江苏省苏州市苏州工业园区景城学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

2023－2024学年景城学校中学初三年级10月份月考数学试卷一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分）1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）A.ax2＋bx＋c＝0 B.x2－＝1 C.x2－1＝0 D.2x＋3y－5＝0【答案】C【解答】解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、x2－1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；D、2x＋3y－5＝0是二元一次方程，故本选项不符合题意．故选：C．2.已知二次函数y＝－3（x－2）2－3，下列说法正确的是（）A.对称轴为直线x＝－2 B.顶点坐标为（2，3）C.函数的最大值是－3 D.函数的最小值是－3【答案】C【解答】解：二次函数y＝－3（x－2）2－3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，－3），x＝2时，y有最大值为y＝－3，故选：C．3将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A.y＝（x－3）2＋4 B.y＝（x＋3）2＋4 C.y＝（x－3）2－4 D.y＝（x＋3）2－4【答案】A【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是y＝（x－3）2＋4故选：A．4.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元，设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（）A.3.2（1－x）2＝3.7 B.3.2（1＋x）2＝3.7 C.3.7（1－x）2＝3.2 D.3.7（1＋x）2＝3.2【答案】B【解答】解：由题意得：3.2（1＋x）2＝3.7，故选：B．5.关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】A【解答】解：∵△＝m2－4×1×（－8）＝m2＋32＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．6.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解答】解：A、根据一次函数图象知道a＜0，与y轴的交点不是（0，1），故选项错误；B、根据二次函数的图象知道a＜0，同时与y轴的交点是（0，1），但是根据一次函数的图象知道a＞0，故选项错误；C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），同时也知道a＞0，故选项正确；D、根据一次函数图象知道a＜0，根据二次函数的图象知道a＞0，故选项错误．故选：C．7.已知二次函数y＝ax2－4ax＋4，当a分别取两个不同的值时，函数值相等，则当时，y值为（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解答】解：∵y＝ax2－4ax＋4＝a（x－2）2－4a＋4，当x别取两个不同的值时，函数值相等，∴＝4，∴当x取时，y＝a（4－2）2－4a＋4＝4，故选：C．8.如图，抛物线y＝ax2＋c过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A.－1 B.–2 C．－3 D.–4【答案】B【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，∵四边形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，设A（m，m），则B（0，2m），∴解得am＝－1，m＝，∴ac的值为－2，故选：B．二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）9.一元二次方程（x－1）2＝2的根是．【答案】见试题解答内容【解答】解：x－1＝±，．10.关于x的一元二次方程x2－x－a＝0的一个根是2，则该方程的另一个根为．【答案】－1【解答】解：设该方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2＋t＝1，解得t＝－1，即该方程的另一个根为－1故答案为：－111.已知点在函数y＝3x2＋x＋12的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为．（用“＜”号连接）【答案】y3＜y1＜y2【解答】解：x＝－1时，y1＝3×（－1）2＋（－1）＋12＝14，x＝时，y2＝x＝时，y3＝，所以，y1，y2，y3大小关系为y3＜y1＜y2故答案为：y3＜y1＜y212.已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m值为．【答案】2【解答】解：∵点P（m，3）在二次函数y＝－ax2＋2ax＋3（a＞0）的图象上，∴3＝－am2＋2am＋3，∴－am（m－2）＝0，解得m＝2或m＝0（舍去），故答案为：213.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是m．【答案】5m【解答】解：设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为（100－2x）m，宽为（50－2x）m矩形，根据题意得：（100－2x）（50－2x）＝3600，整理得：x2－75x＋350＝0，解得：（不符合题意，舍去），∴小路的宽是5m．故选：5m14.已知a是方程x2＋3x－4＝0的一个根，则a3＋2a2－7a＋2的值为．【答案】－2【解答】解：将a代入x2＋3x－4＝0；得a2＝4－3a，∴a3＋2a2－7a＋2＝a（4－3a）＋2a2－7a＋2＝4a－（4－3a）－7a＋2＝－4＋2＝－2故答案为：－215.如果一个函数在某个自变量取值范围内有最大值和最小值，则最大值与最小值的差叫做这个函数在该自变量范围内的“值域差”如一次函数y＝x＋1，当0≤x≤1时，函数最大值为＝2，最小值＝1，则其值域差为－＝1，已知二次函数y＝x2－2x－1，当0≤x≤3时，该函数的“值域差”是．【答案】2【解答】二次函数y＝x2－2x－1的对称轴为＝1，1在0≤1≤3，∵a＞0，则当x＝1时，＝－2×1－1＝－2，x＝3时，＝－2×3－1＝2故答案为：216.如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q对称轴为x＝－3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N（－1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，求点P的坐标．【答案】（0，2）【解答】解：如图，∵抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝－3，点N（－1，1）是抛物线上的一点，∴解得．∴该抛物线的解析式为y＝－x2－6x－4＝－（x＋3）2＋5，∴M（－3，5）∵△PMN的周长＝MN＋PM＋PN，且MN是定值，所以只需（PM＋PN）最小．如图1，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．