线性代数第三章08.04.22

考研数学应试指南PAGEPAGE74向量题型之一：类问题知识点、题型、解题技巧综述若，则（其中是的列数及的行数）.若时，的列向量是齐次线性方程的解向量.特别地，若为非零矩阵，则说明有非零解，于是必有或（若为阶方阵）.数值型矩阵求秩的一般方法.例题精解例1．设是矩阵，是矩阵，若，证明：.证明：对矩阵按列分块，记，则可以写成：.于是，.即的列向量均为齐次方程组的解,由于方程组解向量组的秩为，所以.即，部分组的秩不超过向量组的秩.而，故.点评：本题给出了常性质的理论证明.证明关键点是（1）当成立时，的列向量是齐次线性方程组的解向量；（2）部分组的秩不超过向量组的秩.例2．设为三阶非零矩阵，且，则.解：由于，则因为，则于是，，欲使，只要.点评：或者：因为且，所以有非零解，故.例3．（04数1，2—4）设为满足的任意两个非零矩阵，则.（A）的列向量组线性相关，的行向量组线性相关；（B）的列向量组线性相关，的列向量组线性相关；（C）的行向量组线性相关，的行向量组线性相关；（D）的行向量组线性相关，的列向量组线性相关.解：因为，则的列向量组是齐次线性方程组的解向量组.而，故有非零解的列向量线性相关.,的列向量组是齐次线性方程组的解，而，故有非零解的列向量组（即，的行向量组）线性相关.故，应选（A）.例4．已知，为三阶非零矩阵，且，则下列结果中正确的是.（A）时，的秩必为1；（B）时，的秩必为2；（C）时，的秩必为1；（D）时，的秩必为2；解：因为，所以.又，则.于是，.而，则当时，，于是.综合以上：当时，.故，应选（C）.例5．矩阵又存在3阶非零阵，使，则.解：由得，又，则.于是，，故.例6．设矩阵，为三阶矩阵，且满足，则当满足条件时，.解：因为所以.又，故可为任意实数.例7．矩阵又存在3阶非零阵，使，则.解：由得，又，则.于是，，故.例8．设A为矩阵，B为矩阵，且，其中，证明：B的列向量组线性相关。证明：设其中为的三个列向量，由知，即均为的解，而的基础解系所包含的解向量的个数为，故必线性相关，即的列向量组线性相关。例9．设是矩阵，是矩阵，若，证明：.证明：对矩阵按列分块，记，则可以写成：.于是，.即的列向量均为齐次方程组的解,由于方程组解向量组的秩为，所以.即，部分组的秩不超过向量组的秩.而，故.点评：本题给出了常性质的理论证明.证明关键点是（1）当成立时，的列向量是齐次线性方程组的解向量；（2）部分组的秩不超过向量组的秩.题型之二：向量组相关性的判定与性质知识点、题型、解题技巧综述向量组线性相关与线性无关的概念：对于向量组，若存在不全为零的实数使得成立，则称之为线性相关的向量组；而只有当时，才能成立时，称向量组线性无关.令，则，于是向量组线性相关相当于齐次线性方程组存在非零解，而线性无关相当于齐次线性方程组只有零解.向量组线性相关性的求秩判别法：线性相关的充分必要条件是以为列向量的矩阵其秩小于；而其线性埠头的充分必要条件是该矩阵的秩等于.向量组线性相关性的行列式判别法：当是个维向量时，其线性相关的充分必要条件是行列式；而其线性无关的充分必要条件则是.当是个维向量时，若，则必线性相关.设为维单位初始向量组，则其必线性无关.若是一组线性无关的向量组，则其任何一个部分组均线性无关；若存在一个线性相关的部分组时，则其必线性相关.无关组加分量后仍无关；相关组减分量后仍相关.对于抽象向量组线性关系的判定或证明常用定义法.10．含零向量的向量组必线性相关.例题精解例1．（05数1，2，3，4—4）设是的两个不同的特征值，对应的特征向量为，则线性无关的充分必要条件是.（A）；（B）；（C）；（D）.解法（一）：显然，.而线性无关的充要条件是：恒为零.,恒为零.由于是互异特征值所对应的特征向量，则必线性无关.则只有零解.故，应选（B）.解法（二）：因为，由于是互异特征值所对应的特征向量，则必线性无关.于是，.线性无关的充要条件是：，而的充要条件是：矩阵可逆.则.应选（B）.例2．（91数3—6）试证明维列向量组无关的充分条件是：.证明：令，则，于是，而线性无关的充分必要条件是：.例3．（91数1—6）设是矩阵，是矩阵，且，若，证明：的列向量组线性无关.证明：令，，用左乘，得,故线性无关.例4．设其中：为任意实数，则.（A）必线性相关；（B）必线性无关；（C）必线性相关；（D）必线性无关.解：因为，所以向量组线性无关.故，在向量组中每向量都添加一个分量所得之向量组必线性无关（即，无关组添分量后仍无关）.又因为，其值可能为零，也可能不为零，即既可能线性相关又可能线性无关,于是（C），（D）均不正确.综合以上，应选（B）.点评：本题考查的知识点为：（1）判定向量组相关性的行列式法；（2）无关的向量组添分量后仍无关；（3）简单行列式的计算.例5．设是阶矩阵，是维列向量，若，，证明：向量组线性无关.证明：由于是抽象向量组，故证明采用定义法.令.由于，则，，……用去左乘（1）得：，故.代入（1）有，.再用去乘（2）得：，于是有.类似地，可以推出，则由定义可知向量组线性无关.点评：证明抽象向量组的线性关系时一般总是用定义法.例6．设是阶矩阵，是维列向量，若，，，证明向量组线性无关.证明：设，由于，，，则用去左乘（1）得，.再用去左乘（2）式得，.因为，故.先后代入到（2）和（1）式可得：.因此，只有当时，（1）才能成立，则由定义可知向量组线性无关.点评：证明的关键是在（1）的两端左乘矩阵，然后利用已知的，，，便可推出各组合系数.例7．(01数4—8)设是维实向量，且线性无关.已知是线性方程组的非零解，试判断向量组的线性相关性.解：令，因为是线性方程组的非零解，则.即，.于是，用左乘（1）式的两端，并把代入得：.因为，所以，故必有，代入到（1）式，得.因为线性无关，所以（3）中的时，（3）式才成立.从而向量组线性无关.点评：按题中所述线性方程组的向量形式为，则当是其解向量时，成立.因此，找到了这一重要条件后，可用去左乘（1）式，从而使问题迎刃而解.例8．（06数3,4—4）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是.（A）若线性相关，则线性相关；（B）若线性相关，则线性无关；（C）若线性无关，则线性相关；（D）若线性无关，则线性无关.