可分离变量微分方程的解法及其应用_第1页
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文档简介

一、故事梗概

直到20年后，1967年卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了真假名画问题。范.梅格伦（VanMeegren）“伪造”17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer（维米尔）的名画卖给纳粹分子。第一页第二页，共15页。二、思路2原理：著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出，物质的放射性（衰变率）正比于现存物质的原子数。1分析：油画中不可缺少的颜料之一白铅，具有放射性，其应用已有2000余年，白铅的成分中包含了少量的镭（Ra226）和少量的放射性铅（Pb210）。我们看下元素衰变示意图。第二页第三页，共15页。矿石中元素衰变示意图：

铀238镭226铅210钋210铅206T=45亿年T=1600年T=22年T=138天白铅第三页第四页，共15页。3建立微分方程：

设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t),y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r。则：第四页第五页，共15页。三、解决问题经验：矿石中铀的最大含量可能2-3%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿石中含铀量超过4%。处理：分析铅210的衰变率，与当时矿物质中放射性物质含量比较，来判别画的真伪。第五页第六页，共15页。建模：

设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t)，y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r。则:衰变率：

其中

,y(t),r均容易测出。第六页第七页，共15页。画名钋210衰变原子数（每克每分钟）镭226衰变原子数（每克每分钟）Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.0假设：第一幅画是真品，则

铅210每分钟每克衰变数值不合理，因此为赝品。

同理可判别其他画的真伪。结论：第七页第八页，共15页。思考：古尸年代鉴定问题在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作C14年代测定，分析表明，与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前?第八页第九页，共15页。Thankyouforyourattention！第九页第十页，共15页。C14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度,这意味着在活体中，C14的数量与稳定的C12的数量成定比，生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少。第十页第十一页，共15页。设t时刻的原子数为y(t)，则有为物质的衰变常数。第十一页第十二页，共15页。设t时刻的原子数为y(t)，则有为物质的衰变常数。初始条件半衰期第十二页第十三页，共15页。解初值问题解:

分离变量得

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