则（3，5）．设直线的解析式为：y＝ax＋t（a≠0），则，解得，故该直线的解析式为y＝x＋2当x＝0时，y＝2，即P（0，2）．同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点，连接，则只需与x轴的交点即为所求的点P（－，0）．如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长＝4＋MN；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长＝2＋MN；所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小．综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．图1图2三、解答题（本题共10小题，共82分）17.按指定的方法解下列方程：（1）（x＋2）2＝3x＋6；（2）x2＋4x＋2＝0；（用公式法）（3）．【答案】（1）（2）（3）【解答】解：（1）（x＋2）2＝3（x＋2）（x＋2－3）（x＋2）＝0（2）a＝1，b＝4，c＝2，△＝b2－4ac＝－4×1×2＝8＞0（3）4－（x＋2）＝x2－4x2＋x－6＝0（x＋3）（x－2）＝0，（舍）18.已知抛物线y＝x2＋（m－1）x－m，根据下列条件，分别求出m的值．（1）若抛物线过原点；（2）若抛物线的顶点在x轴上；（3）若抛物线的对称轴为直线x＝2【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵抛物线过原点，∴0＝＋（m－1）×0－m，解得m＝0；（2）∵抛物线的顶点在x轴上．∴△＝（m－1）2＋4m＝0解得：m＝－1；（3）∵抛物线的对称轴是直线x＝2，∴．解得m＝－319.已知关于x的一元二次方程kx2－（2k＋4）x＋k－6＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k＝1时，用配方法解方程．【答案】（1）k＞－且k≠0；（2）．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2－（2k＋4）x＋k－6＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2k＋4）2－4k（k－6）＞0，且k≠0，解得：k＞－且k≠0；（2）当k＝1时，原方程为x2－（2×1＋4）x＋1－6＝0，即x2－6x－5＝0，移项得：x2－6x＝5，配方得：x2－6x＋9＝5＋9，即（x－3）2＝14，直接开平方得：x－3＝±解得：．20.阅读下面的例题：解方程x2－|x|－2＝0解：（1）当x≥0，原方程化为x2－x－2＝0，解得（不合题意，舍去）（2）当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得（不合题意，舍去），，∴原方程的根是（3）请参照例题解方程x2－|x－1|－2＝0【答案】见试题解答内容【解答】解：当x≥1，原方程化为x2－x－1＝0，解得（不合题意，舍去）当x＜1时，原方程化为x2＋x－3＝0，解得（不合题意，舍去），．∴原方程的根是．21.等腰三角形一条边的边长为4，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2－16x＋k＝0的两个根，则k的值为多少？【答案】64【解答】解：当4为等腰三角形的腰时，将x＝4代入原方程得16－16×4＋k＝0，解得：k＝－48，此时原方程为x2－16x＋48＝0，即（x－12）（x－4）＝0，解得：，∵4＋4＝8＜12，∴4不能为等腰三角形的腰；当4为等腰三角形的底时，方程x2－16x＋k有两个相等的实数根，∴△＝（－16）2－4k＝256－4k＝0，解得：k＝64，此时，∵3、8、8可以围成等腰三角形，∴k＝64故答案为：6422.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？【答案】（1）26（2）当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元．【解答】解：（1）根据题意得：20＋3×2＝26（件），故答案为：26（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40－x）元，平均每天可售出（20＋2x）元，设商店可获得利润为w元，根据题意得：w＝（40－x）（20＋2x）＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250，∵－2＜0，x≤15，∴当x＝15时，w有最大值，最大值为1250，答：当每件商品降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润为1250元．23.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c．（1）当b＝4，c＝3时，求该函数图象的顶点坐标；（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．【答案】（1）（2，7）；（2）－2≤y≤7；（3）y＝－x2＋2x＋2【解答】解：（1）∵b＝4，c＝3时，∴y＝－x2＋4x＋3＝－（x－2）2＋7，∴顶点坐标为（2，7）．（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，∴抛物线的对称轴x＝在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，∴c＝2，又∵，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋224.已知：关于x的一元二次方程x2－（2m－3）x＋m2＋3m＋2＝0（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根满足，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵△＝[－（2m＋3）]2－4（m2＋3m－2）＝4m2＋12m＋9－4m2－12m－8＝1＞0∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根；解：（2）由原方程可得∴，∴，又∵，∴，∴经检验：符合题意．∴m的值为．25.如图，二次函数的图象与x轴交于A（－1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，CO＝5AO．（1）求二次函数的表达式；（2）若E是抛物线上一点（不与点D重合），若△BCE的面积等于△BCD的面积，求点E的坐标．【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5（2）30【解答】解：（1）∵AO＝1，CO＝5AO，∴OC＝5，即C的坐标为（0，5），∵二次函数的图象与x轴交于A（－1，0），B（5，0）两点且过C的坐标（0，5），设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入得：，解得，∴二次函数的解析式为y＝－x2＋4x＋5；（2）y＝－x2＋4x＋5＝－（x－2）2＋9，∴顶点的坐标为（2，9），过D作DE//BC，BC：y＝－x＋5，设过D（2，9）则联立，则E点坐标为（3，8）在直线BC下方还有两个点联立，则E点坐标为（6，－7），（－1，0）综上：E点坐标为（3，8），（6，－7）（－1，0）．26.如图，抛物线过点O（0，0），E（10