解：因为，且线性相关，则.又，及所以，故此时线性相关.（A）入选.例9．设是阶矩阵，是矩阵的两个不同的特征值，是的属于的线性无关的特征向量，是属于的特征向量，证明：（1）线性无关；（2）不是的特征向量.证明：（1）令用A左乘此式得，注意到，则有而于是有，因为，线性无关，则且于是，线性无关；（2）用反证法：假设是的特征值，则由定义有：由（1）可知线性无关，故由定义必有：而这与矛盾.故，不是的特征向量.点评：本题考查特征值与特征向量的概念；线性相关性的定义.例10．已知维向量满足关系，是任意三维向量，要使总线性相关，应取.解：因为n维向量满足关系，所以必线性相关.又因为总线性相关，所以对于任意的一组不全为零的数都有：成立.不妨设，则，只即可使任意的满足.故，（D）入选.例11．设是三阶矩阵，是线性无关的三维向量，且，（1）证明：；（2）若，求.解：（1）证明：由题设，即，.令.线性无关，可逆.于是，在的两端右乘得：.（2）由题设可得：则即，，解矩阵方程可得：.例12．设为个线性无关的维列向量组，和是和均正交的维列向量，证明：和线性相关.证明：令，则由题意可知：及.于是，.即为齐次线性方程组的两个解向量，而的基础解系有个解向量，故解向量和必定线性相关.例13．设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数,必有.（A），线性无关；（B），线性相关；（C），线性无关；（D），线性相关.解：依题意，线性无关.（否则，能由线性表示，矛盾！）由于可由线性表示，因此而初等变换不改变向量组的线性关系，则由线性无关，可以立即推出，线性无关.同理，当时，无关，则无关.当时，=由于可经线性表示，故线性相关.例14．设为矩阵，为矩阵，且.其中：证明：的列向量组线性相关.证明：由可知，而是数值型矩阵，容易求得其秩为:,故.记，则.于是，由向量组线性关系的求秩判别法可知的三个列向量一定线性相关.点评：本题可以另证为：令由知，即是齐次线性方程组的解，而的基础解系所包含解向量的个数为：故必线性相关.例15．已知：线性相关，求证：亦线性相关.解：因为线性相关，不妨设可经线性表示.所以可经线性表示.于是，线性相关.点评:,则这两组向量有相同的线性关系.于是,当线性相关时,亦线性相关.例16．设向量组是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即，试证明：向量线性无关.证明：令则，,用左乘此式得:.由于，故.于是，，因为，，所以，又因为线性无关，故代入上式得，因此，向量组线性无关.例17．若线性无关，则当时，也线性无关.解：令则，线性无关可逆例18.向量组线性相关，向量组线性无关，问：（1）能否由线性表示？证明你的结论.（2）能否由线性表示？证明你的结论.解：（1）由于线性无关，则亦无关，而线性相关，于是能否由线性表示，且表达式唯一.（2）不能由线性表示.若不能由线性表示，则由（1）的结论，必可由线性表示，则线性相关，这与题设相矛盾.点评：本题考查向量组线性相关性的主要性质定理.例19.设为三维非零向量,则.（A）若线性无关,则必有线性无关;（B）若线性相关,则必有线性相关;（C）不能由线性表示,则必线性相关;（D）能由线性表示,则必线性无关.解:可用反证法证明（C）项正确.若线性无关,又已知不能由线性表示,则线性无关,这和四个三维向量必线性相关矛盾,故选（C）.点评:本题考查线性相关性的概念与性质.注意以下两个知识点:(1)当维数小于向量组所含向量时,这组向量必线性相关.(2)对于一组线性无关的向量,此时再另加进去一个向量时它线性相关,则该向量必能被这组无关的向量线性表示,并表示法是唯一的.至于(A),(B),(D)不正确可以举出反例,请考生自己完成.例20．设三阶矩阵，及，已知：线性相关，则.解：由于则线性相关成立.即，或者：线性相关的秩小于2.,因此当时，线性相关.例21．若向量组线性无关；线性相关，则.（A）必可由线性表示；（B）必可由线性表示；（C）必可由线性表示；（D）必可由线性表示.解：因为线性相关，所以线性相关.（部分向量相关时，整组向量必相关）.而在中，线性无关，那么由定理可得：必可由线性表示，且表示式唯一.例22．设线性无关，则.（A）；（B）；（C）；（D）；（E）.解：令则.于是，当时，.例23．设向量组，若此向量组的秩为2，则.解:取向量组的前三个分量构成向量组,则线性相关,否则添加分量后得仍无关,与已知矛盾.从而有,得.例24．（05数3-4）设行向量组线性相关，且，则.解：因为线性无关，所以.例25．设四维列向量线性无关，且与四维列向量均正交.证明：线性相关.证明：由题意有，于是构造矩阵，则.于是，是齐次线性方程组的解向量.那么，.故，向量组线性相关.点评：由向量组与正交得，从而想到构造齐次线性方程组（其中：），使问题用方程组的理论来解决.这里还用到了一个重要的知识点“齐次线性方程组有限个解向量的秩不超过其基础解系中解的个数.”例26．设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是.（A）若线性相关，则线性相关；（B）若线性相关，则线性无关；（C）若线性无关，则线性相关；（D）若线性无关，则线性无关.解：因为，且线性相关，则.又，及所以，故此时线性相关.（A）入选.例27．设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数,必有.（A），线性无关；（B），线性相关；（C），线性无关；（D），线性相关.解：依题意，线性无关.（否则，能由线性表示，矛盾！）由于可由线性表示，因此而初等变换不改变向量组的线性关系，则由线性无关，可以立即推出，线性无关.同理，当时，无关，则无关.当时，=由于可经线性表示，故线性相关.例28．设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组（I）线性表示，记向量组（II）为，则.（A）不能由向量组（I）线性表示，也不能由向量组（II）线性表示；（B）不能由向量组（I）线性表示，但可由（II）线性表示；（C）能由向量组（I）线性表示，也能由向量组（II）线性表示；（D）能由向量组（I）线性表示，但不能由向量组（II）线性表示.