岩石应力强度因子的复变函数解

岩石应力强度因子的复变函数解

岩石变形断裂是岩石的一个重要力学特征。岩石等工程材料的自然负荷作用下的力学效应鼓励着人们对脆弱性压裂的破坏。岩石等脆性材料中通常含有众多的微裂纹，这些微观裂纹的处理方法通常被认为是无穷大介质中的裂纹问题。对于在拉应力作用下无穷大介质中单个裂纹问题已研究的相当充分，但岩石等工程地质材料在自然荷载作用下通常是压裂破坏，因此，深入研究岩石受压断裂具有重要的理论与实践意义。目前已有不少学者开展了这方面的研究，Brace等提出了裂纹滑动模型，认为滑动裂纹端部生成的拐折张性裂纹是在压剪性荷载作用下新裂纹生成的主要机制，并根据该模型对岩石破坏前的扩容现象进行了微观解释。Kuntz利用试验的方法得到了裂纹在单轴受压情况下的应力场的变化，赵明阶进行了基于断裂力学理论的裂隙岩体加、卸载荷本构模型研究，并对两种裂隙分布的石膏模型进行了实验；周群力得到了当KI<0时的复合断裂情况下,岩石压剪断裂核的形状方程；Shen利用G准则和不连续位移法(DDM)研究了岩石等脆性材料在压缩荷载作用下裂纹的开裂情况；Wang以一个近似的裂纹张开位移函数为基础，针对有限宽板条提出一个表达式简单的权函数，进而推出各种拉伸荷载条件下Ⅰ型裂纹的应力强度因子的表达式，研究了板宽对一些简单的Ⅰ型应力强度因子的影响；Bobet研究了裂纹在压缩状态下的联合情况，以及翼形裂纹和次级裂纹的初始应力和初始开裂角；Dong等人从不同的角度研究了受压缩载荷作用的含裂纹平板的应力强度因子和能量耗散；Isaksson等人研究了压缩载荷作用下裂纹的扩展方向问题，取得了一些重要进展。本文将针对不同的裂面形态及其相应的摩擦力的分布，利用Muskhelishvili的复势理论和Riemann-Hilbert问题的解，结合“伪力法”和叠加原理给出含中心斜裂纹的岩石类材料在压缩荷载作用下的应力强度因子。1裂双侧回采后应力函数的建立由断裂力学理论的Muskhelishvili解答，裂尖应力场可用平面内的应力函数Φ(z)和Ω(z)表示，对如图1所示，长为2a的裂纹，裂面上b处作用有一对自相平衡的法向集中力P和一对自相平衡的切向集中力Q，裂纹角为β，则当z从裂纹上侧趋向于裂纹表面上一点t时，其应力函数应满足：z从裂纹下侧趋向于裂纹表面上一点t时，应力函数应满足：其中：Φ(z)和Ω(z)为平面内的复势函数，是分段全纯的，在除裂纹外的所有点处单值解析；τxy，σyy为应力分量。将式(1a)和式(1b)相加减，得：式中：p(t)和q(t)在裂面上均满足Ho&&lder条件。现针对裂面的不同情况分析如下：1.1解析函数当裂纹面平直，无锯齿状起伏时，裂面上有抗滑力抗滑力τ′是作用于z=b处的集中剪应力；假定当裂隙面为较理想平面，既平直又光滑时的内摩擦角为基本内摩擦角ϕ0。对应于图1所示的问题，由裂面上的边界条件可以得到式(2a)的Hilbert问题的通解为：其中：(i)g(z)是平面上的解析函数，且Φ(∞)+Ω(∞)=0，则：g(z)=C0;(ii)X(z)是与式(2a)相应的齐次问题的基本解，它满足下述齐次边界条件：其一般解为：由于Φ(z)+Ω(z)是关于应力的函数，它在区间两个端点z=-a和z=a处都具有奇异性，函数Φ(z)+Ω(z)在端点处的奇异性与基本解X(z)的奇异性相一致。取N=-1,M=0，式(6)得到满足。式(2b)的Hilbert问题的解为：其中：式f0(z)由无穷远处的边界条件决定。结合式(5)和式(8)可得：式中：可由位移单值条件定出，而Φ0(z)和Ω0(z)为将位移单值条件改写成：利用Plemelj公式，并考虑到δ(t-b)函数的性质，有：考虑到X+(t)=-X-(t)，则：同理可得：将上式代入位移单值条件式(11)，经积分计算得：C0=0故可以得到：则式(13)即为如图1所示的有限长裂纹受一对自相平衡的法向集中力和一对切向集中力作用，且裂面平直时的基本解。1.2抗剪应力的表征如果裂隙面起伏明显，这在剪切变形过程中的物理几何变化相当复杂，为了研究方便，假定裂隙面呈规则锯齿状，锯齿起伏角为1ϕ，齿面内摩擦角为ϕ0。当裂隙面上x=b处同时作用有一对自相平衡的法向压应力P和切向剪应力Q时，裂隙面的抗剪机制必然包括沿凸起面的爬坡摩阻及凸起被剪断两个方面。则抗滑力τ′大小可表示为：而其中：τ1′是由压应力P产生的作用于z=b处的集中剪应力；τ′2是由剪应力Q产生的平均作用于裂纹上的均布剪应力；1k是切割率，表征结构面上的凸起被剪断的程度；τb为岩石的抗剪强度。仍考虑如图1所示的作用力，此时裂面上的边界条件可写为由式(3)可得：利用与推证平直裂纹基本解同样的方法，可得裂纹面呈锯齿状时的基本解为：2应力强度因子根据伪力法和叠加原理，在如图3所示的受力状态下，作用于裂面上的法向应力P(x)和切向应力Q(x)的表达式分别为：由上式可得裂纹面上作用的法向伪力和切向伪力，根据裂面状态，结合式(13)或式(17)即可求得复势函数Φ(z)。应力强度因子可由下式计算：这里z=±a是裂纹的右端点和左端点。算例：一无限大大理石板，受σ∞yy为150MPa的单轴压应力的作用，中心斜裂纹的长为10cm，裂纹角β为30°，内摩擦角为40°，抗剪强度τb为50MPa。考虑两种情况：(1)若裂面为较理想平面时，可求得应力强度因子为(2)若裂面呈锯齿状，锯齿起伏角为25°，切割率为0.36，由式(15)、式(17)、式(19)可得单位为106N/m3/2。3裂面为切向压应力(1)由计算结果可以看出：裂面状态对I型应力强度因子的大小没有影响，而对II型应力强度因子的影响却很大，因而，相同应力条件下，裂面状态会影响裂纹的开裂角和开裂方式。(2)若裂面上某点同时作用有一对自相平衡的法向压应力P和一对自相平衡的切向剪力Q，当裂纹为平直裂纹时，摩擦力的大小只与该点的法向压应力P有关，并且也是作用于该点；当裂面为锯齿状的粗造面时，摩擦力的大小不仅仅与法向压应力有关，同时还受到切