第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）

第1页（共1页）第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题3分，共80分）1．（3分）算式10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]得值为．2．（3分）箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为．3．（3分）有两个体积之比为5：8的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长方形的长和宽同时增加6．其面积增加了114．那么这个长方形的面积．4．（3分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有袋粮食．5．（3分）现有211名同学和四种不同的巧克力．每种巧克力的数量都超过633颗．规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿．若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人数最多的一组至少有名同学．6．（3分）张兵1953年出生，在今年之前的某一年，他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和．那么这一年他岁．7．（3分）如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为2．按图所示数据，这个五棱柱的体积等于．8．（3分）在乘法算式•＝中，汉字代表非零数字，不同汉字代表不同数字，那么所代表的四位数最小是．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．如图ABCD是平行四边形，E为AB延长线上一点，K为AD延长线上一点．连接BK，DE相交于一点O，问：四边形ADOB与四边形ECKO的面积是否相等？请说明理由．10．能否用500个如图所示的1×2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．11．将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数．则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）2＝3025，所以3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？12．已知98个互不相同的质数p1，p2…p98，记N＝p+p+…p，问：N被3除的余数是多少．三、解答下列各题（每小题0分，共30分，要求写出详细过程）13．小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小华顺时针跑，每72秒跑一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈．在跑道上划定以起点为中心的圆弧区间，那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒？14．把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方体．其中，两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66块，那么这个长方体的体积是多少？

第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共80分）1．（3分）算式10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]得值为9.3．【分析】10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]先去掉小括号变成10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣9.2×5.2﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，利用乘法的分配律变成10﹣10.5÷[5.2×（14.6﹣9.2）﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，再利用乘法的分配律变成5.2×5.4﹣5.4×3.7+4.6×1.5，再次利用乘法的分配律进行简算．【解答】解：10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]，＝10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣9.2×5.2﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.2×（14.6﹣9.2）﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.2×5.4﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.4×（5.2﹣3.7）+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.4×1.5+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[1.5×（5.4+4.6）]，＝10﹣10.5÷15，＝10﹣0.7，＝9.3．故答案为：9.3．2．（3分）箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为1：2．【分析】我们设出设红球有a个，黑球b个，放入的黑红球都是x个．