专题16一元一次不等式（4个知识点5种题型3个易错点2种中考考法）（原卷版）

专题16一元一次不等式（4个知识点5种题型3个易错点2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.一元一次不等式的概念（重点）知识点2不等式的解集（不等式的解）（重点）知识点3.一元一次不等式的解法（重点）（难点）知识点4.利用一元一次不等式解应用题（重点）【方法二】实例探索法题型1.一元一次不等式的特殊解问题题型2.已知不等式的解求字母的取值题型3.方程与不等式的综合题型4.一元一次不等式在决策中的应用题型5.含绝对值不等式的应用【方法三】差异对比法易错点1.不等式两边同除以一个负数时易出错易错点2.去分母时，忘记添括号易错点3.去分母时，漏乘不含分母的项【方法四】仿真实战法考法1.一元一次不等式的解法考法2.列一元一次不等式解应用题【方法五】成果评定法【学习目标】理解一元一次不等式的概念。理解一元一次不等式的解的概念，并会在数轴上表示一元一次不等式的解。掌握解一元一次不等式的一般步骤，并会运用该步骤解一元一次不等式。会在数轴上表示一元一次不等式的解。会根据具体问题中的数量关系列一元一次不等式，并会利用一元一次不等式解决简单的实际问题。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.一元一次不等式的概念（重点）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．注意：一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1【例1】（2021春•吴江区期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．4x﹣5y＜1 B．4y+2≤0 C．﹣1＜2 D．x2﹣3＞5【变式】（2021春•亭湖区校级月考）请写出一个解集为x＜2的一元一次不等式（未知数的系数不能为1）．知识点2不等式的解集（不等式的解）（重点）（1）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．（2）解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．（3）不等式的解和解集的区别和联系不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．【例2】（2022春•如东县期中）不等式0≤x＜2的解（）A．为0，1，2 B．为0，1 C．为1，2 D．有无数个【变式】（2022春•玄武区期末）关于x的不等式ax+b＞c的解集为x＜3，则关于x的不等式a（x﹣2）+b＞c的解集为（）A．x＜3 B．x＞3 C．x＜5 D．x＜1知识点3.一元一次不等式的解法（重点）（难点）解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。（4）合并同类项。（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．【例3】（2023春•菏泽月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）．（2）5x﹣1≤3（x+1）．（3）3x+1≥﹣5．（4）．【变式】（2022秋•姑苏区校级期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．3x+1＜2（x+1）．知识点4.利用一元一次不等式解应用题（重点）（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【例4】（2022春•清江浦区期末）某医院准备派遣医护人员协助西安市抗击疫情，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为280元，每辆乙型客车的租金为220元，若医院计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1530元，那么最多租用甲型客车多少辆？【变式】．（2022秋•苏州期末）小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家每月用水量至少是立方米．【方法二】实例探索法题型1.一元一次不等式的特殊解问题1．（2022秋•高新区期末）若代数式2m+7的值不大于3，则m的最大整数解是．2．（2022秋•姑苏区校级期末）定义新运算：a⊕b＝1﹣ab，则不等式x⊕2≥﹣3的非负整数解的个数为．3．（2022秋•姑苏区校级期末）已知关于x的方程2x﹣a＝3．（1）若该方程的解满足x＞1，求a的取值范围；（2）若该方程的解是不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）的最小整数解，求a的值．题型2.已知不等式的解求字母的取值4.（2023春•牡丹区校级月考）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜15.（2022•南京模拟）若（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0 B．a＞﹣3 C．a＜﹣3 D．a＞36.（2022春•锦江区校级期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集是x＞，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m≤17.（2022秋•岳阳楼区校级期末）若（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，则m的取值范围是．8．（2022春•崇川区校级月考）x＝1不是不等式（x﹣5）（ax+3a+2）≤0的解，则实数a的取值范围是．9．（2023春·河南平顶山·八年级校考阶段练习）已知不等式的解集为，则m的值为．10．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是.题型3.方程与不等式的综合11．（2023秋·四川泸州·八年级校联考开学考试）若关于，的方程组的解满足，则的所有非负整数之和为（）A． B． C． D．12．（2023春·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考阶段练习）若关于和的二元一次方程组，满足，求整数的最小值．13．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考开学考试）已知不等式的最大整数解是方程的解，求a的值．14．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如果关于的方程的解不大于1，且是一个正整数，试确定的值．15．（2023秋·八年级课时练习）已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围．题型4.一元一次不等式在决策中的应用16．（2023春•滨海县月考）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．（1）求这两种毛绒玩具的单价各是多少元？（2）若某商店购进两种玩具共60个，费用不超过8000元，求冰墩墩毛绒玩具最多购进多少只？17．（2023春•涟水县月考）新年伊始，某酒店为了给游客提供更舒适的环境，决定更换酒店的部分空调和电视机．已知购买2台空调和3台电视机共需12300元；购买3台空调和1台电视机共需11100元．（1）求空调和电视机的单价；（2）若该酒店准备购买空调和电视机共50台，且空调数量不少于电视机的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．18．（2023春•灌云县月考）随着第24届北京冬奥会和冬残奥会的顺利召开，“冰墩墩”和“雪容融”成为了大家竞相追捧的吉祥物，某商家迅速抓住这一商机，购进了一批“冰墩墩”和“雪容融”小挂件，已知2个“冰墩墩”和1个“雪容融”小挂件共需26元，4个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需62元．（1）“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价各是多少元？（2）如果这一商家准备再购进相同的“冰墩墩”和“雪容融”小挂件共100个，且“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．19．（2023春•吴江区月考）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？题型5.含绝对值不等式的应用20．（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）不等式的解集是（