解：首先证明不能由向量组（I）线性表示.用反证法：若能由向量组（I）线性表示，由于可由向量组线性表示，则可由向量组线性表示，这与题设相矛盾.故，不能由向量组（I）线性表示，（C）、（D）不正确.下面证明能由向量组（II）线性表示.因为可由向量组线性表示，即则，否则，那么可由向量组线性表示，这与假设矛盾.故，即可经向量组线性表示.点评：一般地，欲证明一向量不能被一组向量线性表示时，要用反证法.例29．设其中：为任意实数，则.（A）必线性相关；（B）必线性无关；（C）必线性相关；（D）必线性无关.解：因为，所以向量组线性无关.故，在向量组中每向量都添加一个分量所得之向量组必线性无关（即，无关组添分量后仍无关）.又因为，其值可能为零，也可能不为零，即既可能线性相关又可能线性无关,于是（C），（D）均不正确.综合以上，应选（B）.点评：本题考查的知识点为：（1）判定向量组相关性的行列式法；（2）无关的向量组添分量后仍无关；（3）简单行列式的计算.例30．设向量组线性无关，则下列向量中，线性无关的是.（A）；（B）；（C）；（D）.解：（A）；因为，故不可逆，于是.又向量组线性无关，则矩阵可逆，而可逆阵乘任何矩阵都不改变其秩，那么，从而线性相关.同理，（B），（D）都线性相关.而对于（C），由于.因为.故，可逆.从而，.于是，（C）中向量线性无关

.点评：可逆矩阵与任何其他矩阵之积仍为可逆阵；可逆阵都是满秩的；满秩时向量组必线性无关.例31．设线性无关，则.（A）；（B）；（C）；（D）；（E）.解：令则.于是，当时，.例32.设为三维非零向量,则.（A）若线性无关,则必有线性无关;（B）若线性相关,则必有线性相关;（C）不能由线性表示,则必线性相关;（D）能由线性表示,则必线性无关.解:可用反证法证明（C）项正确.若线性无关,又已知不能由线性表示,则线性无关,这和四个三维向量必线性相关矛盾,故选（C）.点评:本题考查线性相关性的概念与性质.注意以下两个知识点:(1)当维数小于向量组所含向量时,这组向量必线性相关.(2)对于一组线性无关的向量,此时再另加进去一个向量时它线性相关,则该向量必能被这组无关的向量线性表示,并表示法是唯一的.至于(A),(B),(D)不正确可以举出反例,请考生自己完成.例33．维向量组线性无关的充分必要条件是.（A）存在一组不全为零的数使得；（B）中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；（C）中任意两个向量都线性无关；（D）中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.解：有定理：向量组线性相关的充分必要条件是，其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.该定理的逆否命题为：无关的充分必要条件是，中任一向量都不能由其余个向量线性表示.故选（D）.例34．设均为维向量，则下列结论正确的是.（A）若，则线性相关；（B）若对于任一组不全为零的数，都有，则线性无关；（C）若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有；（D）若，则线性无关.解：由相关性的定义可知，选（B）.例35．若向量组线性无关；线性相关，则.（A）必可由线性表示；（B）必可由线性表示；（C）必可由线性表示；（D）必可由线性表示.解：因为线性相关，所以线性相关.（部分向量相关时，整组向量必相关）.而在中，线性无关，那么由定理可得：必可由线性表示，且表示式唯一.例36．下列向量组中，线性无关的向量是.（A）;（B）；（C）；（D）.解：对于选项（A），由于其中含有零向量，故必线性相关.对于选项（B），由于维数小于向量组所含向量的个数，故必线性相关.对于选项（C），由于.故，由行列式别法可知该向量组必线性相关.对于选项（D），由于，故向量组线性无关，而向量组各分量在对应位置上添加分量后可得向量组，故此向量组必线性无关.（无关组添分量后仍无关.）综合以上，应选（D）.点评：本题考查的知识点为：（1）判定向量组相关性的行列式法；（2）无关的向量组添分量后仍无关；（3）简单行列式的计算；（4）含零向量的向量组必线性无关；（5）例37．已知：向量组线性无关，则向量组.（A）线性无关；（B）线性无关；（C）线性无关；（D）线性无关.解：已知线性无关，则.（A）（B）（C）（D）容易计算（C）中的矩阵秩为4.从而（C）正确.点评:此类题目一般有三种解题思路.思路一：定义法设已知线性无关，讨论与有关的另一组向量的线性相关性，具体步骤如下：（1）设（2）将上式转化为关于的线性组合；（3）由线性无关可知，其系数全为零，由此可得一个关于的齐次线性方程组，解此方程组，或判断此方程组的解的情况，从而确定向量组的线性相关性.思路二：利用矩阵的秩判定.此时，线性无关.（满秩阵乘矩阵，不改变矩阵的秩.）思路三：利用向量的等价性证明.若线性无关，且与等价，则，若则线性相关；若,则线性无关.例38．设向量组线性无关，则下列向量组线性无关的是.（A）；（B）；（C）；（D）.解：方法（一）：对于（A），令.则.因为，向量组线性无关，所以有：而上述齐次线性方程组的系数行列式.故齐次线性方程组有非零解，于是向量组线性相关.类似地，对于（B），有齐次线性方程组的系数行列式.故齐次线性方程组有非零解，于是向量组线性相关.对于（C），有齐次线性方程组的系数行列式.故，齐次线性方程组只有零解，所以向量组线性无关.对于（D），有齐次线性方程组的系数行列式.故齐次线性方程组有非零解，于是向量组线性相关.方法（二）：（只对（C）进行验证.）.因为，，所以矩阵可逆.又线性无关，于是线性无关.点评：在等式中若可逆，则与有相同的秩.这一知识点在考研数学中时常出现，请考生注意.例39．已知向量组（I）：和（II）的秩分别为，则.（A）线性相关；（B）线性无关；（C）可由线性表示；（D）可由线性表示.解：因为,所以线性无关.于是，其部分组亦线性无关.又，故是向量组的一个极大线性无关组.