集合与函数北京交大

具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该一、集合

集合元素(简称元)(集)元素(element).集合的通常以大写字母等表示集合,以小写字母等表示集合的元素.否则记记作或若a是A的元素,则说a属于A,1.1集合与函数空集.不含任何元素的集合称为1.集合(set)的概念第一页1第二页，共62页。集合分类有限集无限集只含有限个元素;不是有限集的集合.列举法表示集合方法有两种描述法

把集合的全部元素一一列出来,例考察由下列元素0,1,2,3,4,5,6,7,8,9可以用列举法将其表示成列举法有很大的局限性.组成的集合A,外加花括号.1.1集合与函数第二页2第三页，共62页。1.1集合与函数如:由不超过1010的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合,其元素是很多纸张!根本无法一一罗列出来.得用很多时间,不可数的,

更常用的是列出规定这个集合特定性质P就是描述法.花括号中竖线前的x而竖线后是M中元素的通用符号,则是x所具有的性质.

的办法来表示集合,可用列举法表示为的根组成的集合也可用描述法表示为例由方程第三页3第四页，共62页。2.区间(interval)区间是指介于某两个实数之间的全体实数.称为称为这两个实数叫做区间的端点.开区间,闭区间,1.1集合与函数第四页4第五页，共62页。称为有限区间无限区间半开半闭区间.全体实数的集合R也可记作是无限区间.1.1集合与函数第五页5第六页，共62页。3.邻域(neighborhood)

数集即

邻域,

记作几何表示1.1集合与函数第六页6第七页，共62页。

有时简记为去心(空心)

即点a的称为a的称为a的1.1集合与函数第七页7第八页，共62页。4.逻辑符号

在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“”表示“任取”,或“任意给定”.“”表示或“能够找到”.

如实数的阿基米德公理是这样叙述的:任意给定两个正的实数a,b,都存在一个自然数n,用逻辑符号将阿基米德公理改写:Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写Exist(存在)的字头E的倒写练习1.1集合与函数“存在”,“至少存在一个”,第八页8第九页，共62页。二、函数(function)1.1集合与函数

定义设有两个变量x和y,自变量因变量定义域记作变量y的取值的集合称为函数的值域(range),即x的变化域为D,如果对于D中的每一个x值,按照一定的法则f,变量y总有唯一的数值与之对应,则称y为x的函数(function),1.函数概念第九页9第十页，共62页。注(1)

函数的记号:除常用的f外,可任意选取,如相应地,函数可记作:等,等,也可记作:在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时,则必须用不同的记号分别表示这些函数,以示区别.1.1集合与函数第十页10第十一页，共62页。(2)

对应的函数值y总是唯一的,否则称为如是多值函数,它的两个单值分支是:单值函数,多值函数.约定:今后无特别说明时,函数是指单值函数.这种函数称为(3)构成函数的是两个不同的函数.(因为定义域不同).如定义域Df与对应法则f.两个要素:1.1集合与函数第十一页11第十二页，共62页。

函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即简称函数表示法的(4)而与用什么字母无关,无关特性.1.1集合与函数第十二页12第十三页，共62页。定义域一般有两种:(1)自变量所能取的使算式有意义的一切由问题的实际意义所确定.(2)实际问题(几何或物理问题);在纯数学的研究中(函数由一个公式实数组成的集合,这种定义域称为自然定义域.表示的).1.1集合与函数第十三页13第十四页，共62页。例求下列函数的定义域:解定义域是定义域是1.1集合与函数第十四页14第十五页，共62页。常用的函数关系表示法是多种多样的.公式法(解析法);主要有三种形式表格法.各种表示法,都有其优点和不足.

图形法;公式法(解析法)图形法表格法今后以公式法为主,便于进行理论分析和计算;形象直观,富有启发性,便于记忆;便于查找函数值,但它常常是不完全的.也可用语言描述.配合使用图形法和表格法.需特别指出的是,公式法不一定仅用一个公式表示函数.1.1集合与函数第十五页15第十六页，共62页。例某商店对一种商品的售价规定如下:购买量有些函数分段函数.称为函数关系也不同,除了可用一个数学式子表示函数外,随着自变量取不同的值,这种函数不超过5千克时,每千克0.8元;购买量大于5千克而不超过10千克时,若购买x千克的费用记为f(x),

则购买量大于10千克时,超过10千克部分每千克0.4元,元;在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数的情形.其中超过5千克部分优惠价每千克0.61.1集合与函数第十六页16第十七页，共62页。

用分段函数表示函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:即注而不是几个函数!13.练习并画出其图形.1.1集合与函数第十七页17第十八页，共62页。几个今后常引用的函数绝对值函数例

定义域值域1.1集合与函数第十八页18第十九页，共62页。符号函数

定义域值域对例有或1.1集合与函数第十九页19第二十页，共62页。

取整函数如例阶梯曲线

定义域值域表示不超过x的最大整数R=Z1.1集合与函数第二十页20第二十一页，共62页。例狄利克雷(Dirichlet)函数狄利克雷(德)1805-1859(x为有理函数)(x为无理函数)

定义域值域由于有理数和无理数在实数集中稠密,因此只能画出它的象征性的图像.有理数点无理数点1.1集合与函数第二十一页21第二十二页，共62页。例

取最值函数yxoyxo第二十二页第二十三页，共62页。有界性

(bounded)设函数y=

f(x)在区间I上有定义,则说f(x)在区间I上有上界.(下)使得对所有若存在常数A都有(B),3.函数的几种特性1.1集合与函数第二十三页23第二十四页，共62页。

若存在常数使得对所有则称f(x)在I上有界.在I上无界;都有

若这样的M不存在,则称f(x)即为对于任何

总存在使则称f(x)在I上无界.有界无界1.1集合与函数第二十四页24第二十五页，共62页。在定义域上有界的函数叫做例是有界函数;是无界函数,但它在区间在区间

注

一定要把区间明确出来!显然,(boundedfunction)有界函数.有界等同于既有上界又有下界.有下界,有界.

