移动的最小二乘法mo倾城leassshr求解边值问题的改进

移动的最小二乘法mo倾城leassshr求解边值问题的改进

1dem与东单元由于移动最小二乘法（mls）数据，可以从几个不相关节点中的数据调整函数。该函数平滑度好，导数集连续。文在求解边值问题偏微分方程数值解时,用MLS构造位移函数,这种位移函数的形成及区域积分的实现都可以脱离单元的概念。这一求解过程被称为DEM。文对此做了进一步改进,使得DEM求解精度更高、更具发展前途。这种改进后的DEM被称为EFGM。目前,EFGM主要用于模拟裂纹扩展;当然,该法在岩土工程中也有一定的应用前景,比如该法可求解非饱和土问题。关于EFGM的基本原理,此处不再赘述,详见文。这里只介绍对EFGM的两点补充,即EFGM如何求解集中力荷载问题和EFGM的点积分实现形式。2分布力p的测定为方便讨论,首先写出EFGM的控制方程:若问题的力边界Γt上某点xo处作用一集中力P(见图1),则可将P用分布力t¯t¯(x)来表示。t¯t¯(x)满足且引入δ函数且则分布力可用δ表示为又,对连续函数g(x)来说,δ函数具有如下的性质:将式(4a),(4b)代入式(1b)中的第二项得因此,对体力、面力、集中力都存在的情况,只需将式(1b)改为3点积分形式EFGM并不是完全无网格,其位移函数的构造可以脱离网格,而区域积分是借助一个背景网格(即cell结构)实现的。若能抛弃背景网格,使EFGM完全无网格化,程序设计及数据存储无疑会得到简化。若抛弃背景网格,必须在求解域内指定一些点,在这些点上计算控制方程中的总刚及荷载矩阵。即,以点积分的形式实现EFGM。文介绍了EFGM的一种点积分形式。其作法是,在能量泛函中增加一稳定项(该稳定项中含有一个参数——稳定系数),得到相应的控制方程,从而将区域内积分转化为节点上的积分。据文介绍,该法是可行的。但作者认为,这种方法计算过程复杂,而且还要选择稳定系数。稳定系数的选择对计算结果有较大影响。原始的EFGM在完成区域内积分时,将区域划分成子域cell结构,在每个cell内采用高阶高斯积分。文认为在小cell内采用低阶高斯积分,比在大cell内采用高阶高斯积分得到的解答好。基于这样的思路,作者有理由认为,当子域cell划分得足够小时,可将每个cell内积分用其中心点上的积分代替。这便是本文建议的EFGM点积分形式。与原始的EFGM高斯积分相比,本文建议的点积分形式具有如下的特点:(1)简化程序设计。不需要将求解域剖分成子域,数据存储量也相应减小。对三维问题,这一优点可能更突出。(2)提高计算速度。积分点可通过增加步长获得,不必通过坐标变换求高斯点。(3)基本维持求解精度,求解精度仅有稍许下降(见后面算例)。与文中的点积分形式相比,本文建议的方法具有下面的特点:(1)计算过程简单,(2)需选择的参数少。4悬臂梁端部受集中力所有算例都选用线性基。算例不仅表明对集中力荷载问题使用本文的方法是可行的,而且表明本文建议的EFGM点积分形式的可行性。算例1半无限体边界作用法向集中力文给出该问题的应力精确解。本文取坐标系为图2(a),相应的应力精确解为考虑问题的对称性,取计算范围、荷载及约束情况如图2(b)所示。本例中取L=5m,H=10m,P=1N。共布下231个均匀节点(11×21),权函数中取dm=2m,c=0.5m。按两种方案进行计算——高斯积分和点积分。采用高斯积分时,计算域划分10×20个cell,每个cell中采用4×4高斯积分;采用点积分时,区域内积分在40×80个积分点上得到。高斯积分中总积分点数(40×80)等于点积分的总积分点数(40×80)。计算表明,远处的应力趋于零;距荷载作用点非常近的区域,EFGM计算结果与精确解有些差别;在荷载作用点附近,EFGM计算结果与精确解吻合得很好。表1仅列出该区域几个点Y向应力。算例2悬臂梁端部受集中力作用本算例如图3所示,该问题的精确解为文无法求解集中力荷载问题,而是在右端施加与式(7c)～(7e)对应的分布面力,从而得到解答。本文可按式(1b′)直接求解这类问题。本例中,取L=8m,D=1m,P=1N,E=105Pa,ν=0.25。共布下55个均匀节点(11×5),权函数中取dm=4m,c=0.8m。按两种方案进行计算——高斯积分和点积分。采用高斯积分时,计算域划分10×4个cell,每个cell中采用5×5高斯积分;采用点积分时,区域内积分在40×15个积分点上得到。高斯积分中总积分点数(40×25)大于点积分的总积分点数(40×15)。由EFGM计算的位移(v)、应力(σx)与精确解比较见表2,3。5点积分的总积分本文探讨如何用EFGM求解集中力荷载问题,并建议EFGM的一种点积分形式。算例表明本文方法的可行性。点积分实现EFGM时,积分点多少个合适,本文没有给出理论上的证明。从算例来看,点积分的总积分点数与高斯积分的总积分点数大致相当即可。对于曲边边界,EFGM采用背景网格积分时是这样处理的,若高斯点在求解域内,保留该高斯点;否则,舍弃该