于是，可由线性表示，即,于是可由线性表示.点评：本题考查向量组秩与其相关性的关系，向量组与其部分组的关系，极大无关组与其向量组的关系及线性表示等多个知识点.例40．假设是阶方阵，其秩那么在的个行向量中.（A）必有个行向量线性无关；（B）任意个行向量线性无关；（C）任意个行向量都构成极大无关组；（D）任意一个行向量都可以由其余个行向量线性表示.解：令，则.故，中极大无关有r个向量，于是选（A）.例41．设为维列向量组，为阶方阵，则下列命题正确的是.（A）若线性无关，则必线性无关；（B）若线性无关，则必线性相关；（C）若必线性无关，则线性相关；（D）若必线性无关，则线性无关.解：若线性无关，则.然而，这表明当，且线性无关时，有.从而推知，线性无关.但当时，有，从而可推知，线性相关，所以（A），（B）均不正确.若线性相关，则，这表明纵有，但只要，仍有，但线性无关，故（C）不正确.若线性无关，则，故必有，从而线性无关.综上：选（D）.例42．（07SHU3，4—4）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是.（A）；（B）；（C）；（D）.解：对于（A）项，因为，且，则矩阵不可逆.又因为线性无关，则，于是，从而向量组线性无关.对于（B）项，因为，所以线性无关.对于（C）项，因为，所以线性无关.同理（D）中向量也线性无关.于是正确答案为（A）.例43．若,且已知线性无关,则的取值为.(A)(B)(C)(D)且解:由线性无关,则由,必有,故正确答案为(A).例44．已知随机变量，又维向量线性无关，则向量线性相关的概率为()(A)(B)(C)(D)解：设存在常数，使得即因为线性无关，所以有要使向量线性相关，则有不全为零，也就是上面的方程组有非零解，因此问题转化为求上述方程有非零解得概率，即系数行列式为零的概率。因为方程组的系数行列式为所以例45．设向量组线性无关，向量可由线性表示，向量不能由线性表示，则必有.（A）线性无关；（B）线性无关；（C）线性相关；（D）线性相关.解：因为向量组线性无关，向量不能由线性表示，所以线性无关，从而线性无关，故选（B）.例46.设为三维非零向量,则.（A）若线性无关,则必有线性无关;（B）若线性相关,则必有线性相关;（C）不能由线性表示,则必线性相关;（D）能由线性表示,则必线性无关.解:可用反证法证明（C）项正确.若线性无关,又已知不能由线性表示,则线性无关,这和四个三维向量必线性相关矛盾,故选（C）.点评:本题考查线性相关性的概念与性质.注意以下两个知识点:(1)当维数小于向量组所含向量时,这组向量必线性相关.(2)对于一组线性无关的向量,此时再另加进去一个向量时它线性相关,则该向量必能被这组无关的向量线性表示,并表示法是唯一的.至于(A),(B),(D)不正确可以举出反例,请考生自己完成.例47．设三阶矩阵已知：线性相关，则.解：由于则线性相关成立.即，或者：线性相关（）的秩小于2.（）=,因此当a=-1时，线性相关.例48．已知：线性相关，则.解：令当时，，（即线性相关）或：线性相关中任意三阶子式为零.故.例49.向量组线性相关，向量组线性无关，问：（1）能否由线性表示？证明你的结论.（2）能否由线性表示？证明你的结论.解：（1）由于线性无关，则亦无关，而线性相关，于是能否由线性表示，且表达式唯一.（2）不能由线性表示.若不能由线性表示，则由（1）的结论，必可由线性表示，则线性相关，这与题设相矛盾.点评：本题考查向量组线性相关性的主要性质定理.例50．设均为维非零列向量，是互不相同的常数，已知：如果使得成立，则成立：，，，.证明：线性无关.证明：题中的个等式可分别写成：；；；；………………………...于是，有.由于所以Vandermonde行列式，从而可逆，在等式两边右乘的逆阵可得：，而，故时才能使成立.于是由定义可知：向量组线性无关.例51．设向量组是的一个基础解系，向量不是的解，即试证明：线性无关.证明：令则用A左乘上式两端得：由于，，则必有：即因为线性无关，故则由定义，结论成立.例52．设是非齐次线形方程组的两个不同的解（）。是对应的齐次线形方程组的一个非零解，证明：（1）向量组线性无关。(2)若秩，则向量可以由线性表示解：（1）反证法：假设和线性相关，则存在不全为零的实数，使得即若必然，但与题设矛盾。若，则，代入方程得即与题设矛盾。所以假设不成立。故线性无关。(2)若秩则的基础解系的向量个数为因为是的不同解，故是的非零解，可构成其解基，而是的解，故可由线性表示。例54．已知维向量组线性无关，若可用线性表示为：，证明：线性无关的充分必要条件是:.证明：记，.（必要性）若线性无关，则.又，因此，即矩阵可逆，于是.（充分性）若，即矩阵可逆，那么.所以，线性无关.点评：本题的结论十分重要，请考生务必牢记并能正确应用才行.例55．设向量组线性无关，试证：向量组线性无关的充要条件是为奇数.证明：令整理得，由线性无关可知：于是，线性无关仅有零解系数行列式为不零.故线性无关的充要条件是为奇数.点评：本题主要考查（1）线性相关性的概念；判定；（2）齐次线性方程组解的判定；（3）阶行列式的计算.例56．设均为三维列向量，且线性无关，也线性无关，证明存在非零向量，使得既可由线性表示也可由线性表示.当，，，时，求出所有的向量.证明：由于是四个三维向量，故必线性相关.于是，存在不全为零的数使得.其中：必不全为零（否则，为，且不全为零，这与线性无关相矛盾）.同理，也不全为零.于是，.令，则存在非零向量，使得既可由线性表示也可由线性表示.对于，，，，解方程组求其通解可知：.点评：本题考查向量组线性相关性的概念、判定；齐次线性方程组通解的求法.例57．已知：线性相关，求证：亦线性相关.解：因为线性相关，不妨设可经线性表示.所以可经线性表示.于是，线性相关.点评:,则这两组向量有相同的线性关系.于是,当线性相关时,亦线性相关.例58．设向量组是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即，试证明：向量线性无关.证明：令则，,用左乘此式得:.由于，故.于是，，因为，，所以，又因为线性无关，故代入上式得，因此，向量组线性无关.