若f(x)在I上有界,不是唯一的.则它在I上的上界和下界均1.1集合与函数第二十五页25第二十六页，共62页。练习A.有上界无下界B.

有下界无上界C.有界,D.

有界且解C[解题提示]将函数取绝对值,然后用不等式放缩法.1.1集合与函数第二十六页26第二十七页，共62页。单调性单调增加;如果对恒有

设函数f(x)的定义域为D,

区间则称函数f(x)在区间I上是1.1集合与函数第二十七页27第二十八页，共62页。

注

应指明单调区间,否则会产生错误.单调减少.如果对恒有monotonedecreasing

设函数f(x)的定义域为D,

区间则称函数f(x)在区间I上是1.1集合与函数第二十八页28第二十九页，共62页。奇偶性偶函数的图形称f(x)为偶函数);

设D关于原点对称,1.1集合与函数第二十九页29第三十页，共62页。奇函数的图形称f(x)为奇函数.

设D关于原点对称,1.1集合与函数第三十页30第三十一页，共62页。奇偶函数的运算性质:(1)两个奇(偶)函数的和仍为奇(偶)函数;(2)两个奇(偶)函数的乘积为偶函数;(3)偶函数与奇函数的乘积为奇函数.练习判别下列函数的奇偶性:奇函数偶函数奇函数的第三十一页第三十二页，共62页。周期性(periodicity)的周期.周期函数(periodfunction).如果存在一个正数T,且总有T称为f(x)通常称周期函数的周期是指最小正周期.周期为T的周期函数设函数f(x)的定义域为D,则称f(x)是1.1集合与函数第三十二页32第三十三页，共62页。4.生成新函数的几种运算(1)设函数f(x),g(x)的定义域分别为D1,D2,则可定义这两个函数的下列运算和(差)积商且线性组合为实数,1.1集合与函数而生成新的函数:第三十三页33第三十四页，共62页。设函数y=f(x)的值域为Y,则称变量x为变量y的函数,记为(2)定义反函数(inversefunction)如果对于Y中任一y值,从关系式y=f(x)中可确定唯一的一个称为函数y=f(x)的反函数,习惯上y=f(x)的反函数记为x值,1.1集合与函数第三十四页34第三十五页，共62页。求反函数的步骤求函数的反函数

y=f-1(x).(1)把x从方程y=f(x)中解出;(2)把刚才所得的表达式中的x与y对换,即得所注意(1)y=f(x)的图形与其反函数

x=f-1(y)的图形y=f(x)的图形与其反函数

y=f-1(x)的图形直线对称.(2)只有一一对应的函数才有反函数.重合;关于

yx1.1集合与函数第三十五页35第三十六页，共62页。

直接函数与反函数的图形直线对称.关于1.1集合与函数第三十六页36第三十七页，共62页。如其反函数为指数函数定义域为值域为写成注并不是所有函数都存在反函数.如函数定义域为值域为但对都有两个和与之对应,x不是y的函数,不存在反函数.并称为对数函数.1.1集合与函数第三十七页37第三十八页，共62页。

定义设函数y=f(u)的定义域为Df,而函数若则称函数u=g(x)的值域为Rg,

y=f[g(x)]为x的复合函数.

x为自变量,

u为中间变量,

y为因变量.1.1集合与函数

也可记作:(3)复合函数第三十八页38第三十九页，共62页。1.1集合与函数(1)

并非任何两个函数都能复合成为复合函数;(2)

复合函数可以由两个以上的函数经过复合注因为不能构成复合函数.的定义域Df是的值域Wg是构成.设函数y=f(u)的定义域为Df,而函数u=g(x)则称函数y=f[g(x)]的值域为Rg,为x的复合函数.第三十九页39第四十页，共62页。

复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),由函数的最外层运算一层层剥到最里边,切不可漏层.如u,v都是中间变量.复合函数的定义域是即而不是的定义域剥皮法1.1集合与函数第四十页40第四十一页，共62页。例解第四十一页第四十二页，共62页。综上所述先外后内法第四十二页第四十三页，共62页。法2（先内后外法）第四十三页第四十四页，共62页。1)

幂函数(powerfunction)

定义域与的取值有关.5.初等函数(elementaryfunction)(basicelementaryfunction)(1)基本初等函数1.1集合与函数第四十四页44第四十五页，共62页。2)指数函数定义域为值域为1.1集合与函数第四十五页45第四十六页，共62页。3)对数函数定义域为值域为1.1集合与函数第四十六页46第四十七页，共62页。4)三角函数正弦函数定义域为值域为1.1集合与函数第四十七页47第四十八页，共62页。余弦函数定义域为值域为1.1集合与函数第四十八页48第四十九页，共62页。正切函数余切函数定义域值域定义域值域1.1集合与函数第四十九页49第五十页，共62页。50三角函数常用公式1.1集合与函数第五十页第五十一页，共62页。5)反三角函数定义域值域

主值反正弦函数反三角函数都是多值函数.但是,可以选取这些函数的单值支.1.1集合与函数第五十一页51第五十二页，共62页。定义域值域

主值反余