根据“放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二．若放入的黑球和红球数量相同”列出两个方程进行解答即可．【解答】解：设红球有a个，黑球b个，放入的黑红球都是x个．＝，x+a+b＝4a，x＝3a﹣b，＝，3a+3x＝2b+2x，x＝2b﹣3a，把x＝3a﹣b代入进行计算，3a﹣b＝2b﹣3a，3b＝6a，a：b＝1：2，原来箱子里红球与黑球数量之比为1：2．故答案为：1：2．3．（3分）有两个体积之比为5：8的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长方形的长和宽同时增加6．其面积增加了114．那么这个长方形的面积40．【分析】侧面的展开图为相同的长方形，说明这个长方形是横着围成一个长方体，和竖着围成一个长方体，体积比为5：8，如图，阴影部分的面积是114，则（a+b）的和为（114﹣6×6）÷6＝13，根据体积比为5：8可知：，化简为，再化简为，而a+b＝13，所以a、b分别为8和5，而积为5×8＝40，据此解答即可．【解答】解：设长方形的长和宽分别为a和b，则a+b＝（114﹣6×6）÷6＝13，根据体积比为5：8可知：，化简为，再化简为，而a+b＝13，所以a、b分别为8和5，而积为5×8＝40，答：这个长方形的面积为40．故答案为：40．4．（3分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有153袋粮食．【分析】两个关系式为：（甲库存粮﹣90）×2＝乙库存粮+90；甲库存粮+若干袋粮＝（乙库存粮﹣若干袋粮）×6，进而得到相应的最小整数解即可．【解答】解：设甲库原来存粮a袋，乙库原来存粮b袋，依题意可得2（a﹣90）＝b+90（1）；再设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即a+c＝6（b﹣c）（2）；由（1）式得b＝2a﹣270（3），将（3）代入（2），并整理得11a﹣7c＝1620，由于c＝＝a﹣232+又a、c是正整数，从而有≥1，即a≥148；并且7整除4（a+1），又因为4与7互质，所以7整除a+1，a+1最小为154，则a最小是153．答：甲库原来最少存粮153袋．故答案为：153．5．（3分）现有211名同学和四种不同的巧克力．每种巧克力的数量都超过633颗．规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿．若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人数最多的一组至少有7名同学．【分析】每一名学生可以拿：括号内为该情况发生有几种情况．1，一个不拿（1种情况）；2，拿四种糖果中任意一个（4种情况）；3．拿两个，都是同种糖果（4种情况）；4．拿两个且不同的糖果，随机的（6种情况）；5．拿三个，都相同（4种情况）；6．拿三个，两个相同（12种情况）；7．拿三个都不同的糖果（4种情况）；所以一个同学所取的不同种类共有1+4+4+6+4+12+4＝35种情况；因为每一种糖都超过633颗，所以第五种情况能够出现，3×211＝633，足够分．所以其他六种情况也能够发生．所以，要让最多的那组人数最少就是：211÷35＝6…1（余数1）；即最多的一组最少为6+1＝7人．【解答】解：根据题干分析可得：一个同学所取的不同种类共有1+4+4+6+4+12+4＝35；这35种情况可以看做35个抽屉，211÷35＝6…1；所以6+1＝7（人），答：人数最多的一组至少有7人．故答案为：7．6．（3分）张兵1953年出生，在今年之前的某一年，他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和．那么这一年他18岁．【分析】根据题意，设那一年是19AB年，那么他这一年的年龄是1900+10A+B﹣1953岁，也是1+9+A+B岁，又因为他的年龄是9的倍数，那么1+9+A+B是9的倍数，然后列出方程进一步解答即可．【解答】解：设那一年是19AB年；根据题意可得：1900+10A+B﹣1953＝1+9+A+B，10A+B﹣53＝10+A+B，9A＝63，A＝7；因为他的年龄是9的倍数，那么1+9+A+B是9的倍数；1+9+7+B＝17+B是9的倍数；那么B＝1时，17+1＝18是9的倍数；所以，在1971年，他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和；这一年他的年龄是：1971﹣1953＝18（岁）．答：这一年他18岁．故答案为：18．7．（3分）如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为2．按图所示数据，这个五棱柱的体积等于7．【分析】如图，两个五边形是折成的五棱柱的底，其面积是正方形的面积减去一个直角三角形的面积，正方形的边长是2，三角形的底和高都是1，据此可求出这个五边形的面积，也就是五棱柱的底面积，五棱柱的高是2，根据直棱的体积＝底面积×高，即可求出这个五棱柱的体积．【解答】解：（2×2﹣×1×1）×2＝（4﹣0.5）×2＝3.5×2＝7；故答案为：78．（3分）在乘法算式•＝中，汉字代表非零数字，不同汉字代表不同数字，那么所代表的四位数最小是4396．【分析】根据题意，由整数乘法的计算方法进行推算即可．【解答】解：有9个汉字，没有0，所以9个汉字对应1～9，9个数字；要求最小，那么“花”和“草”我们只能取1和2；根据两个数和一定，差越小积越大，我们选择“花”为1，“草”是2；“春”字只能取3或者4；，，中，个位的三个数字，至少有2个是5、6、7、8、9这五个人数字中的2个；一个数与5相乘的末尾不是0就是5，因此不能有5；又因为6×7＝42，个位是2，有重复不可以；依次判断，只能是6×9＝54，或者7×8＝56，或者7×9＝63；当是7×8＝56时，有28×157＝4396，这时最小．故答案为：4396．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．如图ABCD是平行四边形，E为AB延长线上一点，K为AD延长线上一点．