例59．设为个线性无关的维列向量组，和是和均正交的维列向量，证明：和线性相关.证明：令，则由题意可知：及.于是，.即为齐次线性方程组的两个解向量，而的基础解系有个解向量，故解向量和必定线性相关.例60．设是阶矩阵，是矩阵的两个不同的特征值，是的属于的线性无关的特征向量，是属于的特征向量，证明：（1）线性无关；（2）不是的特征向量.证明：（1）令用A左乘此式得，注意到，则有而于是有，因为，线性无关，则且于是，线性无关；（2）用反证法：假设是的特征值，则由定义有：由（1）可知线性无关，故由定义必有：而这与矛盾.故，不是的特征向量.点评：本题考查特征值与特征向量的概念；线性相关性的定义.例61．是一组n维向量，且每一个都不能被它前面的向量线性表示，证明：线性无关.证明：则必有否则这与题设矛盾，从而有同理可以推出，进一步有：.由定义线性无关.例62．设向量组线性无关，向量可用它们线性表示，向量不能用它们线性表示，证明向量组，线性无关.解：令，则.否则，，又向量可用线性表示，故，代入上式得：，这与不能用线性表示相矛盾，于是，，线性无关，故，从而向量组：，线性无关.例63．证明：如果可由线性表示，则线性相关.证明：因为可由线性表示，故可设.如果，即，亦即.由于齐次线性方程组中，方程的个数小于未知数的个数，因此方程（4）必有非零解.那么取为此方程组的非零解，可知有不全为0的使（1）成立，故线性相关.点评：本题其实是教材中一个定理的特例，即若多数向量可用少数向量线性表示，则多数向量一定线性相关.上述证明用矩阵描述是简捷的：.例64．设是个线性无关的维列向量，是与均正交的维非零列向量.证明：（1）线性相关；（2）线性无关.证明：（1）令，则为矩阵，且.由已知有：，即，.说明是齐次线性方程组的两个解向量，但的基础解系所含解向量的个数为，故解向量必线性相关.（2）设，则.由于，则用左乘上式得：，即.因为，所以，从而有，由于线性无关，得，故线性无关.题型之三：向量与矩阵的秩及等价性讨论知识点、题型、解题技巧综述1．若向量组与向量组等价，则2．若时，向量组与未必等价.3．若两个向量组向量个数相等且等价时，可推知以由这两个向量组所构成的分块矩阵亦等价.即当时，则分块矩阵与等价.4．若两个向量组所含向量的个数不同且等价时，则由这两个向量组所构成的分块矩阵不一定等价.即当时，则分块矩阵与不一定等价.5．当矩阵与等价时，向量组与不一定等价.6．当矩阵与等价时，向量组与未必等价.7．矩阵与等价的充分必要条件是.8．矩阵的秩等于该矩阵行向量组的行秩及列向量组的列秩.例题精解例1．设维列向量组线性无关，则维列向量组线性无关的充分必要条件为.（A）向量组可由线性表示；（B）向量组可由线性表示；（C）向量组与等价；（D）矩阵与矩阵等价.解：令为（I）；为（II），则（II）线性无关.对于选项（A），若（I）可由（II）线性表示，则（即，无关组被另一组向量线性表示时，该无关组所含向量的个数和不超过另一组向量所含向量的个数），又因为（I）线性无关，有，从而，即线性无关.那么，当时，条件（A）必要吗？亦即如果向量组（I）与（II）均线性无关，能否保证（I）可由（II）线性表示？设则与均线性无关，但不能由线性表示.事实上.故（A）仅是充分条件，而非必要条件.对于选项（B），若向量组（II）可由（I）线性表示，则，即有，所以的线性无关不能确定.（B）不是充分条件.那么条件（B）必要吗？即向量组（I）与（II）均线性无关，能否保证（II）必可由（I）线性表示？（A）中反例说明（B）也不是必要条件，因此条件（B）既不充分也不必要.对于选项（C），向量组（I）与（II）等价，即（I）与（II）可互相线性表示.由（A），（B）知（C）只是充分条件.对于选项（D），矩阵与等价是指初等变换后矩阵可转换成矩阵，与等价的充分必要条件是.如果矩阵与等价，则，因为向量组无关，则.从而于是，向量组线性无关，充分性成立.反之，若向量组（I）与（II）均线性无关，则从而.即矩阵与等价，必要性成立.所以应选（D）.例2．设阶矩阵与等价，则必有.当时，；（B）当时，；当时，；（D）当时，.解：若与等价，则.则当时，，于是必有，从而有.点评：与等价系指由和所表示的行（列）向量组等价.或两矩阵经有限次初等变换可互相转化.注意与等份的充分必要条件是:.例3．设与均为阶矩阵，且与等价，则不正确的命题是.（A）若，则；（B）若，则存在可逆矩阵使；（C）存在可逆矩阵使；（D）若等价于单位阵，则是非奇异矩阵.解：因为矩阵与等价系指由经有限次初等变换可以变为矩阵，且与等价的充分必要条件是.于是，当与等价时，它们有相同的可逆性.这样当时，矩阵也可逆，由可逆的充分必要条件可知成立.故（B）正确.同时，当与等价时，.由初等变换与初等矩阵的关系，知.故（C）成立.当于单位阵等价时，，可逆从而矩阵亦可逆.故（D）成立.综合以上：应选（A）.事实上，如果即满秩，则也是满秩的，但不能保证.例如，即与等价，而，.点评：本题考查矩阵等价的概念与矩阵等价的判定.例4．设是矩阵，若经过若次初等行变换得到矩阵，那么下列命题的行向量可由的行向量线性表出；的列向量可由的列向量线性表出；的行向量组与的列向量组等价；的列向量的极大无关组可由的列向量组来确定.中正确的有.（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个.解：因为，所以存在一系可逆矩阵，使得.若令，则.即，.于是，的行向量可由的行向量线性表出.因为，则.即，.故，的行向量也可由的行向量线性表示.综合以上：命题（1）和（3）都成立.若令，，则由可得：.由于矩阵可逆，则.于是，与对应的列向量组有相同的线性相关性.故，命题（4）成立.而对于命题（2），举反例说明如下：设，显然与不能互相线性表示,故命题(2)不成立.点评：当两个向量组等价时,以这两个向量组为列(行)向量构成的矩阵也不等价的；注意此逆命题不真.即，两个矩阵等价时，其对应的列（行）向量组未必等价.这一结论请考生牢记.例5．设向量组（I）：和向量组（II）：问：当为何值时，向量组（I）与向量组（II）等价？当为何值时，向量组（I）与向量组（II）不等价？解：所谓等价就是两组向量能相互线性表示，若要用线性表示，只要，只要.