没有差异 而切应力定义方向不同§2.4应力状态5§2.5边界条件弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。边界面力已知——面力边界Ss

面力边界条件——确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。面力边界条件§2.5边界条件2§2.5边界条件3面力边界条件描述弹性体表面的平衡，平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。这种平衡只是静力学可能的平衡。真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件。§2.5边界条件4位移边界条件边界位移已知——位移边界Su

位移边界条件就是弹性体表面的变形协调弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等

§2.5边界条件5混合边界条件弹性体边界

S＝Ss＋Su部分边界位移已知——位移边界Su

部分边界面力已知——面力边界Ss不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，任意边界的边界条件数必须等于3个。§2.6主应力与应力主方向转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律结构强度分析需要简化和有效的参数——最大正应力、最大切应力以及方位主应力和主平面——应力状态分析重要参数应力不变量——进一步探讨应力状态主应力和主平面§2.6主应力2

切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。主平面的法线称为应力主轴或者称为应力主方向。主平面上的正应力称为主应力。主应力分析§2.6主应力3ABC为主平面,方向余弦为(l,m,n)主应力Pn=σn=σpx=σl,

py=σm,

pz=σn。

主应力分析关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即§2.6主应力4展开其中：主元之和代数主子式之和应力张量元素构成的行列式主应力特征方程§2.6主应力5应力状态特征方程——确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。I1、I2、