连接BK，DE相交于一点O，问：四边形ADOB与四边形ECKO的面积是否相等？请说明理由．【分析】如图，连结AC，根据平行四边形的特征及三角形的面积公式可知△DCE的面积等于△DCA的面积，△AKC的面积等于△AKB的面积，四边形ECKO的面积+△ODK的面积＝四边形EDKC的面积＝△DCE的面积+△DCK的面积＝△ADC的面积+△CD的面积K＝△ACK的面积，又由四边形ABOD的面积+△ODK的面积＝四边形ECKO的面积+△ODK的面积，从而得出四边形ADOB与四边形ECKO的面积相等．【解答】解：如图，连结AC因为AB∥CD，所以S△DCE＝S△DCA（同底等高）S四边形ABOD+S△ODK＝S△ABK，S四边形ECKO+S△ODK＝S四边形EDKC＝S△DCE+S△DCK＝S△ADC+S△CDK＝S△ACK，又因为DC∥AB，所以△AKC＝S△AKB所以S四边形ABOD+S△ODK＝S四边形ECKO+S△ODK即S四边形ABOD＝S四边形ECKO；故答案为：相等10．能否用500个如图所示的1×2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．【分析】500个小长方形就有500个小星星，500个星星平均分成5行，每行就有100个，是偶数；500÷200＝2（个）…100（个）；再把余下的100个平均分给50列，每列分2个，这50列每列就是2+2＝4（个），剩下的150列每列是2个，都是偶数，由此可解．【解答】解：可以使5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星，因为；500个小长方形就有500个小星星，500÷5＝100（个），每行100个是偶数；500÷200＝2（个）…100（个）；再把余下的100个平均分给50列，每列分2个，这50列每列就是2+2＝4（个），剩下的150列每列是2个，都是偶数；所以可以使5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星．11．将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数．则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）2＝3025，所以3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？【分析】设该数的前两位为x，后两位为y．于是有（x+y）2＝100x+y＝x+y+99x，即：（x+y）（x+y﹣1）＝99x，从而看出x+y与x+y﹣1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），从而找出满足条件的三个数：45，55和99，然后求出它们的平方数即可．【解答】解：设该数的前两位为x，后两位为y．于是有（x+y）2＝100x+y＝x+y+99x，即：（x+y）（x+y﹣1）＝99x，从而看出x+y与x+y﹣1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），可以找出满足条件的三个数：45，55和99，平方得2025，3025，9801；即符合：（20+25）2＝2025；（30+25）2＝3025；（98+1）2＝9801；答：在四位数中的卡不列克怪数有：2025，3025，9801．12．已知98个互不相同的质数p1，p2…p98，记N＝p+p+…p，问：N被3除的余数是多少．【分析】除3外，因为质数被3除的余数为1或2，质数的平方除以3，余数只能是1，（2的平方除以3余1），然后分是否含有质数3讨论．【解答】解：（1）这些质数中不含质数3，所以该数平方后被3除的余数就是1，所以N被3除的余数就是98被3除的余数，是2；（2）如果有3，那么剩下97个除以3余1．3的平方除以3余数是0，那么N除以3的余数1．答：N被3除的余数是1或2．三、解答下列各题（每小题0分，共30分，要求写出详细过程）13．小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小华顺时针跑，每72秒跑一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈．在跑道上划定以起点为中心的圆弧区间，那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒？【分析】①如果第一次小李速度出划定区域用时为÷＝9，小张速度出划定区域用时÷＝10，10大于9，所以为9秒；②第二次：小华入划定区域用时（1﹣÷2）÷＝63（秒），出区域时间（1+÷2）÷＝81（秒）；小张入区域用时（1﹣÷2）÷＝70（秒），出区域用时（1+÷2）÷＝90（秒），他们在划定区域时间范围70～81延续时间为11秒；③第三次：小华135～153，小张150～170范围150～153时间为3秒；④小华入划定区域用时（1﹣÷2）÷＝63（秒），出区域时间（1+÷2）÷＝81（秒）；81﹣63＝18（秒）；其他类似情况可的同样结果．【解答】解：①小华出划定区域用时为（÷2）÷＝9，小张出划定区域用时（÷2）÷＝10，10＞9，所以为9秒；②80×（1﹣÷2），＝80×，＝70（秒）；72×（1+÷2），＝72×，＝81（秒）；81﹣70＝11（秒）；③第三次：小华135～153，小张150～170范围150～153时间为3秒；④小华入划定区域用时（1﹣÷2）÷＝63（秒），出区域时间（1+÷2）÷＝81（秒）；81﹣63＝18（秒）；综上：答案为：3，9，11，18．答：两人同时在规定的区间内所持续的时间为3，9，11，18秒．14．把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方体．其中，两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66块，那么这个长方体的体积是多少？【分析】两面有红色的小立方块处在棱上，一面有红色的小立方块处在8个顶点上，设长方体的长宽