2023-2024学年吉林省吉林市八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省吉林市八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=55°，则∠B的度数为(

)A.25°

B.35°

C.45°

D.55°2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，下列说法中，错误的是(

)A.△ABC中，AC是BC上的高

B.△ABD中，DE是AB上的高

C.△ABD中，AC是BD上的高

D.△ADE中，AE是AD上的高3.将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1=(

)A.45°

B.50°

C.60°

D.75°

4.如图，点E、点F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是(

)A.∠A=∠D

B.∠AFB=∠DEC

C.AB=DC

D.AF=DE5.如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是(

)A.AD=AE

B.AD=DF

C.DF=EF

D.AF⊥DE6.图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是(

)A.6

B.8

C.10

D.12二、填空题（本大题共8小题，共24分）7.如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是______．

8.一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边长可以是______.(写出一个即可)9.如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO=______度．

10.如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC=8，CE=5，则CF的长为______．11.将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是______．

12.如图，已知AD为△ABC的中线，AB=10cm，AC=7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为__cm．

13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，△ABD的面积为30，AB=15，则线段CD的长度为______．

14.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______．

三、解答题（本大题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(本小题5.0分)

已知一个多边形的内角和比外角和的2倍多180°，则这个多边形的边数是多少？16.(本小题5.0分)

如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为x cm．

(1)求第三边x的范围；

(2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长．17.(本小题5.0分)

如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．18.(本小题5.0分)

如图，AB=AD，∠DAC=∠BAE，∠B=∠D，求证BC=DE．19.(本小题7.0分)

如图为7×9的网格，每一小格均为正方形，已知△ABC．

(1)画出△ABC中BC边上的中线AD；

(2)画出△ABC中AB边上的高CE；

(3)直接写出△ABC的面积为______．20.(本小题7.0分)

如图，OC是∠AOB内的一条射线，D是OC上一点，过点D作DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，已知OE=OF，求证：OC是∠AOB的平分线．21.(本小题7.0分)

数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度(该段河流两岸是平行的)，在数学老师带领下他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；

②沿河岸直走10m有一棵树C，继续前行10m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长为4.5m．

(1)河流的宽度为______m；

(2)请你说明他们做法的正确性．22.(本小题7.0分)

如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D.使AD=AC.在边AC上截取AF=AB，连接DF.求证：DF=CB．23.(本小题8.0分)

如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE=BF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF．

(1)求证：△ACE≌△BDF；

(2)若AB=8，AC=2，求CD的长．24.(本小题8.0分)

如图，已知∠C=∠F=90°，AC=DF，AE=DB，BC与EF交于点O．

(1)求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；

(2)若∠A=51°，求∠BOF的度数．25.(本小题10.0分)

如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A1．

(1)如图1，若∠A=70°，则∠A1=______．

(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的角平分线相交于点F，若∠A+∠D=230°，求∠F的度数．

(3)如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线交于A1，若E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q，当E滑动时有下面两个结论：

①∠Q+∠A1的值为定值；

26.(本小题10.0分)

(1)模型的发现：

如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E.请直接写出DE、BD和CE的数量关系．

(2)模型的迁移1：位置的改变

如图2，在(1)的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，请说明DE、BD和CE的关系，并证明．

(3)模型的迁移2：角度的改变

如图3，在(1)的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即∠BAC=∠1=∠2=a，其中90°<a<180°，(1)的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE、BD和CE的关系，并证明．

