变刚度静不定梁的通用力学模型及计算机求解

变刚度静不定梁的通用力学模型及计算机求解

1有限元方法的应用在计算结构强度时，通常包括静梁解的问题。常用的静不定梁求解方法需进行判断静不定度、解除多余约束、选定静定结构、画各跨弯矩图、计算各支承位移等工作,求解过程冗长繁杂,极易出错。若载荷复杂,通过手工准确地进行求解就很困难了。因此,人们寻求能按一定规律便于应用计算机进行运算的程序化计算方法。有限差分法、直写法求解方法比传统方法易于实现计算机处理,但求解过程仍与梁、载荷的具体情形有关,不能建立通用的程序化求解方程;文对不同形式的等截面静不定梁给出了求解的矩阵方程组,但不能作为通用的程序化求解方程,特别是当静不定梁刚度变化时(本文中刚度指抗弯刚度)。对于变刚度梁的变形问题,研究者应用亥维塞函数和广义阶梯函数给出了变刚度梁变形的函数方程。对于复杂载荷变刚度静不定梁的具体求解,目前主要是采用有限元方法。但这需要专用的有限元分析软件,分析过程仍然相当繁杂。本文建立起了一种适应于简支、悬臂、固定端的变刚度静不定梁,在复杂载荷下的通用力学模型。从该模型出发,推导出梁任意截面转角和挠度变形的一般方程,由变形方程得出静不定梁程序化求解的通用矩阵方程组。用MATLAB语言编制了相应的静不定梁求解程序,实际应用效果很好。2静奏梁载荷转化变刚度梁的刚度EI(x)变化形式可归结为两类:按阶梯形变化,如图1(a)所示;按连续曲线变化,如图1(b)所示。工程结构中,梁的刚度按阶梯形变化多见,不过其过渡段的刚度一般按函数曲线变化。对刚度按连续曲线变化的梁或按阶梯形变化梁的过渡段,不便于进行静不定梁程序化求解,需将这种梁的刚度阶梯化。刚度阶梯化即将该段梁分成多段,用阶梯形刚度曲线代替梁原来的连续曲线刚度,如图1(c)所示。图中n为分成的阶梯段数,其大小根据所需精度选取,第i段刚度为:梁上的载荷可归为四类,分别为:集中力矩、集中力、均布力、非均布力。对于非均布的分布力,不便于程序化求解,需将这种载荷转化为集中力。载荷转化示意图如图2所示,n为转化后的集中力个数,其大小根据精度要求选取,转化后的第i个集中力pi大小和作用位置xpi为:梁刚度阶梯化和非均布载荷转化后,建立如图3所示,两端作用有反力偶矩的静不定梁力学模型和x-y直角坐标,坐标原点为梁左端支座。设梁的抗弯刚度沿x方向分成s段等刚度段,中间变刚度截面s-1个。第k段等刚度段抗弯刚度为EIk,其两端的变刚度截面坐标为xk-1、xk。将梁的载荷按等刚度段分类、编号,设第k段内作用有tkm个集中力偶mki,作用位置为xkmi;作用有tkp个集中力pki,作用位置为xkpi;tkq个均布力qki,其作用端位置为xkqi、xkqi+lkqi。静不定梁共有n跨n+1个支座,支座从左至右依次排列为0,1,2,…,n。第i个支座坐标为xRi,它位于第k(i)段内,支座反力为Ri,支座位移为yi。梁两端支座处转角为θ、0θn,作用的反力偶为M、0Mn。根据梁端支承反力偶、转角、支座位移是否为0,可确定该端支承为固定端、悬臂端或简支端,本模型可作为静不定梁求解的一种通用力学模型。3x截面的转角变形方程定义广义阶梯函数:H(x)=(x-a)n,n≥0。当x≤a时,H(x)=0;当x>a时,H(x)=(x-a)n,以下各式中都使用此函数。将上述静不定梁第k段沿x截面截断,选取左段为研究对象。规定力向上为正,力偶顺时钟为正,则根据力偶平衡关系,得梁第k段任一x截面的弯矩方程为:在小变形情况下,梁弯曲变形服从虎克定理。其变分和平衡方程不仅对等刚度梁成立,对变刚度梁也同样成立,故第k段内x截面的转角变形θk(x)和挠度变形yk(x)满足如下微分方程:在第k段内的区间(xk-1,x)上,对式(5)中转角变形微分方程积分得:式中:应用式(6)将静不定梁第1段到第k-1段各段端转角方程排列如下方程组:由于梁同一截面转角变形相同和阶梯函数的定义,有θi(xi-1)=θi-1(xi-1),f1i-1(xi-1)=f1i(xi-1),i=,2,3L,s。