一般地，若要用线性表示，只要. 当时，.即，（II）可以被（I）唯一地线性表示.而此时，即又均为非零向量，于是即，（I）此时也可被（II）唯一地表示.当时，由于，线性方程组无解，即不能被（I）线性表示.点评：本题考察线性方程组解的判定方法；向量组等价的概念.其实是要判定六个方程组是否有解，如果作六次判定，显然太麻烦.现将六个向量放在一起，求所构成的矩阵的秩是本题求解时的一个重要技巧.例6．已知：向量组（I）；（II）；（III）.如果求证：向量组的秩为4.解：线性无关，从而亦线性无关.线性相关.于是，可经线性表示，且表示式唯一.即，显然，.由于线性无关，故.点评：本题考查向量组线性相关性的主要定理.例7．设向量组（I）：；（II）：，，.问：取何值时，，且（I）与（II）等价？取何值时，，但（I）与（II）不等价？解：令，则时，，所以有.由Cramer法则此时线性方程组和均有解.这表明（I）与（II）等价.当时，，和的系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，故均有解.所以此时且（I）与（II）等价.当时，.但的系数矩阵和的秩为2，而增广矩阵的秩为3.故无解.从而不能由线性表示，此时（I）与（II）不等价.当时，.但系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3.故无解.从而不能由线性表示，此时（I）与（II）不等价.点评：本题考查向量组等价的概念及性质.例8．已知向量组（I）：与向量组（II）：，，有相同的秩，且可由线性表示，求：的值.解：因为向量组与等价，所以.而不含参数，则（II）的秩可求出..故，且线性无关，可由线性表示：.显然，，则.又因为可由线性表示，而可由线性表示，即得线性相关，所以.（1），（2）联立解之得.点评：此题还可以解为：因可由线性表示，所以方程组有解.此时方程组系数矩阵的秩应与其增广矩阵的秩相等，因为，所以根据线性方程组解的判定定理可知：.容易求得，故.例9．下列命题中正确的是.阶矩阵等价的必要条件是的列向量组等价；阶矩阵等价的充分条件是与同解；阶矩阵相似的充分必要条件是具有相同的特征值；阶矩阵相似的充分必要条件是具有相同的特征多项式.解：对于（A），当矩阵等价时，其列向量不一定等价.如：，，，但其列向量组不等价；而当其列向量组等价时，必有.故，的列向量组等价是的充分非必要条件.对于（B），当与同解时，，而.于是，阶矩阵等价的充分条件是与同解.对于（C），（D）只是必要条件，而非充分条件.点评：本题考查矩阵等价，向量组等价，相似与特征值；相似与特征多项式；同解与系数阵等价等多个知识点.例10．设是矩阵，且而，则.解：因为，所以可逆，于是可以表示成为一系列初等矩阵之积的形式：故，即而初等变换不改变矩阵的秩，则.例11．设，求：.解：因为且，所以.点评:若可逆，则；若可逆，则.即可逆乘任何一个矩阵都不改变该矩阵的秩.例12．已知四维列向量线性无关，若非零且与均正交，则.1；（B）2；（C）3；（D）4.解：设，那么与都正交，即.亦即是齐次线性方程组的非零解.由于线性无关，故系数矩阵的秩为3.所以基础解系为1个解向量.从而.故，应选（A）.点评：本题考查了向量组正交的概念，齐次线性方程组解的判定，基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系等一系列知识点.例13．设向量组：，，；：，，，记，，则.（A）与等价，但与不等价；（B）与不等价，但与不等价；（C）与等价，且与等价；（D）与不等价，且与不等价.解：由，，知，，因为，所以与等价.由，知线性方程组无解，故不能由线性表示，从而与不等价.综上所述本题应选（A）.例14．已知向量组，，则在下列各组向量中，向量组应为.（A），，；（B），，；（C），，；（D），，.解：对于（A），因为，且，则矩阵可逆，于是当时，.对于（B），因为，且，则矩阵可逆，于是当时，.对于（C），因为，且，则矩阵可逆，于是当时，.对于（D），因为，且，则矩阵不可逆，于是当时，.选（D）.例15．设阶矩阵与等价，则必有.当时，；（B）当时，；当时，；（D）当时，.解：若与等价，则.则当时，，于是必有，从而有.点评：与等价系指由和所表示的行（列）向量组等价.或两矩阵经有限次初等变换可互相转化.注意与等份的充分必要条件是:.例16．设与均为阶矩阵，且与等价，则不正确的命题是.（A）若，则；（B）若，则存在可逆矩阵使；（C）存在可逆矩阵使；（D）若等价于单位阵，则是非奇异矩阵.解：因为矩阵与等价系指由经有限次初等变换可以变为矩阵，且与等价的充分必要条件是.于是，当与等价时，它们有相同的可逆性.这样当时，矩阵也可逆，由可逆的充分必要条件可知成立.故（B）正确.同时，当与等价时，.由初等变换与初等矩阵的关系，知.故（C）成立.当于单位阵等价时，，可逆从而矩阵亦可逆.故（D）成立.综合以上：应选（A）.事实上，如果即满秩，则也是满秩的，但不能保证.例如，即与等价，而，.点评：本题考查矩阵等价的概念与矩阵等价的判定.例17．设线性无关，，，则.解：因为，所以.例18．已知向量组线性无关，则向量组，，，，的秩为.解：显然，.因为线性无关，于是.故.点评：满秩阵乘以任何一个矩阵不改变该矩阵的秩.例19．已知：，且，那么.解：由可知，线性无关.由可知线性相关，则可由线性表示.同理，亦可经线性表示，故可经线性表示，于是是的一个极大无关组.那么.点评：本题考查向量组极大无关组的判定及极大无关组与秩的关系.例20．设向量组（I）：；（II）：，，.问：取何值时，，且（I）与（II）等价？取何值时，，但（I）与（II）不等价？解：令，则时，，所以有.由Cramer法则此时线性方程组和均有解.这表明（I）与（II）等价.当时，，和的系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，故均有解.所以此时且（I）与（II）等价.当时，.但的系数矩阵和的秩为2，而增广矩阵的秩为3.故无解.从而不能由线性表示，此时（I）与（II）不等价.当时，.