北京市朝阳区2021年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案

北京市朝阳区2021年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题本题共24分，每小题3分。第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1.下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：A2.用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为（）A.9 B.－9 C.1 D.－1答案：C3.正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（）A. B. C. D.答案：C4.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：C5.下列方程中，无实数根的方程是（）A. B.C. D.答案：D6.如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停止后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是（）A.指针指向黄色概率为B.指针不指向红色的概率为C.指针指向红色或绿色的概率为D.指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率答案：B7.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90º，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（）A. B. C. D.1答案：B8.如图，抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（）A. B. C. D.答案：A二、填空题本题共24分，每小题3分。9.如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为____cm．答案：1.510.如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB＝α，则∠BPC的度数为____（用含α的式子表示）．答案：11.一元二次方程的根为________．答案：12.下列事件，①通常加热到100℃，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°．其中是不确定事件的是____（只填写序号即可）答案：②13.在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图，则，，的大小关系为______（用“”连接）答案：14.响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______．答案：15.如图，平面直角坐标系xOy中，等边△ABC在的顶点A在y轴的正半轴上，B（，0），C（5，0），点D（11，0），将△ACD绕点A顺时针旋转60º得到△ABE，则弧BC的长度为____，线段AE的长为____，图中阴影部分面积为____．答案：①.②.14③.16.不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．下面有四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40所有合理推断的序号是_____．答案：②③三、解答题本题共31分，第17－20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分。17.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．答案：（1）由题意得：，解得；（2）由（1）及题意取当m=1时，此时方程为，∴方程的根为．18.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D（A，B，C，D是网格线交点）．（1）画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C是对应点（要求：△DEF是由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．（2）在（1）的条件下，网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．答案：（1）答案不唯一，如：．（2）C（0,0），F（4,2）．．19.已知：如图，△ABC中，C＝90°．求作：∠CPB＝∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；③连接BP，CP．∠CPB就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC，∵l为AB的垂直平分线，∴OA＝．∵∠ACB＝90°，∴OA＝OB＝OC．∴点A，B，C都在⊙O上．又∵点P在⊙O上，∴∠CPB＝∠A（）（填推理依据）．答案：（1）如图即为补全后的图形．（2）OB；同弧所对的圆周角相等．20.12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：（1）频数分布表中，m＝；（2）从70≤x＜75中，随即抽取2名学生，那么所抽取的学生，至少有1人是一班学生的概率是多少？答案：（1）总人数为2+0+3+7+8+0=20（人）m=20-3-7-5-2=3（人）（2）一班有2人，分别记为A，B；四班有3人，分别记为C，D，E.随即抽取2人的情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，至少有1人是一班的的情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE共7种，所以至少有1人是学生概率是.【点睛】本题考查了列举法求概率及概率公式．利用列举法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率21.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．（1）求证：是⊙O的切线；（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．答案：（1）证明：如下图所示，连接，∵D是弧BC的中点，即∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线.；（2）解：如下图所示，连接OC，∵∠CDA=30°，∴∠AOC=2∠CDA=60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝OD由（1）可得，AC∥OD，∴四边形ACDO既是平行四边形，也是菱形，∴CD=AC=2，∠CDO＝∠CAO＝60°，∠CDE=90°－60°＝30°，∵DE⊥AE,∠CED＝90°∴CE=1．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－3与直线y＝－x－1交于点A（－1，0），B（m，－3），点P是线段AB上的动点．（1）①m＝；②求抛物线的解析式；（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2＋bx－3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标答案：（1）①将点B（m，－3）代入直线y＝－x－1得：－3＝－m－1解得：m＝2，故答案为：2；②由①得点B（2,－3）∵点A（－1，0），B（2，－3）在抛物线y＝ax2+bx－3上，∴解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；（2）设点P的横坐标为x，其中－1≤x≤2，∴点P（x，－x－1），点Q（x，），∴PQ＝－x2+x+2，∴当时，PQ最大，此时点P的坐标是（，－）．23.在等腰直角△ABC中，AB＝AC，BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形；①求证：∠BDP＝∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．答案：（1）补全图形，如图．①证明：如图①，设PD与BC的交点为E．根据题意可知，∠CPD=90°．∵BC⊥l，∴∠DBC=90°．∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC=90°．∵∠BED=∠PEC∴∠BDP=∠PCB．②BC-BD=BP．证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F．∵AB=AC，A=90°，∴∠ABC=45°．∴BP=PF，∠PFB=45°．∴∠PBD=∠PFC=135°．∴△BPD≌△FPC．∴BD=FC．∵BF=BP，∴BC-BD=BP．（3）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于点H，如图③，∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC∴∠PDM=∠BCM∵∠ABC=∠ACB=45°∴∠HBP=45°∴∠DBP=45°∵∠BPH=90°∴∠BHP=45°∴HP=BP∴又∠DPC=90°∴∠HPC=∠BPD，在△HPC和△BPD中，∴△HPC≌△BPD∴BD=HC=HB+BC=∴BD-BC=BP．24.已知抛物线．（1）该抛物线的对称轴为______；（2）若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的函数表达式；（3）设点、在该抛物线上，若，求的取值范围．答案：（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴．（2）∵抛物线顶点在x轴上，对称轴为，∴顶点坐标为(-1，0)．将顶点坐标代入二次函数解析式得：，整理得：，解得：或．∴抛物线解析式为或；（3）∵对称轴为直线，∴点关于直线的对称点为，根据二次函数的性质分类讨论．（ⅰ）当m＞0时，抛物线开口向上，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，两点NN′外侧，则或；（ⅱ）当m＜0时，抛物线开口向下，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，两点内部，则．25.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1.给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B对应点分别为点A´，B´，线段AA´长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为d（AB，⊙O）．（1）若点A（4，0）．①当点B为（3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（2，0），P2（1，0），P3（1，0），P4（，0）中，连接点A与点的线段的长度为d（AB，⊙O）；②当点B为（4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A´的坐标；（2）若点A（4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是．答案：（1）①由题意知AB