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第2课时空间中的距离问题第三章内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑自主预习新知导学一、点到平面的距离2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为(

).答案:D二、点到直线的距离2.已知直线l过定点A(2,3,1),且方向向量为n=(0,1,1),则点P(4,3,2)到l的距离为(

).答案:A合作探究释疑解惑探究一点到平面的距离【例1】

如图3-4-14,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.图3-4-14答图3-4-13(2)由题意知AC∥EF.因为EF⊂平面PEF,AC⊄平面PEF,所以AC∥平面PEF.所以直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离.用向量法求点面距的方法与步骤

提醒:用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量.探究二点到直线的距离【例2】

在棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是棱C1C和D1A1的中点,求点A到直线EF的距离.解:建立如答图3-4-14的空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),连接AF,答图3-4-14(变问法)本例条件不变,试求点B到直线EF的距离.求点P到直线l的距离的方法(1)几何法:①找到点P在直线l上的投影P'.②在某个直角三角形中求线段PP'的长度.(2)向量法:①在直线l上任取一点A.②求直线l的单位方向向量l0.探究三探索性、存在性问题【例3】

如图3-4-15,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B的平面角为直角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.图3-4-15解:线段AP上存在点M,使得二面角A-MC-B的平面角为直角,此时AM=3.证明如下:以O为原点,垂直于OD的直线为x轴,OD,OP所在直线分别为y轴、z轴,建立如答图3-4-15的空间直角坐标系O-xyz,则O(0,0,0

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