但系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3.故无解.从而不能由线性表示，此时（I）与（II）不等价.点评：本题考查向量组等价的概念及性质.例21．已知：向量组（I）；（II）；（III）.如果求证：向量组的秩为4.解：线性无关，从而亦线性无关.线性相关.于是，可经线性表示，且表示式唯一.即，显然，.由于线性无关，故.点评：本题考查向量组线性相关性的主要定理.例22．设向量组中任一向量不是它前面个向量的线性组合，且，试证：向量组的秩为.证明：只需证明向量组线性无关即可.用反证法，设线性相关，则存在不全为零的个数，使得，由此可知，否则，由上式可得：.即可由它前面的个向量线性表示，这与题设矛盾，因此，于是有：.类似于上面的证法，同样可得，于是有，但，所以，这又与不全为零相矛盾，因此线性无关，其秩为.例23．设是阶方阵的伴随矩阵，证明：.证明：（1）已知，则可逆，，由知，可逆，所以.（2）若，则，由，则，即，又，由矩阵秩的行列式定义知，矩阵中至少有一个阶子式不为零，所以，从而.（3）若，则中任一阶子式均为零，故，从而.例24．设为阶方阵，且满足，证明：.证明：由，得，即，于是有，又，故.题型之四：由一组向量的线性关系，判定其线性组合的相关性知识点、题型、解题技巧综述1．若维向量线性无关，且可用线性表示，即，则线性无关的充分必要条件是.2．若维向量线性无关，且可用线性表示，即，则线性无关的充分必要条件是满秩.3．若较多的一组向量可被较少的一组向量线性表示，则较多的这组向量必线性相关.4．无关的向量组若能被另一组向量线性表示，则这个无关的向量组所含向量的个数较少.5．两向量组等价，则它们必等秩；反之则不然.例题精解例1．已知维向量组线性无关，若可用线性表示为：，证明：线性无关的充分必要条件是:.证明：记，.（必要性）若线性无关，则.又，因此，即矩阵可逆，于是.（充分性）若，即矩阵可逆，那么.所以，线性无关.点评：本题的结论十分重要，请考生务必牢记并能正确应用才行.例2．设向量组线性无关，则下列向量中，线性无关的是.（A）；（B）；（C）；（D）.解：（A）；因为，故不可逆，于是.又向量组线性无关，则矩阵可逆，而可逆阵乘任何矩阵都不改变其秩，那么，从而线性相关.同理，（B），（D）都线性相关.而对于（C），由于.因为.故，可逆.从而，.于是，（C）中向量线性无关

.点评：可逆矩阵与任何其他矩阵之积仍为可逆阵；可逆阵都是满秩的；满秩时向量组必线性无关.例3．已知线性无关，线性相关，则.解：.又线性无关，则线性相关的充分必要条件是：.点评：可逆矩阵乘任何一个矩阵都不改变其秩.例4．设向量组线性无关，试证：向量组线性无关的充要条件是为奇数.证明：令整理得，由线性无关可知：于是，线性无关仅有零解系数行列式为不零.故线性无关的充要条件是为奇数.点评：本题主要考查（1）线性相关性的概念；判定；（2）齐次线性方程组解的判定；（3）阶行列式的计算.例5．若线性无关，问是否线性无关？解：显然，因为线性无关，所以故，线性无关.例6．设向量组线性无关，则也线性无关.证明（一）：令，则.由于向量组线性无关，故其系数行列式，故以上齐次线性方程组只有零解.从而也线性无关.证法（二）：令，则.因为可逆，所以.故线性无关.证法（三）：则显然可经线性表示，而，即向量组亦可经向量组线性表示.故,从而也线性无关.题型之五：极大无关组的性质与求法：知识点、题型、解题技巧综述向量组中含无关向量最多的部分组叫做向量组的极大无关组.若向量组的秩为，则向量组中任何个线性无关的部分组都是该向量组的极大无关组.向量组与其极大无关组等价.向量组的一个无关的部分组称之为极大无关组的充分必要条件是该向量组中任何一个向量都能由其线性表示.向量组极大无关组的求法.例题精解例1．已知向量组线性相关，则向量组的极大无关组是.解：因为，所以线性相关的充分必要条件是：.此时，，极大线性无关组是或.点评：本题考查线性相关性的判定及向量组极大无关组的求法.例2.已知维向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）有相同的秩，且（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出.证明向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.并举例说明仅秩，（Ⅰ）与（Ⅱ）可以不等价.证：设，是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组，考查向量组.（Ⅲ）:因为（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，所以可由线性表出，于是.那么是向量组（Ⅲ）中的个线性无关的向量，从而是（Ⅲ）的一个极大线性无关组，因此可由线性表出，即（Ⅱ）也可由（Ⅰ）线性表出.因为（Ⅰ）与（Ⅱ）可互相线性表出，所以（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.对于向量组（Ⅰ）：与（Ⅱ）：显然秩.但（Ⅰ）与（Ⅱ）不能互相线性表出，它们不等价.点评：所谓向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，即这两个向量组可以互相线性表出，现已知（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出.所以只需证（Ⅱ）也可由（Ⅰ）线性表出.例3．已知向量组（I）：和（II）的秩分别为，则.（A）线性相关；（B）线性无关；（C）可由线性表示；（D）可由线性表示.解：因为,所以线性无关.于是，其部分组亦线性无关.又，故是向量组的一个极大线性无关组.于是，可由线性表示，即,于是可由线性表示.点评：本题考查向量组秩与其相关性的关系，向量组与其部分组的关系，极大无关组与其向量组的关系及线性表示等多个知识点.例4．设有向量组求此向量组的一个极大无关组，并将余下的向量分别用该极大无关组线性表示.解：令故，为其极大无关组，令则，则；再令，则.故，点评：本题属向量组极大无关组部分的经典题型.