答案和解析1.【答案】B

解：∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵∠A=55°，

∴∠B=35°，

故选：B．

根据直角三角形的两锐角互余求解即可．

此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键．2.【答案】D

解：A、△ABC中，AC是BC上的高，说法正确，不符合题意；

B、△ABD中，DE是AB上的高，说法正确，不符合题意；

C、△ABD中，AC是BD上的高，说法正确，不符合题意；

D、△ADE中，AE是DE上的高，不是AD上的高，故本选项说法错误，符合题意；

故选：D．

根据三角形的高的概念判断即可．

本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．3.【答案】D

解：如图，由题意可知，∠2=45°，∠4=30°，

∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，

∴∠3=90°−∠2=45°，

∴∠1=∠3+∠4=45°+30°=75°，

故选：D．

如图(见解析)，先根据三角板可得∠2=45°，∠4=30°，再根据角的和差可得∠3=45°，然后根据三角形的外角性质即可得．

本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．4.【答案】D

解：∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，

即BF=CE，

∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；

当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；

当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；

当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；

故选：D．

根据BE=CF求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．

本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．5.【答案】B

解：角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧，分别交AM、AN于点D、E；

②分别以点D、E为圆心，DF长为半径作弧，两弧在∠MAN内相交于点F；

③作射线AF，AF即为∠MAN的平分线．

根据角平分线的作法可知，AD=AE，DF=EF，

根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE，

故选：B．

利用基本作图得到AF平分∠MAN，则根据角平分线的画法可对选项进行一一判断．

本题考查了用直尺和圆规作角平分线的方法，掌握画法是解题的关键．6.【答案】B

解：如图，延长a，b交于点E，

∵a⊥b，

∴∠ABC=90°，

∴正多边形的一个外角为180°−90°2=45°，

∴n=360°45∘=8．

故选：B．

延长a、b交于点E7.【答案】三角形具有稳定性

解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性，

故答案为：三角形具有稳定性．

根据三角形具有稳定性解答即可．

本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．8.【答案】4(答案不唯一)

【解析】【分析】

此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系定理可得5−2<x<5+2，进而可得答案．

【解答】

解：设第三边长是x，

由题意得：5−2<x<5+2，

即：3<x<7，

∴x的值可以是：4(大于3小于7的数即可)．9.【答案】15

【解析】【分析】

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法(HL)是解题的关键．根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB=∠ONB=90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB(HL)，根据全等三角形的性质可得∠OBM=∠OBN，即可求出∠ABO的度数．

【解答】

解：∵OM⊥AB，ON⊥BC，

∴∠OMB=∠ONB=90°，

在Rt△OMB和Rt△ONB中，

OM=ONOB=OB，

∴Rt△OMB≌Rt△ONB(HL)，

∴∠OBM=∠OBN，

∵∠ABC=30°，

∴∠ABO=15°．

故答案为1510.【答案】3

解：∵△ABC≌△DEF，

∴BC=EF，

又BC=8，

∴EF=8，

∵EC=5，

∵CF=EF−EC=8−5=3．

故答案为：3．

根据全等三角形的对应边相等得到EF=BC=7，计算即可．

本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．11.【答案】30°

解：∵图中六边形为正六边形，

∴∠ABO=(6−2)×180°÷6=120°，

∴∠OBC=180°−120°=60°，

∵正方形中，OC⊥CD，

∴∠OCB=90°，

∴∠BOC=180°−90°−60°=30°，

故答案为：30°．

根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．

本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．12.【答案】23

解：∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)−(AC+AD+CD)=AB−AC=10−7=3(cm)，

∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，

∴△ABD周长为：20+3=23(cm)．

故答案为23．

根据三角形中线的定义可得BD=CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．

本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．13.【答案】4

解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC，

∴CD=DE，

∵S△ABD=12AB⋅DE=30，且AB=15，

∴DE=4，CD=DE=4．

故答案为：4．

过点D作DE⊥AB于点E14.【答案】360°

解：如图，

∵∠7=∠4+∠6，∠8=∠1+∠5，∠2+∠3+∠7+∠8=360°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．

故答案为：360°．

根据三角形外角性质得到∠7=∠4+∠6，∠8=∠1+∠5，根据四边形内角和即可得解．

此题考查了多边形的内角、三角形外角性质，熟记三角形外角性质及四边形的内角和是解题的关键．15.【答案】解：设多边形的边数为n，

根据题意，得

(n−2)×180=2×360+180，

解得：n=7．

则这个多边形的边数是7．

【解析】此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．

多边形的内角和比外角和的2倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是900°，n边形的内角和可以表示成(n−2)×180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．16.【答案】解：(1)∵三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，

∴9−2<x<9+2，

即7<x<11；

(2)由(1)知，7<x<11，

∵第三边的长为奇数，

∴第三边的长为9cm，

∴三角形的周长为20cm．

【解析】(1)根据三角形的三边关系得到有关第三边x的取值范围即可；

(2)根据(1)得到的取值范围确定第三边的值，从而求出三角形的周长．

本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三角形的三边关系列出有关x的取值范围．17.【答案】解：在△ABC中，