）A． B． C． D．或21．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列不等式：（1）（2）22．（2022秋•姑苏区校级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完类地结合．研究数轴我们发现了很多有趣的结论和方法．阅读材料（一）：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．阅读材料（二）：例1：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在数轴上与1距离为2的点对应的数为3和﹣1，即该方程的x＝3或x＝﹣1；例2：解不等式|x﹣1|＞2，如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；参考阅读材料，利用数轴探究下列问题：（1）如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6，直接写出线段AB的中点表示的数为；（2）方程|x+4|＝7的解为．（3）不等式|x﹣3|＞4的解集为．（4）|x+2|﹣|x﹣6|有最大值是；（5）点C在数轴上对应的数为10，动点P从原点出发在数轴上运动，若存在某个位置，使得PA+PB＝PC，则称点P是关于点A，B，C的“石室幸运点”，请问在数轴上是否存在“石室幸运点”？若存在，请直接写出所有“石室幸运点”．【方法三】差异对比法易错点1.不等式两边同除以一个负数时易出错23.（2022秋•苏州期末）解下列不等式：．易错点2.去分母时，忘记添括号24．（2023•盘锦）不等式≥的解集是．易错点3.去分母时，漏乘不含分母的项25．（2023春•铁西区期末）解不等式：．【方法四】仿真实战法考法1.一元一次不等式的解法1．（2023•攀枝花）下列各数是不等式x﹣1≥0的解的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．（2023•台州）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．3．（2023•盘锦）不等式≥的解集是．4．（2023•泸州）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，写出a的一个整数值．5．（2023•宿迁）不等式x﹣2≤1的最大整数解是．考法2.列一元一次不等式解应用题6．（2023•丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（）A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n7．（2023•广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打折．8．（2023•淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：购票人数m（人）10≤m≤5051≤m≤100m＞100每人门票价（元）605040*题中的团队人数均不少于10人．现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·福建福州·八年级校考开学考试）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）设“〇”□”△”分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为1，则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．4．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）枞阳实验中学为落实“五项管理”工作，促进学生健康和全面发展﹐丰富学生的体育活动，准备从体育用品商店购买一些鞍马、铅球，标枪，鞍马和铅球的单价相同，买一个铅球需要元，买一个标枪需要元．根据实际需要，该学校从体育用品商店一次性购买了三种体育器材共个，且购买三种体育器材的总费用不超过元，则这所中学最多可购买标枪的个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个5．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（）A． B． C． D．6．（2023秋·浙江·八年级专题练习）不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A．

B．

C．

D．

9．（2023春·河北邯郸·八年级校联考期中）某城市出租车的起步价为10元（即行驶距离在3千米及以内付10元车费），超过3千米后，每行驶1千米加2元（不足1千米按1千米计）．小张在该市乘出租车从甲地到乙地，支付车费22元，则从甲地到乙地的路程最多有（

）A．11千米 B．10千米 C．9千米 D．8千米10．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）瑶瑶去玩具店购买一款心爱的玩具，付款时收银员说：玩具成本是元，定价为元，今天是店庆，可以打折优惠，但利润率不能低于，则该玩具最多可以打（

）A．折 B．折 C．折 D．折二、填空题11．（2023秋·广东广州·八年级广州市第一一三中学校考开学考试）不等式的解集是．12．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考开学考试）“与2的差小于0”用不等式表示为．13．（2023秋·广东惠州·八年级校考开学考试）某商品进价4元，标价6元出售，商家准备打折出售，但其利润率不能少于，则最多可打折．14．（2023秋·吉林长春·八年级东北师大附中校考开学考试）某次数学测验，共16道选择题，评分标准为：答对一题给6分，答错或不答一题扣2分，小明想自己的分数不低于72分，他至少要答对道题．15．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）不等式的非负整数解共有个．16．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）快递运费通常按邮件重量计算，某快递公司规定：省内邮件重量不超过1千克时收费10元；邮件重量超过1千克时，超过的部分按每千克3元收费．若省内寄快递的费用不超过28元，则邮件的重量最多为千克．17．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）若不等式的解集为，则a的取值范围是．18．（2023春·四川达州·八年级校考期末）若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是．三、解答题19．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）求不等式的负整数解．20．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解下列不等式，并将其解集表示在数轴上．(1)(2)21．（2023春·河南新乡·八年级校考期中）在疫情防控期间，学校给每个班级配备了体温检测仪和雾化消毒器，已知一台雾化消毒器单价比一个体温检测仪的单价多20元，用3000元购进雾化消毒器的数量是用1200元购进体温检测仪的数量的2倍．(1)求雾化消毒器和体温检测仪的单价分别为多少元？(2)学校根据实际情况，购进雾化消毒器的数量是体温检测仪的3倍少5个，总费用没有超过10000元，那么学校最多可能购买了多少个体温检测仪．22．（2023春·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考阶段练习）定义一种新运算“”的含义为：当时，．当时，．例如：，．(1)填空：______；(2)如果，求的取值范围．23．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）某水果店销售A、B两种规格的水果礼盒，A进货价为每盒60元，B进货价为每盒45元．表格中是该水果店近两周这两种水果礼盒的销售情况．（进价保持不变，不考虑水果变质等损耗）销售时段周销售数量周销售总利润第一周40盒A水果礼盒85盒B水果礼盒2075元第二周60盒A水果礼盒100盒B水果礼盒