请考生仔细体会第二步的解法，搞懂道理十分重要.例5．已知四维列向量线性无关，若非零且与均正交，则.（A）1；（B）2；（C）3；（D）4.解：设，那么当与均正交时，是下列齐次线性方程组的非零解..由于线性无关，故此方程组的系数矩阵的秩为3，于是此方程的基础解系为个解向量构成，从而，又为非零向量，故.点评：本题考查正交向量组的性质，线性无关与向量组秩的关系，基础解系与系数矩阵秩的关系.例6．设为四维列向量组，.已知方程组的通解是.（1）能否由线性表示？（2）求的一个极大线性无关组.解：由题意且.假设可由线性表示，则，即是的解，所以是的解.于是，可由线性表示，而这与它们线性无关相矛盾.故，不能由线性表示.由题意，知可由线性表示，则可由线性表示，于是是向量组的一个极大线性无关组.例7．（06数3,4--13）设四维向量组，问为何值时，向量组线性相关？当线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解法一：记，则，于是当或时，线性相关.当时，为的一个极大线性无关组，且，,.当时，对施以初等行变换，有：.由于为的一个极大无关组，且，故为的一个极大无关组，且.解法二：记，对施以初等行变换，有：.当时，，因而线性相关，此时为的一个极大线性无关组，且，,.当时，再对施以初等行变换，有：.若，则，从而，故线性无关.若，则，从而，故线性相关.由于为的一个极大线性无关组，且.于是为的一个极大无关组，且.例8.已知四维向量不能由向量组线性表示,那么向量组的极大无关组是:.解：若线性无关，而是五个四维向量必线性相关，从而知必能由线性表示，现在不能由线性表示，故必线性相关.由于，可见线性相关的充分必要条件是：.那么，的秩为3，极大线性无关组是.点评:本题考查极大线性无关组的概念向量组线性相关与线性表示的主要性质，极大线性无关组不唯一，本题中，也都是其极大无关组.例9．已知：，且，那么.解：由可知，线性无关.由可知线性相关，则可由线性表示.同理，亦可经线性表示，故可经线性表示，于是是的一个极大无关组.那么.点评：本题考查向量组极大无关组的判定及极大无关组与秩的关系.例10．设，问为何值时，线性相关？并求它的一个极大无关组.解：令当时，，则线性相关.以代入可得：,故是极大无关组.例11．求下列向量组的秩；一个极大极大无关组；并将其余向量分别用极大无关组表示之.解：.故为极大无关组.于是，当令时，令，则；再令，则，于是，有：.例12．设有向量组则该向量组的极大无关组为.（A）；（B）；（C）；（D）.解：，为极大无关组.例13．已知矩阵经初等变换化为，则必有.（A）；（B）；（C）；（D）线性无关.解：由题意有,则是向量组的极大线性无关组.令,则，当令时，.点评：本题考查向量组极大无关组的概念与极大无关组的求法.例14.已知四维向量不能由向量组线性表示,那么向量组的极大无关组是:.解：若线性无关，而是五个四维向量必线性相关，从而知必能由线性表示，现在不能由线性表示，故必线性相关.由于，可见线性相关的充分必要条件是：.那么，的秩为3，极大线性无关组是.点评:本题考查极大线性无关组的概念向量组线性相关与线性表示的主要性质，极大线性无关组不唯一，本题中，也都是其极大无关组.例15．已知：为矩阵，且，若，则.解：因为，所以必不可逆，于是.例16．已知：向量组的秩为2，则.解：令，则，于是，中任意三阶子式均为零.那么，，故.例17．已知向量组，，，的秩为3.（1）求出及的一组极大线性无关组.（2）当取（1）所确定的值时，问能否经线性表示？为什么？能线性表示时，请写出表示式.解：因为，且，所以，的极大无关组可取.当时，，这表明，，所以线性方程组无解，据此知不能经线性表示.同理，，所以线性方程组有解，且解除可由下列线性方程组解得，故.例18．设为四维列向量组，.已知方程组的通解是.（1）能否由线性表示？（2）求的一个极大线性无关组.解：由题意且.假设可由线性表示，则，即是的解，所以是的解.于是，可由线性表示，而这与它们线性无关相矛盾.故，不能由线性表示.由题意，知可由线性表示，则可由线性表示，于是是向量组的一个极大线性无关组.例19．试求向量组的秩和一个极大无关组，并将其他向量用此极大无关组表示出来。解：以为列构造矩阵，并进行初等行变换化为阶梯型矩阵，得因为所以向量组的秩为，并且可以看出或者向量组都是极大无关组。为了将其他向量用极大无关组线性表示，我们把继续作初等行变换为由的形式可以看出作为一个极大无关组更好，因为根据第列，可以直接写出由线性表示的形式为例20．设有向量组求此向量组的一个极大无关组，并将余下的向量分别用该极大无关组线性表示.解：令故，为其极大无关组，令则，则；再令，则.故，点评：本题属向量组极大无关组部分的经典题型.请考生仔细体会第二步的解法，搞懂道理十分重要.例21．设向量组，若此向量组的秩为2，则.解:取向量组的前三个分量构成向量组,则线性相关,否则添加分量后得仍无关,与已知矛盾.从而有,得.例22．设，问为何值时，线性相关？并求它的一个极大无关组.解：令当时，，则线性相关.以代入可得：,故是极大无关组.例23．求下列向量组的秩；一个极大极大无关组；并将其余向量分别用极大无关组表示之.解：.故为极大无关组.于是，当令时，令，则；再令，则，于是，有：.题型之六：待定参数与相关性及线性关系的讨论知识点、题型、解题技巧综述线性相关性的概念与判定.线性组合与线性表示的概念及判定.向量可由向量组线性表示的充要条件是：线性方程组有解.4．若及都是维向量，则向量可由向量组线性表示的充要条件是：线性方程组有解.例题精解例1．已知，其中都是四维列向量，方程组的通解为：，则可由的线性表示式为：.解：由题意可知，是齐次线性方程组的解，则.即，，亦即.于是，.点评：本题考查线性方程组的向量形式.一般地，总可以写成的形式，当时，有成立.即，组合系数即为方程组的解.例2．设均为三维列向量，且线性无关，也线性无关，证明存在非零向量，使得既可由线性表示也可由线性表示.当，，，时，求出所有的向量.证明：由于是四个三维向量，故必线性相关.于是，存在不全为零的数使得.其中：必不全为零（否则，为，且不全为零，这与线性无关相矛盾）.同理，也不全为零.于是，.令，则存在非零向