∵∠B=40°，∠C=60°，

∴∠BAC=180°−40°−60°=80°，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠CAD=12∠BAC=40°，

【解析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质求出∠CAD的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．

本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．18.【答案】证明：∵∠DAC=∠BAE，

∴∠DAC+∠BAD=∠BAE+∠BAD，

∴∠BAC=∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE，

∴△ABC≌△ADE(ASA)，

∴BC=DE【解析】由∠DAC=∠BAE，推导出∠BAC=∠DAE，而∠B=∠D，AB=AD，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABC≌△ADE，得BC=DE．

此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．19.【答案】6

解：如图：

(1)AD即为所求；

(2)CE即为所求；

(3)△ABC的面积为：0.5×4×3=6，

故答案为：6．

(1)根据中线的意义及网格线的特征作图；

(2)根据高线的意义及网格线的特征作图；

(3)根据三角形的面积公式作图．

本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征是解题的关键．20.【答案】证明：∵DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，

∴∠DEO=∠DFO=90°，

在Rt△EOD与Rt△FOD中，

OE=OFOD=OD，

∴Rt△EOD≌Rt△FOD(HL)，

∴∠EOD=∠FOD，

即OC是∠AOB的平分线．【解析】根据垂直的定义和HL证明Rt△EOD与Rt△FOD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

此题考查角平分线的性质，关键是根据HL证明Rt△EOD与Rt△FOD全等解答．21.【答案】4.5

解：河流的宽度为4.5m，

故答案为：4.5；

(2)证明：如图，由作法知：AB⊥BD，ED⊥BD，BC=DC=10m，

∴∠ABC=∠EDC=90°，

在△ABC和△EDC中，

∠ABC=∠EDCBC=DC∠ACB=∠ECD，

∴△ABC≌△EDC(ASA)，

∴AB=ED=4.5m，

即他们的做法是正确的．

(1)根据全等三角形的性质就得到结论；

(2)根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．22.【答案】证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，

∴∠CAB=180°−∠B−∠C=110°．

∵AE⊥BC．

∴∠AEC=90°．

∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°，

∴∠DAF=∠CAB．

在△DAF和△CAB中，

AD=BC∠DAF=∠CABAF=AB，

∴△DAF≌△CAB(SAS)．

∴DF=CB【解析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．

此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．23.【答案】(1)证明：在△ACE和△DBF中，

∠A=∠B∠ACE=∠BDFAE=BF，

∴△ACE≌△DBF(AAS)；

(2)由(1)知△ACE≌△BDF，

∴BD=AC=2，

∵AB=8，

∴CD=AB−AC−BD=4，

故CD的长为4【解析】(1)根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可；

(2)根据全等三角形的性质即可得到结论．

此题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．24.【答案】(1)证明：∵AE=DB，

∴AE+EB=DB+EB，即AB=DE，

在Rt△ACB和Rt△DFE中，

AC=DFAB=DE，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)；

(2)解：∵∠C=90°，∠A=51°，

∴∠ABC=90°−51°=39°，

由(1)知Rt△ABC≌Rt△DEF，

∴∠ABC=∠DEF．

∴∠DEF=39°，

∴∠BOF=∠ABC+∠BEF=39°+39°=78°．【解析】(1)根据HL证明两个三角形全等；

(2)根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．

本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：HL，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．25.【答案】35°

解：(1)∵BA1平分∠BAC，CA1平分∠ACD，

∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，

∵∠A1=∠A1CD−∠A1BC，

∴∠A1=12∠ACD−12∠ABC=12(∠ACD−∠ABC)，

∵∠BAC=70°，

∴∠ACD−∠ABC=∠BAC=70°，

∴∠A1=12×70°=35°，

故答案为：35°；

(2)如图：

∵BF平分∠ABC，CF平分∠DCE，

∴∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠DCE，

∴∠F=∠FCE−∠FBC=12(∠DCE−∠ABC)，

∵∠A+∠D=230°，