2020-2021学年上海市上海中学高一下学期期中考试数学试题

上海中学2020学年第二学期高一年级数学期中考试2021.04一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.角度大小为7弧度的角是第________象限角2.用弧度制表示所有终边位于第四象限角平分线的角构成的集合________.3.函数的定义域是________.4.若角的始边落在轴正半轴，终边落在直线上，则________.5.已知角，且满足：，则角为________.6.已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________.7.在中，，，，则的面积为________.8.函数的单调递减区间为________.9.已知正六边形，若，，则用，表示为________.10.已知，则________.11.已知函数，满足：，且时，则当时，的最小值为________.12.在锐角三角形中，若，则的最小值是________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.命题：“角小于”是命题：“角是第一象限角”的（）条件.A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要14.若，的化简结果是（）.A.B.C.D.15.现给出以下4个命题：（1）对于任意的向量，都有；（2）已知向量，，，若且，则；（3）已知三个非零向量，，，则与不垂直；（4）已知向量，，则是“，中至少有一个是”的充要条件.其中正确的个数是（）A.3B.2C.1D.016.2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人貝目（如图①函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点，，两动点，，且，绕点逆时针旋转到所形成的角记为.设函数，，其中，，令，作随着的变化，就得到了的轨迹，其形似“蝴蝶”.则以下4幅图中，点的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（）图①图②ABCD三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分8分）已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影.18.（本题满分8分）已知的数（1）有解时，求实数的取值范围；（2）当时，总有，求定的取值范围.19.（本题满分10分）在中，角，，的对边分别为，，且.（1）求；（2）若，求的周长的取值范围.20.（本题满分10分）数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，也是应用数学解决实际问题的基本手段.某中学程老师根据实际情境提出如下问题：有一家具，其水平截面如图③所示（各邻边垂直）.一房间的门框宽（即房门两边墙之间距离）为0.9米，门框厚为0.28米，思考能否将家具水平移入房内.（注：门框高度及房内外空间不受限制，且移动时均不发生形变.）（1）如图④，（米），在移动家具时，为顺利过门，家具的两个边，紧贴，，设直线和直线的夹角为，家具的初始位置对应，与重合时可视为移动成功，延长交于点，设（米），请写出关于的函数（2）基于（1），请问家具能否移动成功？并说明理由.21.（本题满分12分）对于函数，，如果存在一组正常数，，…，，（其中为正整数），满足）使得当取任意实数时，有，则称函数具有“性质”.（1）判断以下函数是否具有“性质”，并说明理由：①函数②函数，对任意实数均成立；（2）证明：具有性质；（3）设函数，其中，，是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.答案及其解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.【答案】：一【解析】∶，所以第一象限2.【答案】：【解析】：由已知得，第四象限角平分线的角构成的集合为3.【答案】：【解析】：由得，定义域是4.【答案】：【解析】：由已知得，终边落在直线上，，5.【答案】：，【解析】：由已知得，，，，，又因为，所以，6.【答案】：【解析】：设正三角形边长为，外接圆的半径为，则，，∴7.【答案】：或【解析】：由已知得，，，或16，所以或8.【答案】：【解析】：由题意得，所以，所以9.【答案】：【解析】：10.【答案】：1【解析】：由切化弦得，∴，再由积化和差，∴11.【答案】：【解析】：由迭代递推得∴①当时，，，故的最小值②当时，，，，故的最小值为，综上所述，当时，的最小值为.12.【答案】：16【解析】：由已知得，，.：.所以，又因为所以所以，当且仅当时取到等号.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.【答案】：D【解析】：取，左推不出右，取，右推不出左，故选D14.【答案】：A【解析】：由，，得，故选A.15.【答案】：C【解析】：对于（1）对于任意的向量，都有，所以（1）错误；对于（2）已知向量，，，若且，只要保证和方向上的数量投影相等即可∴，故（2）错误；对于（3）：，垂直，故（3）错误；对于（4）：或，故（4）正确，故选C16.【答案】：B【解析】：本题比较抽象，考虑特殊情况.先考虑与共线的蝴蝶身方向，令，，要满足，故排除A，C；再考虑与垂直的方向，令，要满足，故排除D，故选B.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分8分）【答案】：见解析【解析】：由题意得，；则在方向上的投影：在方向上的数量投影：18.（本题满分8分）【答案】：见解析【解析】：（1）由已知得，所以（2）由已知得恒成立，则所以实数的取值范围为19.（本题满分10分）【答案】：见解析【解析】：（1），所以，（2）由已知得，，，，∴∴∴∴20.（本题满分10分）【答案】：见解析【解析】：，（2）由已知得，添加辅助线，要使家具能白移入房间内，则要求外抛角点到一边门框厚度的距离，设点距离所在直线距离为：（当且仅当），所以能移动成功.21.（本题满分12分）【解析】：（1）①由已知得，所以具