第八章-欧氏空间

第八章欧式空间基础训练题(1);(2),＝、[提示:根据向量内积得定义及向量模得定义易证、]2、在欧氏空间R4中,求一个单位向量与1＝(1,1,0,0),2＝(1,1,－1,－1),3＝(1,－1,1,－1)都正交、解:=、3、设a1,a2,…,an就是n个实数,证明:、证明:令=(1,1,,1),=(|a1|,|a2|,|an|)||·||=、4、试证,欧氏空间中两个向量,正交得充分必要条件就是:对任意得实数t,都有|＋t|||、证明:所以|＋t|||、=0当≠0时,取t0=,5、在欧氏空间R4中,求基{1,2,3,4}得度量矩阵,其中1＝(1,1,1,1),2＝(1,1,1,0),3＝(1,1,0,0),4＝(1,0,0,0)、解:度量矩阵为、6、在欧氏空间R3中,已知基1＝(1,1,1),2＝(1,1,0),3＝(1,0,0)得度量矩阵为B＝求基1＝(1,0,0),2＝(0,1,0),3＝(0,0,1)得度量矩阵、解:度量矩阵为、7、证明1＝,2＝3＝,4＝就是欧氏空间R4得一个规范正交基、[提示:令u=(1,2,3,4),计算uuT即可、]8、设{1,2,3}就是欧氏空间V得一个基,1＝1＋2,且基{1,2,3}得度量矩阵就是A＝、(1)证明1就是一个单位向量;(2)求k,使1与1＝1＋2＋k3正交、证明:(1)111222111112221(2)k=、9、证明,如果{1,2,…,n}就是欧氏空间V得一个规范正交基,n阶实方阵A＝(aij)就是正交矩阵,令(1,2,…,n)＝(1,2,…,n)A,那么{1,2,…,n}就是V得规范正交基、证明:i,j10、设A就是n阶正交矩阵,证明:(1)若detA＝1,则－1就是得一个特征根;(2)若n就是奇数,且detA＝1,则1就是A得一个特征根、证明:(1)det(－I－A)=det(－AAT－A)=detA·det(－AT－A)=detA·det(－I－A)=－det(－I－A)所以det(－I－A)=0,即－1就是得一个特征根、(2)=det(AAT－A)=detA·det(AT－A)=detA·(1)n·det(I－A)=－det(I－A)所以det(I－A)=0,即1就是A得一个特征根、10、证明,n维欧氏空间V得两个正交变换得乘积就是一个正交变换;一个正交变换得逆变换还就是一个正交变换、[提示:根据正交矩阵得乘积就是正交矩阵,正交矩阵得逆矩阵就是正交矩阵,结论易证、]11、证明,两个对称变换得与还就是对称变换、两个对称变换得乘积就是不就是对称变换？找出两个对称变换得乘积就是对称变换得一个充要条件、证明:两个对称变换得与还就是对称变换易证、两个对称变换得乘积不一定就是、例如:令12就是R2得一个规范正交基,分别取R2得两个对称线性变换,使得＝(12),＝(12),可以验证不就是对称变换、两个对称变换得乘积就是对称变换得一个充要条件就是它们可换、12、设就是n维欧氏空间V得一个线性变换,证明,如果满足下列三个条件中得任意两个,那么它必然满足第三个:(1)就是正交变换;(2)就是变换;(3)2＝(就是恒等变换)、[提示:根据就是正交变换当且仅当在一个规范正交基下得矩阵就是正交矩阵,就是对称变换当且仅当在一个规范正交基下得矩阵就是对称矩阵,结论易证、]13、设就是n维欧氏空间V得线性变换,若对于任意,V,有(),＝－,(),则说就是斜对称得、证明(1)斜对称变换关于V得任意规范正交基得矩阵都就是斜对称实矩阵;(2)若线性变换关于V得某一规范正交基得矩阵就是斜对称得,则就是斜对称线性变换、[提示:证明过程与第八章第三节定理8、3、2(p、349)得证明过程完全类似、]14、设就是欧氏空间V到V得一个同构映射,证明,如果{1,2,…,n}就是V得一个规范正交基,则{(1),(2),…,(n)}就是V得一个规范正交基、证明:由(p、253)定理5、5、3可知,{(1),(2),…,(n)}就是V得一个基、由欧氏空间同构映射得定义可知,(i),(j)i,j15、设就是n维欧氏空间V得一个正交变换、证明,如果V得一个子空间W在之下不变,那么W得正交补也在之下不变、证明:因为正交变换就是可逆线性变换,由(p、331)习题七得第13题得结论得:V=、因为,且就是正交变换,所以、由已知条件知,,且可逆,因而从而,即、规范1＝1＋3,2＝21－2＋4、(1)求W得一个规范正交基;(2)求W得一个规范正交基、解:取3=2,4=3,将3,4先正交化,然后规范化后得一个规范正交基:＝＝＝＝则{{W与W得一个规范正交基、17、求齐次线性方程组、得解空间W得一个规范正交基,并求W、解:经计算,得空间W得一个基础解系为1=,2=将1,2扩充为R4得一个基1,2,3=,4=将1,2,、3,4规范正交化后得W得一个规范正交基1=,2=,3=,4=那么{{W与W得一个规范正交基且W=￡(18、已知R4得子空间W得一个基1＝(1,－1,1,－1),2＝(0,1,1,0)求向量＝(1,－3,1,－3)在W上得内射影、解:易求得W得一个基3=(1,0,0,1),4=(－2,－1