注意到x0=0和θ1(x0)=θ0。把上面方程组与式(6)排列一起相加,化简得:定义变刚度梁抗弯刚度函数1/(EDi)=1/(EIi)-1/(EIi+1)代入式(8),得任意x截面的转角变形方程为:将式(6)代入式(5)中的挠度变形微分方程,在第k段内的(xk-1,x)区间上积分并化简得:应用式(12)将静不定梁第1段到第k-1段各段两端挠度方程排列成如下方程组:由于同一截面挠度变形相同,有yi(xi-1)=yi-1(xi-1),i=,2,3L,s;根据阶梯函数的定义,有f2i-1(xi-1)=f2i(xi-1),i=3,2,L,s;并注意到x0=0和y1(x0)=y0。把上面方程组与式(12)排列一起,将各式等号两边分别加起来,化简后得变刚度静不定梁任意x截面的挠度变形方程为:4第i个合成组理论可以证明,任何静不定梁可列出的方程个数与未知数相等,可建立起线性方程组。对如图3所示的s段n跨通用梁模型,定义求解未知向量:X共有n+7个未知数,需建立有n+7个方程的线性方程组,进行联立求解。(1)由梁左端的结构形式,可得2个方程:固定端:y0=y0,θ0=0;悬臂端:M0=0,R0=0(2)同理由梁右端的结构形式,也可得2个方程:固定端:yn=yn,θn=0;悬臂端:Mn=0,Rn=0(3)由变形协调条件y(xRi)-yi=0,i=1,2,…,n,可得到n个方程。由于第i个支座位于第k(i)段内,将式(13)代入变形协调条件得到n个方程如下:(4)由式(9),得右支座端转角方程:(5)由∑Y=0,有:(6)对梁右端求矩,∑M=0,有:将式(14)、(15)、(16)、(17)、(18)、(19)排列,各方程的未知数按求解未知向量X排列,得到n+7个线性方程,写成如下矩阵形式:AX=B。式中A为系数矩阵,B为增广向量,将矩阵A划分为:(1)A11定义为左端结构形式矩阵,矩阵大小为2×4阶,对应左端不同的结构形式A11各元素为:(2)A33定义为右端结构形式矩阵,矩阵大小为2×4阶,对应右端不同的结构形式A33各元素为:(3)A21为(n+)3×4阶矩阵,称为左支承矩阵,它反应了左端支承与梁的作用关系,其各元素为:(3)梁载荷输入及转化:依次输入集中力偶和集中力个数、大小、作用位置,分布载荷段数,对每段输入载荷作用起始位置,载荷值或计算表达式,当载荷为非均布载荷时,进行载荷转化。(4)建立力学模型包括:a)求取各支承所在刚度段数k(i);b)确定各刚度段作用的集中力偶个数tm(i),集中力偶的大小m(ij)及力偶作用位置xm(ij);c)确定各刚度段上作用的集中力个数tp(i)、集中力的大小p(ij)和集中力作用位置xp(ij);d)确定各刚度段作用的均布力个数tq(i)、均布力大小q(ij)、均布力的作用位置xq(ij)和作用长度lq(ij)。(5)计算系数矩阵A和增广向量B,解线性方程组和输出计算结果。6回转窑的计算本文从力学模型研究入手,建立了一种静不定梁求解的通用模型,推导出静不定梁转角和挠度变形的一般方程和程序化求解的通用矩阵,用Matlab语言开发出相应的求解程序。由于采用计算机计算,载荷和刚度转化时的转化精度可完全满足工程应用的要求,求解过程简洁方便、快速准确,适用于任何形式的静不定梁求解,有很强的实用价值。用本方法对一台五挡支承、窑体全长100米的回转窑计算,得到令人满意的计算结果。计算中窑体载荷和刚度转化为54段等刚度,24个集中力和27种均布力。(4)A22为(n+3)×(n-1)(阶矩阵,称为中间支承矩阵,它反应中间支承与梁的作用关系,各元素为:(5)A23为(n+3)×4阶矩阵,称为右支承矩阵,它反应了右端支承与梁的作用关系,其各元素为:(6)向量B共有n+7个元素,其中b1=y0,b2=0,bn+6=0和b=n+7=yn,其余各元素表达式为:5b梁的参数根据上述方法,编制相应的Matlab计算程序。程序操作界面友好,使用方便。主程序流程图如图4所示,对主程序各模块说明如下:(1)梁的基本参数包括:a)梁