复合悬臂曲梁的有限元分析

复合悬臂曲梁的有限元分析

1曲梁和复合曲梁的应力和切应力的计算公式不同梁和复合梁是工程中常见的结构。例如，在道桥技术中的拱桥中，重量从地面上支撑的钩子可以被视为梁。主轴承的轴承和汽车板的弹簧可以被视为由多层金属板重叠形成的复合梁。与直梁和复合直梁相比较,由于曲梁曲率的影响,使得曲梁和复合曲梁的内力和变形计算比直梁和复合直梁要复杂得多。在材料力学教材中对平面曲杆纯弯曲时的正应力计算公式已经有了介绍,另外,在《高等材料力学》中对具有对称截面的曲梁应力计算也有介绍,但这些计算公式都是针对单一材料的曲梁。而文献对于一般截面形状的曲梁和复合曲梁在复杂受力情况下的正应力和切应力的计算公式进行了推导,但到目前为止还没有相应的实验来印证这些公式。为此本文建立了有限元模型,运用ANSYS软件对复合悬臂曲梁的正应力和切应力进行了简化计算,并设计了复合悬臂曲梁的实验模型,将三者结果相互对比,对复合曲梁理论公式的正确性作了进一步验证。2复合曲线理论的计算2.1复合悬臂曲梁的材料参数文献中给出了一般截面形状的复合曲梁(见图1)在复杂受力情况下的正应力计算公式,即σ1=E1Η(1-y/R){[(eg-f2)Νs-(bg-df)Μz+(bf-de)Μy]-[(bg-df)Νs-(ag-d2)Μz+(af-bd)Μy]y+[(bf+de)Νs-(af-bd)Μz+(ae-b2)Μy]z}σ2=E2Η(1-y/R){[(eg-f2)Νs-(bg-df)Μz+(bf-de)Μy]-[(bg-df)Νs-(ag-d2)Μz+(af-bd)Μy]y+[(bf+de)Νs-(af-bd)Μz+(ae-b2)Μy]z}σ1=E1H(1−y/R){[(eg−f2)Ns−(bg−df)Mz+(bf−de)My]−[(bg−df)Ns−(ag−d2)Mz+(af−bd)My]y+[(bf+de)Ns−(af−bd)Mz+(ae−b2)My]z}σ2=E2H(1−y/R){[(eg−f2)Ns−(bg−df)Mz+(bf−de)My]−[(bg−df)Ns−(ag−d2)Mz+(af−bd)My]y+[(bf+de)Ns−(af−bd)Mz+(ae−b2)My]z}式中:a=E1(A1+1R∫A1ydA1+1R2Jz1)+E2(A2+1R∫A2ydA2+1R2Jz2)b=E1(∫A1ydA1+1RJz1)+E2(∫A2ydA2+1RJz2)d=E1(∫A1zdA1+1RJyz1)+E2(∫A2zdA2+1RJyz2)e=E1Jz1+E2Jz2f=E1Jyz1+E2Jyz2g=E1Jy1+E2Jy2Η=(aeg-af2-b2g+2bdf-d2e)Jy1=∫A1z21-y/RdA1‚Jyz1=∫A1yz1-y/RdA1Jz1=∫A1y21-y/RdA1‚Jy2=∫A1z21-y/RdA1Jyz2=∫A1yz1-y/RdA1‚Jz2=∫A1y21-y/RdA1E1、E2为材料Ⅰ和Ⅱ的弹性模量;A1、A2为材料Ⅰ和Ⅱ的截面面积;σ1、σ2为材料Ⅰ和Ⅱ上各点处的正应力;R为复合曲梁的曲率半径。图中s为沿曲梁轴线量取的弧长;y为指向该梁轴线曲率中心的径向坐标;z为形心轴,正交于杆件平面。py(s)pz(s)为沿y和z方向单位弧长上的外力分量;Ns、Vy、Vz、My、Mz为任意截面上的轴向力、剪力和弯矩;G为组合截面的形心;H1、H2为材料Ⅰ和Ⅱ的截面高度;h1、h2为形心轴z到上、下边缘的距离;ϕ1(y)、ϕ2(y)为横截面上的积分区域。对于具有直角梯形截面和1/4圆弧轴线的复合悬臂曲梁(见图2),当自由端受集中力P=500N作用时在45°截面处的内力为Vz=0;Vy=P×cos45°=353.55N;NS=P×sin45°=353.55N;My=0;Mz=P×R×sin45°=55.628MN·m。2.2材料的切应力根据文献,一般截面形状的复合曲梁在复杂受力情况下的切应力计算公式如下:(h2-H2≤y≤h2)式中:α1=1R(eg-f2)-(bg-df)+μ(bf-de)α2=1R(bg-df)-(ag-d2)+μ(af-bd)α3=1R(bf-de)-(af-bd)+μ(ae-b2)μ=VzVy‚V=Vyb′为距z轴为y处的截面宽度;τ1、τ2为材料Ⅰ和Ⅱ上各点处的切应力。由于复合悬臂曲梁正应力和切应力的计算公式比较复杂,这里应用matlab软件进行编程计算。3局部细化单元格为了用有限元法分析直角梯形截面复合悬臂曲梁,利用三维实体单元SOLID92将梁的上下层分别划分成多个实体单元,再在上下层结合部位将单元格进行局部细化。图3表示利用有限元程序计算三种悬臂曲梁(纯钢、铝钢组合和铜钢组合曲梁)在自由端受集中力P=500N时45°截面处的正应力沿y轴的分布情况(z=-8.77mm不变)。文中钢为45#钢,弹性模量取200GPa,铜的弹性模量取110GPa,铝合金的弹性模量取70GPa。4结构应力检测为了验证一般截面形状的复合曲梁在复杂受力情况下的正应力和切应力计算公式,专门设计了两套由不同材料叠合在一起的复合悬臂曲梁,分别为铜-钢和铝-钢叠合在一起的具有直角梯形截面和1/4圆弧轴线的复合悬臂曲梁,测定这两种复合悬臂曲梁在自由端受集中力作用时45°截面处的正应力和切应力,并与正应力解析解及按ANSYS程序计算的三维有限元分析结果进行比较。为了便于分析计算,另外还设计加工了一套由纯钢制成的单一材料的悬臂曲梁。图4(a)、(b)、(c)分别表示由纯钢制成的悬臂曲梁、铜-钢组合和铝-钢组合的复合悬臂曲梁。这三种悬臂曲梁截面均采用直角梯形截面,见图2(b),复合悬臂曲梁两种材料之间用502胶水牢固粘接。将它们分别固定在台架上,通过砝码加载使悬臂曲梁或悬臂复合曲梁自由端截面形心处受到径向集中载荷,测定这三种曲梁受集中力作用时45°截面处的正应力和切应力。应力测量采用电测应变方法,粘贴在悬臂曲梁内、外表面上的测点1和测点5均为沿环向的单向应变片,中间测点即测点2、3、4均为45°直角应变花,它们分别贴在45°截面的直角边上。各悬臂曲梁具体测点的位置见表1。5测点的实测正应力值对比5.1解析解、有限元分析及实测正应力的比较图5～图7分别为3种悬臂曲梁在自由端受集中力P=500N时45°截面处正应力解析解和有限元解沿y轴的分布曲线(z=-8.77mm不变)及该截面直角边上中间三个测点的实测正应力数值。由于测点1、5粘贴在悬臂曲梁的内、外表面,不在截面的直角边上,故这两个测点的实测正应力没有标注在上图中。5.2各测点正应力解析解、有限元解和实验值的对比由于测点1和测点5的实测正应力没能在上图中反映出来,因此再把三种悬臂曲梁各个测点的正应力的解析解、有限元解和实测值的对比情况列于表2、3和4中。5.3铝-钢复合悬臂曲梁切应力解析解、有限元分析及实测的切应力比较图8为铝-钢复合悬臂曲梁在自由端受集中力P=500N时45°截面处切应力解析解和有限元解沿y轴的分布曲线(z=-8.77mm不变)及该截面直角边上中间三个测点的实测切应力。5.4铝-钢复合悬臂曲梁各测点切应力解析解、有限元解和实验值的对比(见表5)6有限元模型建立风险(1)通过有限